Teoría de campo clásica

Teoría física que describe los campos clásicos.

Una teoría de campo clásica es una teoría física que predice cómo uno o más campos físicos interactúan con la materia a través de ecuaciones de campo . El término "teoría de campo clásica" se reserva comúnmente para describir las teorías físicas que describen el electromagnetismo y la gravitación , dos de las fuerzas fundamentales de la naturaleza. Las teorías que incorporan la mecánica cuántica se denominan teorías cuánticas de campos .

Se puede pensar en un campo físico como la asignación de una cantidad física en cada punto del espacio y del tiempo . Por ejemplo, en un pronóstico del tiempo, la velocidad del viento durante un día en un país se describe asignando un vector a cada punto en el espacio. Cada vector representa la dirección del movimiento del aire en ese punto, por lo que el conjunto de todos los vectores del viento en un área en un momento dado constituye un campo vectorial . A medida que avanza el día, las direcciones en las que apuntan los vectores cambian a medida que cambian las direcciones del viento.

Las primeras teorías de campo, la gravitación newtoniana y las ecuaciones de campos electromagnéticos de Maxwell se desarrollaron en la física clásica antes del advenimiento de la teoría de la relatividad en 1905, y tuvieron que revisarse para ser coherentes con esa teoría. En consecuencia, las teorías de campo clásicas generalmente se clasifican como no relativistas y relativistas . Las teorías de campo modernas generalmente se expresan utilizando las matemáticas del cálculo de tensores . Un formalismo matemático alternativo más reciente describe los campos clásicos como secciones de objetos matemáticos llamados haces de fibras .

En 1839, James MacCullagh presentó ecuaciones de campo para describir la reflexión y la refracción en "Un ensayo hacia una teoría dinámica de la reflexión y la refracción cristalinas". ^[1]

Teorías de campo no relativistas

Algunos de los campos físicos más simples son los campos de fuerza vectorial. Históricamente, la primera vez que los campos se tomaron en serio fue con las líneas de fuerza de Faraday al describir el campo eléctrico . El campo gravitacional se describió luego de manera similar.

Gravitación newtoniana

La primera teoría de campo de la gravedad fue la teoría de la gravitación de Newton en la que la interacción mutua entre dos masas obedece a una ley del cuadrado inverso . Esto fue muy útil para predecir el movimiento de los planetas alrededor del Sol.

Cualquier cuerpo masivo M tiene un campo gravitacional g que describe su influencia sobre otros cuerpos masivos. El campo gravitacional de M en un punto r en el espacio se encuentra determinando la fuerza F que M ejerce sobre una pequeña masa de prueba m ubicada en r , y luego dividiendo por m : ^[2]

${\displaystyle \mathbf {g} (\mathbf {r} )={\frac {\mathbf {F} (\mathbf {r} )}{m}}.}$

Estipulando que m es mucho menor que M asegura que la presencia de m tiene una influencia insignificante sobre el comportamiento de M .

Según la ley de Newton de la gravitación universal , F ( r ) viene dada por ^[2]

${\displaystyle \mathbf {F} (\mathbf {r} )=-{\frac {GMm}{r^{2}}}{\hat {\mathbf {r} }},}$

donde es un vector unitario que apunta a lo largo de la línea de M a m , y G es de Newton constante gravitacional . Por tanto, el campo gravitacional de M es ^[2]${\displaystyle {\hat {\mathbf {r} }}}$

${\displaystyle \mathbf {g} (\mathbf {r} )={\frac {\mathbf {F} (\mathbf {r} )}{m}}=-{\frac {GM}{r^{2}}}{\hat {\mathbf {r} }}.}$

La observación experimental de que la masa inercial y la masa gravitacional son iguales a niveles de precisión sin precedentes conduce a la identificación de la fuerza del campo gravitacional como idéntica a la aceleración experimentada por una partícula. Este es el punto de partida del principio de equivalencia , que conduce a la relatividad general .

