En matemáticas , el cierre de un subconjunto S de puntos en un espacio topológico consta de todos los puntos en S junto con todos los puntos límite de S . El cierre de S puede equivalentemente ser definida como la unión de S y su límite , y también como la intersección de todos los conjuntos cerrados que contienen S . Intuitivamente, se puede pensar en el cierre como todos los puntos que están en S o "cerca" de S. Un punto que está en el cierre de S es un punto de cierre de S . La noción de cierre es en muchos sentidos dual con la noción de interior .
Definiciones
Punto de cierre
Para un subconjunto de un espacio euclidiano , es un punto de cierre de si cada bola abierta centrada en contiene un punto de (este punto puede ser sí mismo).
Esta definición se generaliza a cualquier subconjunto de un espacio métrico Totalmente expresado, por un espacio métrico con métrico es un punto de cierre de si por cada existe algo tal que la distancia (de nuevo, esta permitido). Otra forma de expresar esto es decir que es un punto de cierre de si la distancia
Esta definición se generaliza a los espacios topológicos reemplazando "bola abierta" o "bola" por " vecindad ". Dejar ser un subconjunto de un espacio topológico Luego es un punto de cierre o adherente de si cada barrio de contiene un punto de [1] Tenga en cuenta que esta definición no depende de si se requiere que los vecindarios estén abiertos.
Punto límite
La definición de un punto de cierre está estrechamente relacionada con la definición de un punto límite . La diferencia entre las dos definiciones es sutil pero importante, es decir, en la definición de punto límite, cada vecindad del puntoen cuestión debe contener un punto del conjunto que no seasí mismo . El conjunto de todos los puntos límite de un conjunto.se llama el conjunto derivado de
Por tanto, cada punto límite es un punto de cierre, pero no todo punto de cierre es un punto límite. Un punto de cierre que no es un punto límite es un punto aislado . En otras palabras, un punto es un punto aislado de si es un elemento de y si hay un barrio de que no contiene otros puntos de otro que sí mismo. [2]
Para un conjunto dado y punto es un punto de cierre de si y solo si es un elemento de o es un punto límite de (o ambos).
Cierre de un set
El cierre de un subconjunto de un espacio topológico denotado por o posiblemente por (Si se entiende), donde si ambos y son claros por el contexto, entonces también puede ser denotado por o (es más, a veces se escribe con mayúscula ) se puede definir utilizando cualquiera de las siguientes definiciones equivalentes:
- es el conjunto de todos los puntos de cierre de
- es el set junto con todos sus puntos límite . [3]
- es la intersección de todos los conjuntos cerrados que contienen
- es el conjunto cerrado más pequeño que contiene
- es la unión de y su límite
- es el conjunto de todos para lo cual existe un neto (valorado) en que converge a en
El cierre de un conjunto tiene las siguientes propiedades. [4]
- es un superconjunto cerrado de
- El conjunto está cerrado si y solo si
- Si luego es un subconjunto de
- Si es un conjunto cerrado, entonces contiene si y solo si contiene
A veces, la segunda o tercera propiedad anterior se toma como la definición del cierre topológico, que aún tiene sentido cuando se aplica a otros tipos de cierres (ver más abajo). [5]
En un primer espacio contable (como un espacio métrico ),es el conjunto de todos los límites de todas las secuencias convergentes de puntos enPara un espacio topológico general, esta afirmación permanece verdadera si se reemplaza "secuencia" por " red " o " filtro ".
Tenga en cuenta que estas propiedades también se satisfacen si "cierre", "superconjunto", "intersección", "contiene / contiene", "más pequeño" y "cerrado" se reemplazan por "interior", "subconjunto", "unión", "contenido en "," más grande "y" abierto ". Para obtener más información sobre este asunto, consulte el operador de cierre a continuación.
Ejemplos de
Considere una esfera en 3 dimensiones. Implícitamente hay dos regiones de interés creadas por esta esfera; la esfera misma y su interior (que se llama una bola 3 abierta). Es útil poder distinguir entre el interior de la bola 3 y la superficie, por lo que distinguimos entre la bola 3 abierta y la bola 3 cerrada: el cierre de la bola 3. El cierre de la bola 3 abierta es la bola 3 abierta más la superficie.
