mentira cogebra

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En dimensiones finitas, estos son objetos duales: el espacio vectorial dual de un álgebra de Lie tiene naturalmente la estructura de una álgebra de Lie, y viceversa.

Sea E un espacio vectorial sobre un campo k provisto de una aplicación lineal de E al producto exterior de E consigo mismo. Es posible extender d únicamente a una derivación graduada (esto significa que, para cualquier a , b ∈ E que sean elementos homogéneos , ) de grado 1 en el álgebra exterior de E :${\ estilo de visualización d \ dos puntos E \ a E \ cuña E}$${\displaystyle d(a\cuña b)=(da)\cuña b+(-1)^{\deg a}a\cuña (db)}$

Entonces se dice que el par ( E , d ) es una cogebra de Lie si d ² = 0, es decir, si las componentes graduadas del álgebra exterior con derivación forman un complejo cocadenario :${\ estilo de texto (\ cuña grande ^ {*} E, d)}$

Así como el álgebra exterior (y el álgebra tensorial) de campos vectoriales en una variedad forman un álgebra de Lie (sobre el campo base K ), el complejo de De Rham de formas diferenciales en una variedad forman una coalgebra de Lie (sobre el campo base K ). Además, existe un emparejamiento entre campos vectoriales y formas diferenciales.

Sin embargo, la situación es más sutil: el paréntesis de Lie no es lineal sobre el álgebra de funciones suaves (el error es la derivada de Lie ), ni la derivada exterior : (es una derivación, no lineal sobre funciones): no son tensores . No son funciones lineales, pero se comportan de manera consistente, lo que no se capta simplemente con la noción de álgebra de Lie y coalgebra de Lie.${\displaystyle C^{\infty}(M)}$${\displaystyle d(fg)=(df)g+f(dg)\neq f(dg)}$

Además, en el complejo de Rham, la derivación no solo se define para , sino que también se define para .${\ estilo de visualización \ Omega ^ {1} \ a \ Omega ^ {2}}$${\displaystyle C^{\infty}(M)\to \Omega^{1}(M)}$

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