Para una colección discreta de masas, M _i , ubicada en los puntos, r _i , el campo gravitacional en un punto r debido a las masas es

${\displaystyle \mathbf {g} (\mathbf {r} )=-G\sum _{i}{\frac {M_{i}(\mathbf {r} -\mathbf {r_{i}} )}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{i}|^{3}}}\,,}$

Si tenemos una distribución de masa continua ρ en cambio, la suma se reemplaza por una integral,

${\displaystyle \mathbf {g} (\mathbf {r} )=-G\iiint _{V}{\frac {\rho (\mathbf {x} )d^{3}\mathbf {x} (\mathbf {r} -\mathbf {x} )}{|\mathbf {r} -\mathbf {x} |^{3}}}\,,}$

Tenga en cuenta que la dirección del campo apunta desde la posición r a la posición de las masas r _i ; esto está asegurado por el signo menos. En pocas palabras, esto significa que todas las masas se atraen.

En la forma integral, la ley de Gauss para la gravedad es

${\displaystyle \iint \mathbf {g} \cdot d\mathbf {S} =-4\pi GM}$

mientras que en forma diferencial es

${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {g} =-4\pi G\rho _{m}}$

Por lo tanto, el campo gravitacional g se puede escribir en términos del gradiente de un potencial gravitacional φ ( r ):

${\displaystyle \mathbf {g} (\mathbf {r} )=-\nabla \phi (\mathbf {r} ).}$

Esto es una consecuencia de que la fuerza gravitacional F es conservadora .

Electromagnetismo

Electrostática

Artículo principal: Electrostática

Una partícula de prueba cargada con carga q experimenta una fuerza F basada únicamente en su carga. Podemos describir de manera similar el campo eléctrico E de manera que F = q E . Usando esto y la ley de Coulomb, el campo eléctrico debido a una sola partícula cargada es

${\displaystyle \mathbf {E} ={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}{\frac {q}{r^{2}}}{\hat {\mathbf {r} }}\,.}$

El campo eléctrico es conservador y, por lo tanto, está dado por el gradiente de un potencial escalar, V ( r )

${\displaystyle \mathbf {E} (\mathbf {r} )=-\nabla V(\mathbf {r} )\,.}$

La ley de Gauss para la electricidad está en forma integral.

${\displaystyle \iint \mathbf {E} \cdot d\mathbf {S} ={\frac {q_{e}}{\epsilon _{0}}}}$

mientras que en forma diferencial

${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {E} ={\frac {\rho _{e}}{\epsilon _{0}}}\,.}$

Magnetostática

Artículo principal: magnetostática

Una corriente constante I que fluye a lo largo de una trayectoria ℓ ejercerá una fuerza sobre las partículas cargadas cercanas que es cuantitativamente diferente de la fuerza del campo eléctrico descrita anteriormente. La fuerza ejercida por I sobre una carga cercana q con velocidad v es

${\displaystyle \mathbf {F} (\mathbf {r} )=q\mathbf {v} \times \mathbf {B} (\mathbf {r} ),}$

donde B ( r ) es el campo magnético , que está determinado a partir de I por la ley de Biot-Savart :

${\displaystyle \mathbf {B} (\mathbf {r} )={\frac {\mu _{0}I}{4\pi }}\int {\frac {d{\boldsymbol {\ell }}\times d{\hat {\mathbf {r} }}}{r^{2}}}.}$

El campo magnético no es conservador en general y, por lo tanto, generalmente no se puede escribir en términos de un potencial escalar. Sin embargo, se puede escribir en términos de un potencial vectorial , A ( r ):

${\displaystyle \mathbf {B} (\mathbf {r} )=\nabla \times \mathbf {A} (\mathbf {r} )}$

La ley de Gauss para el magnetismo en forma integral es

${\displaystyle \iint \mathbf {B} \cdot d\mathbf {S} =0,}$

mientras que en forma diferencial es

${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {B} =0.}$

La interpretación física es que no hay monopolos magnéticos .