En espacio topológico :
- En cualquier espacio
- En cualquier espacio
Donación y la topología estándar (métrica) :
- Si es el espacio euclidiano de números reales , entonces
- Si es el espacio euclidiano luego el cierre del set de números racionales es todo el espacio Nosotros decimos eso es denso en
- Si es el plano complejo luego
- Si es un subconjunto finito de un espacio euclidiano luego (Para un espacio topológico general, esta propiedad es equivalente al axioma T 1 ).
En el conjunto de números reales se pueden colocar otras topologías en lugar de la estándar.
- Si está dotado de la topología de límite inferior , entonces
- Si uno considera en la topología discreta en la que cada conjunto está cerrado (abierto), entonces
- Si uno considera en la topología trivial en la que los únicos conjuntos cerrados (abiertos) son el conjunto vacío y sí mismo, entonces
Estos ejemplos muestran que el cierre de un conjunto depende de la topología del espacio subyacente. Los dos últimos ejemplos son casos especiales de lo siguiente.
- En cualquier espacio discreto , dado que todo conjunto es cerrado (y también abierto), todo conjunto es igual a su cierre.
- En cualquier espacio indiscreto ya que los únicos conjuntos cerrados son el conjunto vacío y en sí mismo, tenemos que el cierre del conjunto vacío es el conjunto vacío, y para cada subconjunto no vacío de En otras palabras, cada subconjunto no vacío de un espacio indiscreto es denso .
El cierre de un conjunto también depende de en qué espacio estemos llevando el cierre. Por ejemplo, sies el conjunto de números racionales, con la topología relativa habitual inducida por el espacio euclidiano y si luego está cerrado y abierto en porque ni ni su complemento puede contener , que sería el límite inferior de , pero no puede estar en porque es irracional. Entonces, no tiene un cierre bien definido debido a que los elementos de contorno no están en . Sin embargo, si en cambio definimospara ser el conjunto de números reales y definir el intervalo de la misma manera entonces el cierre de ese intervalo está bien definido y sería el conjunto de todos los números reales mayores o iguales a .
Operador de cierre
Un operador de cierre en un setes un mapeo del conjunto de poder de , en sí mismo que satisface los axiomas de cierre de Kuratowski . Dado un espacio topológico , el cierre topológico induce una función que se define enviando un subconjunto a donde la notación o se puede utilizar en su lugar. Por el contrario, si es un operador de cierre en un set entonces se obtiene un espacio topológico definiendo los conjuntos cerrados como exactamente esos subconjuntos que satisfacen (así complementa en de estos subconjuntos forman los conjuntos abiertos de la topología). [6]
El operador de cierre es dual para el operador interior , que se denota por en el sentido de que
y también
Por lo tanto, la teoría abstracta de los operadores de cierre y los axiomas de cierre de Kuratowski se pueden traducir fácilmente al lenguaje de los operadores interiores reemplazando conjuntos con sus complementos en
En general, el operador de cierre no se desplaza con las intersecciones. Sin embargo, en un espacio métrico completo , se cumple el siguiente resultado:
Teorema [7] (C. Ursescu) - Seaser una secuencia de subconjuntos de un espacio métrico completo
- Si cada está cerrado en luego
- Si cada está abierto en luego
Hechos sobre cierres
Un subconjunto está cerrado en si y solo si En particular:
- El cierre del conjunto vacío es el conjunto vacío;
- El cierre de en sí mismo es
- El cierre de una intersección de conjuntos es siempre un subconjunto de (pero no necesita ser igual a) la intersección de los cierres de los conjuntos.
- En una unión de un número finito de conjuntos, el cierre de la unión y la unión de los cierres son iguales; la unión de conjuntos de ceros es el conjunto vacío, por lo que esta declaración contiene la declaración anterior sobre el cierre del conjunto vacío como un caso especial.
- El cierre de la unión de infinitos conjuntos no tiene por qué ser igual a la unión de los cierres, pero siempre es un superconjunto de la unión de los cierres.
