Simetría de segundas derivadas
En matemáticas , la simetría de las segundas derivadas (también llamada igualdad de parciales mixtos ) se refiere a la posibilidad bajo ciertas condiciones (ver más abajo) de intercambiar el orden de tomar derivadas parciales de una función.
de n variables. La simetría es la afirmación de que las derivadas parciales de segundo orden satisfacen la identidad
de modo que formen una matriz simétrica n × n , conocida como matriz hessiana de la función . Esto a veces se conoce como teorema de Schwarz, teorema de Clairaut o teorema de Young . [1] [2]
En términos de composición del operador diferencial D i que toma la derivada parcial con respecto ax i :
De esta relación se deduce que el anillo de operadores diferenciales con coeficientes constantes , generado por D i , es conmutativo ; pero esto solo es cierto como operadores sobre un dominio de funciones suficientemente diferenciables. Es fácil comprobar la simetría aplicada a los monomios , de modo que se puedan tomar polinomios en x i como dominio. De hecho, las funciones suaves son otro dominio válido.
El resultado de la igualdad de derivadas parciales mixtas en determinadas condiciones tiene una larga historia. La lista de pruebas propuestas infructuosas comenzó con la de Euler , publicada en 1740, [3] aunque ya en 1721 Bernoulli había asumido implícitamente el resultado sin justificación formal. [4] Clairaut también publicó una prueba propuesta en 1740, sin otros intentos hasta finales del siglo XVIII. A partir de entonces, por un período de 70 años, se propusieron una serie de pruebas incompletas. La prueba de Lagrange (1797) fue mejorada por Cauchy (1823), pero asumió la existencia y continuidad de las derivadas y parciales . [5]P. Blanchet (1841), Duhamel (1856), Sturm (1857), Schlömilch (1862) y Bertrand (1864) realizaron otros intentos . Finalmente, en 1867, Lindelöf analizó sistemáticamente todas las pruebas defectuosas anteriores y pudo exhibir un contraejemplo específico en el que los derivados mixtos no lograron ser iguales. [6] [7]