Electrodinámica

Artículo principal: Electrodinámica

En general, en presencia de una densidad de carga ρ ( r , t ) y una densidad de corriente J ( r , t ), habrá un campo eléctrico y uno magnético, y ambos variarán con el tiempo. Están determinados por las ecuaciones de Maxwell , un conjunto de ecuaciones diferenciales que se relacionan directamente E y B a la densidad de carga eléctrica (carga por unidad de volumen) ρ y densidad de corriente (corriente eléctrica por unidad de área) J . ^[3]

Alternativamente, se puede describir el sistema en términos de su escalares y vectoriales potenciales V y A . Un conjunto de ecuaciones integrales conocidas como potenciales retardados permiten calcular V y A a partir de ρ y J , ^{[nota 1]} ya partir de ahí los campos eléctricos y magnéticos se determinan mediante las relaciones ^[4]

${\displaystyle \mathbf {E} =-\nabla V-{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}}$

${\displaystyle \mathbf {B} =\nabla \times \mathbf {A} .}$

Mecánica continua

Dinámica de fluidos

Artículo principal: dinámica de fluidos

La dinámica de fluidos tiene campos de presión, densidad y caudal que están conectados por las leyes de conservación de la energía y el momento. La ecuación de continuidad de masa es una ecuación de continuidad, que representa la conservación de masa

${\displaystyle {\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\nabla \cdot (\rho \mathbf {u} )=0}$

y las ecuaciones de Navier-Stokes representan la conservación del momento en el fluido, que se encuentra a partir de las leyes de Newton aplicadas al fluido,

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}(\rho \mathbf {u} )+\nabla \cdot (\rho \mathbf {u} \otimes \mathbf {u} +p\mathbf {I} )=\nabla \cdot {\boldsymbol {\tau }}+\rho \mathbf {b} }$

si se dan la densidad ρ , la presión p , el tensor de tensión desviador τ del fluido, así como las fuerzas externas b del cuerpo . El campo de velocidad u es el campo vectorial para resolver.

Teoría potencial

El término " teoría del potencial " surge del hecho de que, en la física del siglo XIX, se creía que las fuerzas fundamentales de la naturaleza se derivaban de los potenciales escalares que satisfacían la ecuación de Laplace . Poisson abordó la cuestión de la estabilidad de las órbitas planetarias , que ya había sido resuelta por Lagrange al primer grado de aproximación de las fuerzas de perturbación, y derivó la ecuación de Poisson , que lleva su nombre. La forma general de esta ecuación es

${\displaystyle \nabla ^{2}\phi =\sigma }$

donde σ es una función fuente (como una densidad, una cantidad por unidad de volumen) y φ el potencial escalar para resolver.

En la gravitación newtoniana; las masas son las fuentes del campo, de modo que las líneas de campo terminan en objetos que tienen masa. De manera similar, las cargas son las fuentes y sumideros de los campos electrostáticos: las cargas positivas emanan líneas de campo eléctrico y las líneas de campo terminan en cargas negativas. Estos conceptos de campo también se ilustran en el teorema de divergencia general , específicamente la ley de Gauss para la gravedad y la electricidad. Para los casos de gravedad y electromagnetismo independientes del tiempo, los campos son gradientes de potenciales correspondientes.

${\displaystyle \mathbf {g} =-\nabla \phi _{g}\,,\quad \mathbf {E} =-\nabla \phi _{e}}$

así que al sustituirlos en la ley de Gauss para cada caso se obtiene

${\displaystyle \nabla ^{2}\phi =4\pi G\rho _{g}\,,\quad \nabla ^{2}\phi =-{\rho _{e} \over \epsilon _{0}}}$

donde ρ _g es la densidad de masa y ρ _e la densidad de carga .

Por cierto, esta similitud surge de la similitud entre la ley de gravitación de Newton y la ley de Coulomb .