Si y si es un subespacio de (significa que está dotado de la topología subespacial que induce en él), entonces y el cierre de calculado en es igual a la intersección de y el cierre de calculado en :
- [prueba 1]
En particular, es denso en si y solo si es un subconjunto de
Si pero no es necesariamente un subconjunto de entonces solo
está garantizado en general, donde esta contención podría ser estricta (considere, por ejemplo, con la topología habitual, y [prueba 2] ) aunque si es un subconjunto abierto de luego la igualdad tendrá [prueba 3] (sin importar la relación entre y ). En consecuencia, sies cualquier tapa abierta de y si es cualquier subconjunto entonces:
porque para cada (donde cada está dotado de la topología subespacial inducida en él por). Esta igualdad es particularmente útil cuandoes un colector y los conjuntos en la tapa abiertason dominios de gráficos de coordenadas . En palabras, este resultado muestra que el cierre en de cualquier subconjunto puede calcularse "localmente" en los conjuntos de cualquier cubierta abierta de y luego se unieron. De esta manera, este resultado puede verse como el análogo del hecho bien conocido de que un subconjunto está cerrado en si y solo si está " localmente cerrado en", lo que significa que si es cualquier tapa abierta de luego está cerrado en si y solo si está cerrado en para cada
Interpretación categórica
Se puede definir elegantemente el operador de cierre en términos de flechas universales, como sigue.
El poder de un conjuntopuede realizarse como una categoría de orden parcial en el que los objetos son subconjuntos y los morfismos son mapas de inclusión cuando sea es un subconjunto de Además, una topología en es una subcategoría de con functor de inclusión El conjunto de subconjuntos cerrados que contienen un subconjunto fijo se puede identificar con la categoría de coma Esta categoría, también una orden parcial, tiene un objeto inicial Por tanto, hay una flecha universal de a dado por la inclusión
Del mismo modo, dado que cada conjunto cerrado que contiene corresponde con un conjunto abierto contenido en podemos interpretar la categoría como el conjunto de subconjuntos abiertos contenidos en con objeto terminal el interior de
Todas las propiedades del cierre se pueden derivar de esta definición y algunas propiedades de las categorías anteriores. Además, esta definición precisa la analogía entre el cierre topológico y otros tipos de cierres (por ejemplo cierre algebraico ), ya que todos son ejemplos de flechas universales .
Ver también
- Punto adherente : un punto que pertenece al cierre de algún subconjunto de un espacio topológico.
- Álgebra de cierre
- Conjunto derivado (matemáticas)
- Interior (topología)
- Punto límite : un punto x en un espacio topológico, cuyos vecindarios contienen algún punto en un subconjunto dado que es diferente de x .
Notas
- ^ Porque es un subconjunto cerrado de la intersección es un subconjunto cerrado de (por definición de la topología subespacial ), lo que implica que (porque es el subconjunto cerrado más pequeño de conteniendo ). Porque es un subconjunto cerrado de de la definición de la topología subespacial, debe existir algún conjunto tal que está cerrado en y Porque y está cerrado en la minimidad de implica que Intersección de ambos lados con muestra que
- ^ Desde y resulta que y lo que implica
- ^ Deje y asumir que está abierto en Dejar que es igual a (porque ). El complemento está abierto en dónde estar abierto en ahora implica que también está abierto en como consecuencia es un subconjunto cerrado de dónde contiene como un subconjunto (porque si es en luego ), lo que implica que Intersección de ambos lados con prueba que La inclusión inversa se deriva de
Referencias
- ^ Schubert 1968 , p. 20
- ↑ Kuratowski , 1966 , p. 75
- ^ Hocking y Young , 1988 , p. 4
- ^ Croom 1989 , p. 104
- ^ Gemignani 1990 , p. 55, Pervin 1965 , pág. 40 y Baker 1991 , p. 38 utilizan la segunda propiedad como definición.
- ↑ Pervin , 1965 , p. 41
- ↑ Zălinescu , 2002 , p. 33.
Bibliografía
- Baker, Crump W. (1991), Introducción a la topología , Wm. C. Editorial Brown, ISBN 0-697-05972-3
- Croom, Fred H. (1989), Principios de topología , Saunders College Publishing, ISBN 0-03-012813-7
- Gemignani, Michael C. (1990) [1967], Topología elemental (2ª ed.), Dover, ISBN 0-486-66522-4
- Hocking, John G .; Young, Gail S. (1988) [1961], Topología , Dover, ISBN 0-486-65676-4
- Kuratowski, K. (1966), Topología , I , Academic Press
- Pervin, William J. (1965), Fundamentos de la topología general , Academic Press
- Schubert, Horst (1968), Topología , Allyn y Bacon
- Zălinescu, Constantin (30 de julio de 2002). Análisis convexo en espacios vectoriales generales . River Edge, Nueva Jersey Londres: World Scientific Publishing . ISBN 978-981-4488-15-0. Señor 1921556 . OCLC 285163112 .
enlaces externos
- "Cierre de un conjunto" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]