Operador de cierre

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En matemáticas , un operador de cierre en un conjunto S es una función del conjunto potencia de S a sí mismo que satisface las siguientes condiciones para todos los conjuntos${\displaystyle \operatorname {cl} :{\mathcal {P}}(S)\rightarrow {\mathcal {P}}(S)}$${\displaystyle X,Y\subseteq S}$

Los operadores de clausura están determinados por sus conjuntos cerrados , es decir, por los conjuntos de la forma cl( X ), ya que la clausura cl( X ) de un conjunto X es el conjunto cerrado más pequeño que contiene a X. Estas familias de "conjuntos cerrados" a veces se denominan sistemas de cierre o " familias de Moore ", en honor a EH Moore , quien estudió los operadores de cierre en su Introducción a una forma de análisis general de 1910 , mientras que el concepto de cierre de un subconjunto se originó en el obra de Frigyes Riesz en relación con los espacios topológicos. ^[1]Aunque no se formalizó en ese momento, la idea de cierre se originó a fines del siglo XIX con contribuciones notables de Ernst Schröder , Richard Dedekind y Georg Cantor . ^[2]

Los operadores de cierre también se denominan " operadores de casco ", lo que evita confusiones con los "operadores de cierre" estudiados en topología . Un conjunto junto con un operador de cierre en él a veces se denomina espacio de cierre .

para todos (Tenga en cuenta que para esto da ).${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$${\ estilo de visualización n = 0}$${\displaystyle \operatorname {cl} (\varnada)=\varnada}$

En la teoría de conjuntos parcialmente ordenados , que son importantes en informática teórica , los operadores de cierre tienen una definición más general que reemplaza por . (Ver § Operadores de cierre en conjuntos parcialmente ordenados ).${\displaystyle \subseteq}$${\ estilo de visualización \ leq}$

La clausura topológica de un subconjunto X de un espacio topológico consta de todos los puntos y del espacio, tal que cada vecindad de y contiene un punto de X. La función que asocia a todo subconjunto X su clausura es un operador de clausura topológica. A la inversa, todo operador de cierre topológico sobre un conjunto da lugar a un espacio topológico cuyos conjuntos cerrados son exactamente los conjuntos cerrados con respecto al operador de cierre.

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