En el caso de que no haya un término fuente (por ejemplo, vacío o cargas apareadas), estos potenciales obedecen a la ecuación de Laplace :

${\displaystyle \nabla ^{2}\phi =0}$

Para una distribución de masa (o carga), el potencial se puede desarrollar en una serie de armónicos esféricos , y el n º término en la serie puede ser visto como un potencial que surge de los 2 ⁿ -moments (ver desarrollo multipolar ). Para muchos propósitos, solo se necesitan los términos monopolo, dipolo y cuadrupolo en los cálculos.

Teoría de campo relativista

Artículo principal: teoría de campo clásica covariante

Las formulaciones modernas de las teorías de campo clásicas generalmente requieren la covarianza de Lorentz ya que ahora se reconoce como un aspecto fundamental de la naturaleza. Una teoría de campo tiende a expresarse matemáticamente mediante el uso de lagrangianos . Esta es una función que, cuando se somete a un principio de acción , da lugar a las ecuaciones de campo y una ley de conservación para la teoría. La acción es un escalar de Lorentz, del cual se pueden derivar fácilmente las ecuaciones de campo y las simetrías.

En todas partes usamos unidades tales que la velocidad de la luz en el vacío es 1, es decir, c = 1. ^{[nota 2]}

Dinámica lagrangiana

Artículo principal: Lagrangiano (teoría de campo)

Dado un tensor de campo φ , un escalar llamado densidad lagrangiana

${\displaystyle {\mathcal {L}}(\phi ,\partial \phi ,\partial \partial \phi ,\ldots ,x)}$

se puede construir a partir de φ y sus derivados.

A partir de esta densidad, la acción funcional se puede construir integrándola sobre el espacio-tiempo,

${\displaystyle {\mathcal {S}}=\int {{\mathcal {L}}{\sqrt {-g}}\,\mathrm {d} ^{4}x}.}$

¿Dónde está la forma del volumen en el espacio-tiempo curvo?${\displaystyle {\sqrt {-g}}\,\mathrm {d} ^{4}x}$${\displaystyle (g\equiv {\text{det}}(g_{\mu \nu }))}$

Por lo tanto, el Lagrangiano en sí es igual a la integral de la densidad Lagrangiana en todo el espacio.

Luego, al aplicar el principio de acción , se obtienen las ecuaciones de Euler-Lagrange

${\displaystyle {\frac {\delta {\mathcal {S}}}{\delta \phi }}={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \phi }}-\partial _{\mu }\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\mu }\phi )}}\right)+\cdots +(-1)^{m}\partial _{\mu _{1}}\partial _{\mu _{2}}\cdots \partial _{\mu _{m-1}}\partial _{\mu _{m}}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\mu _{1}}\partial _{\mu _{2}}\cdots \partial _{\mu _{m-1}}\partial _{\mu _{m}}\phi )}}\right)=0.}$

Campos relativistas

A continuación se describen dos de las teorías de campo clásicas covariantes de Lorentz más conocidas.

Electromagnetismo

Artículos principales: Campo electromagnético y electromagnetismo.

Históricamente, las primeras teorías de campo (clásicas) fueron las que describían los campos eléctrico y magnético (por separado). Después de numerosos experimentos, se encontró que estos dos campos estaban relacionados o, de hecho, dos aspectos del mismo campo: el campo electromagnético . Maxwell teoría de la 's electromagnetismo describe la interacción de materia cargada con el campo electromagnético. La primera formulación de esta teoría de campo utilizó campos vectoriales para describir los campos eléctricos y magnéticos . Con el advenimiento de la relatividad especial, una formulación más completa usando tensorSe encontraron campos. En lugar de utilizar dos campos vectoriales que describen los campos eléctrico y magnético, se utiliza un campo tensorial que represente estos dos campos juntos.

El cuatro-potencial electromagnético se define como A _a = (- φ , A ), y el cuatro-corriente electromagnético j _a = (- ρ , j ). El campo electromagnético en cualquier punto del espacio-tiempo se describe mediante el tensor de campo electromagnético de rango antisimétrico (0,2)

${\displaystyle F_{ab}=\partial _{a}A_{b}-\partial _{b}A_{a}.}$

El Lagrangiano

Para obtener la dinámica de este campo, intentamos construir un escalar a partir del campo. En el vacío, tenemos

${\displaystyle {\mathcal {L}}=-{\frac {1}{4\mu _{0}}}F^{ab}F_{ab}\,.}$

Podemos usar la teoría del campo de calibre para obtener el término de interacción, y esto nos da

${\displaystyle {\mathcal {L}}=-{\frac {1}{4\mu _{0}}}F^{ab}F_{ab}-j^{a}A_{a}\,.}$

Las ecuaciones

Para obtener las ecuaciones de campo, el tensor electromagnético en la densidad de Lagrange debe ser reemplazado por su definición en términos del 4-potencial A , y es este potencial el que entra en las ecuaciones de Euler-Lagrange. El campo EM F no varía en las ecuaciones EL. Por lo tanto,

${\displaystyle \partial _{b}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \left(\partial _{b}A_{a}\right)}}\right)={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial A_{a}}}\,.}$

Evaluar la derivada de la densidad lagrangiana con respecto a los componentes del campo

${\displaystyle {\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial A_{a}}}=\mu _{0}j^{a}\,,}$

y las derivadas de los componentes del campo

${\displaystyle {\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{b}A_{a})}}=F^{ab}\,,}$

obtiene las ecuaciones de Maxwell en el vacío. Las ecuaciones de la fuente (ley de Gauss para la electricidad y ley de Maxwell-Ampère) son

${\displaystyle \partial _{b}F^{ab}=\mu _{0}j^{a}\,.}$

mientras que los otros dos (la ley de Gauss para el magnetismo y la ley de Faraday) se obtienen del hecho de que F es el 4-rizo de A , o, en otras palabras, del hecho de que la identidad de Bianchi es válida para el tensor de campo electromagnético. ^[5]

${\displaystyle 6F_{[ab,c]}\,=F_{ab,c}+F_{ca,b}+F_{bc,a}=0.}$

donde la coma indica una derivada parcial .

Gravitación

Artículo principal: Gravitación

Más información: Relatividad general y ecuación de campo de Einstein

Después de que se descubrió que la gravitación newtoniana era incompatible con la relatividad especial , Albert Einstein formuló una nueva teoría de la gravitación llamada relatividad general . Este trata la gravitación como un fenómeno geométrico (' espacio-tiempo curvo ') causado por masas y representa matemáticamente el campo gravitacional mediante un campo tensor llamado tensor métrico . Las ecuaciones de campo de Einstein describen cómo se produce esta curvatura. La gravitación newtoniana es ahora reemplazada por la teoría de la relatividad general de Einstein , en la que la gravitaciónse piensa que se debe a un espacio-tiempo curvo , causado por masas. Las ecuaciones de campo de Einstein,

${\displaystyle G_{ab}=\kappa T_{ab}}$

describir cómo esta curvatura es producida por la materia y la radiación, donde G _ab es el tensor de Einstein ,

${\displaystyle G_{ab}\,=R_{ab}-{\frac {1}{2}}Rg_{ab}}$

escrito en términos del tensor de Ricci R _ab y el escalar de Ricci R = R _ab g ^ab , T _ab es el tensor de tensión-energía y κ = 8πG / c ⁴ es una constante. En ausencia de materia y radiación (incluidas las fuentes), las ' ecuaciones de campo de vacío ,

${\displaystyle G_{ab}=0\,}$

puede derivarse variando la acción de Einstein-Hilbert ,

${\displaystyle S=\int R{\sqrt {-g}}\,d^{4}x}$

con respecto a la métrica, donde g es el determinante del tensor métrico g ^ab . Las soluciones de las ecuaciones de campo de vacío se denominan soluciones de vacío . Una interpretación alternativa, debida a Arthur Eddington , es que es fundamental, es simplemente un aspecto y está forzada por la elección de unidades.${\displaystyle R}$${\displaystyle T}$${\displaystyle R}$${\displaystyle \kappa }$

Intentos de unificación

Artículo principal: Teorías clásicas de campo unificado

Los intentos de crear una teoría de campo unificado basada en la física clásica son teorías de campo unificado clásicas. Durante los años entre las dos guerras mundiales, la idea de unificación de la gravedad con el electromagnetismo fue perseguida activamente por varios matemáticos y físicos como Albert Einstein , Theodor Kaluza , ^[6] Hermann Weyl , ^[7] Arthur Eddington , ^[8] Gustav Mie ^{[ 9]} y Ernst Reichenbacher. ^[10]

Los primeros intentos de crear tal teoría se basaron en la incorporación de campos electromagnéticos en la geometría de la relatividad general . En 1918, el caso de la primera geometrización del campo electromagnético fue propuesto en 1918 por Hermann Weyl. ^[11] En 1919, Theodor Kaluza sugirió la idea de un enfoque de cinco dimensiones . ^[11] A partir de eso, se desarrolló una teoría llamada Teoría de Kaluza-Klein . Intenta unificar la gravitación y el electromagnetismo , en un espacio-tiempo de cinco dimensiones.. Hay varias formas de ampliar el marco representacional para una teoría de campo unificado que han sido consideradas por Einstein y otros investigadores. Estas extensiones en general se basan en dos opciones. ^[11] La primera opción se basa en relajar las condiciones impuestas a la formulación original, y la segunda se basa en introducir otros objetos matemáticos en la teoría. ^[11] Un ejemplo de la primera opción es relajar las restricciones al espacio-tiempo de cuatro dimensiones al considerar representaciones de dimensiones superiores. ^[11] Eso se utiliza en la teoría de Kaluza-Klein . Para el segundo, el ejemplo más destacado surge del concepto de conexión afín que se introdujo enla teoría de la relatividad general principalmente a través del trabajo de Tullio Levi-Civita y Hermann Weyl . ^[11]

Un mayor desarrollo de la teoría cuántica de campos cambió el enfoque de la búsqueda de la teoría del campo unificado de la descripción clásica a la cuántica. Por eso, muchos físicos teóricos dejaron de buscar una teoría clásica de campo unificado. ^[11] La teoría cuántica de campos incluiría la unificación de otras dos fuerzas fundamentales de la naturaleza , la fuerza nuclear fuerte y la débil que actúan en el nivel subatómico. ^{[12] [13]}

Ver también

• Ecuaciones de onda relativistas
• Teoría cuántica de campos
• Teorías clásicas del campo unificado
• Métodos variacionales en la relatividad general.
• Campo de Higgs (clásico)
• Lagrangiano (teoría de campo)
• Teoría del campo hamiltoniano
• Teoría del campo covariante hamiltoniano

Notas

1. Esto depende de la elección correcta del calibre . φ y A no están determinados únicamente por ρ y J ; más bien, solo se determinan hasta alguna función escalar f ( r , t ) conocida como calibre. El formalismo de potencial retardado requiere que uno elija el medidor de Lorenz .
2. Esto es equivalente a elegir unidades de distancia y tiempo como segundos luz y segundos o años luz y años. Elegir c = 1 nos permite simplificar las ecuaciones. Por ejemplo, E = mc ^{2 se} reduce a E = m (ya que c ² = 1, sin realizar un seguimiento de las unidades). Esto reduce la complejidad de las expresiones mientras se mantiene el foco en los principios subyacentes. Este "truco" debe tenerse en cuenta al realizar cálculos numéricos reales.

Referencias

Citas

1. James MacCullagh (1839) Un ensayo hacia una teoría dinámica de la reflexión y refracción cristalinas , Transactions, Royal Irish Academy 21
2. Kleppner, David; Kolenkow, Robert. Introducción a la mecánica . pag. 85.
3. Griffiths, David. Introducción a la electrodinámica (3ª ed.). pag. 326.
4. Wangsness, Roald. Campos electromagnéticos (2ª ed.). pag. 469.
5. http://mathworld.wolfram.com/BianchiIdentities.html
6. Kaluza, Theodor (1921). "Zum Unitätsproblem in der Physik". Sitzungsber. Preuss. Akad. Wiss. Berlina. (Math. Phys.) : 966–972. Código Bib : 1921SPAW ....... 966K .
7. Weyl, H. (1918). "Gravitation und Elektrizität". Sitz. Preuss. Akad. Wiss. : 465.
8. Eddington, COMO (1924). La teoría matemática de la relatividad, 2ª ed . Universidad de Cambridge. Presionar.
9. Mie, G. (1912). "Grundlagen einer Theorie der Materie" . Ana. Phys . 37 (3): 511–534. Código Bibliográfico : 1912AnP ... 342..511M . doi : 10.1002 / yp.19123420306 .
10. Reichenbächer, E. (1917). "Grundzüge zu einer Theorie der Elektrizität und der Gravitation" . Ana. Phys . 52 (2): 134-173. Código bibliográfico : 1917AnP ... 357..134R . doi : 10.1002 / yp.19173570203 .
11. Sauer, Tilman (mayo de 2014), "Programa de teoría del campo unificado de Einstein", en Janssen, Michel; Lehner, Christoph (eds.), The Cambridge Companion to Einstein , Cambridge University Press, ISBN 9781139024525
12. Gadzirayi Nyambuya, Golden (octubre de 2007). "Teoría de campo unificado - Papel I, gravitacional, electromagnético, débil y la fuerza fuerte" (PDF) . Apeiron . 14 (4): 321 . Consultado el 30 de diciembre de 2017 .
13. De Boer, W. (1994). "Grandes teorías unificadas y supersimetría en física de partículas y cosmología" (PDF) . Progresos en Física de Partículas y Nuclear . 33 : 201-301. arXiv : hep-ph / 9402266 . Código bibliográfico : 1994PrPNP..33..201D . doi : 10.1016 / 0146-6410 (94) 90045-0 . S2CID 119353300 . Consultado el 30 de diciembre de 2017 .  

Fuentes

• Truesdell, C .; Toupin, RA (1960). "Las teorías clásicas del campo". En Flügge, Siegfried (ed.). Principios de la mecánica clásica y la teoría de campos / Prinzipien der Klassischen Mechanik und Feldtheorie . Handbuch der Physik (Enciclopedia de física). III / 1. Berlín – Heidelberg – Nueva York: Springer-Verlag. págs. 226–793. Zbl  0118.39702 ..

Enlaces externos

• Thidé, Bo . "Teoría del campo electromagnético" (PDF) . Archivado desde el original (PDF) el 17 de septiembre de 2003 . Consultado el 14 de febrero de 2006 .
• Carroll, Sean M. (1997). "Notas de la conferencia sobre la relatividad general". arXiv : gr-qc / 9712019 . Código Bibliográfico : 1997gr.qc .... 12019C .
• Binney, James J. "Notas de la conferencia sobre campos clásicos" (PDF) . Consultado el 30 de abril de 2007 .
• Sardanashntly, G. (noviembre de 2008). "Teoría de campo clásica avanzada". Revista Internacional de Métodos Geométricos en Física Moderna . 5 (7): 1163-1189. arXiv : 0811.0331 . Código bibliográfico : 2008IJGMM..05.1163S . doi : 10.1142 / S0219887808003247 . ISBN 978-981-283-895-7. S2CID  13884729 .