Derivada de la mentira

En geometría diferencial , la Lie derivado / l i / , el nombre de Sophus Lie por Władysław Ślebodziński , ^{[1] [2]} evalúa el cambio de un campo tensor (incluyendo funciones escalares, campos de vectores y uno-formas ), a lo largo del flujo de definido por otro campo vectorial. Este cambio es invariante de coordenadas y, por lo tanto, la derivada de Lie se define en cualquier variedad diferenciable .

Las funciones, los campos tensoriales y las formas se pueden diferenciar con respecto a un campo vectorial. Si T es un campo tensor y X es un campo de vector, entonces la derivada de Lie de T con respecto a X se denota . El operador diferencial es una derivación del álgebra de campos tensoriales de la variedad subyacente.${\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}(T)}$ ${\displaystyle T\mapsto {\mathcal {L}}_{X}(T)}$

La derivada de Lie conmuta con la contracción y la derivada exterior en formas diferenciales .

Aunque hay muchos conceptos de tomar una derivada en geometría diferencial, todos coinciden cuando la expresión que se diferencia es una función o un campo escalar . Así, en este caso, se elimina la palabra "Mentira" y se habla simplemente de la derivada de una función.

La derivada de Lie de un campo vectorial Y con respecto a otro campo vectorial X se conoce como el " soporte de Lie " de X e Y , y a menudo se denota [ X , Y ] en lugar de . El espacio de campos vectoriales forma un álgebra de Lie con respecto a este soporte de Lie. La derivada de Lie constituye una representación de álgebra de Lie de dimensión infinita de esta álgebra de Lie, debido a la identidad${\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}(Y)}$

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{[X,Y]}T={\mathcal {L}}_{X}{\mathcal {L}}_{Y}T-{\mathcal {L}}_{Y}{\mathcal {L}}_{X}T,}$

válida para cualquier campos de vectores X y Y y cualquier campo tensor T .

Considerando los campos vectoriales como generadores infinitesimales de flujos (es decir, grupos unidimensionales de difeomorfismos ) en M , la derivada de Lie es el diferencial de la representación del grupo de difeomorfismos en los campos tensoriales, análoga a las representaciones del álgebra de Lie como representaciones infinitesimales asociadas a la representación de grupo en Teoría de grupos de mentiras .

Existen generalizaciones para campos de espino , haces de fibras con conexión y formas diferenciales con valores vectoriales .

Motivación

Un intento "ingenuo" de definir la derivada de un campo tensorial con respecto a un campo vectorial sería tomar las componentes del campo tensorial y tomar la derivada direccional de cada componente con respecto al campo vectorial. Sin embargo, esta definición no es deseable porque no es invariante bajo cambios de sistema de coordenadas , por ejemplo, la derivada ingenua expresada en coordenadas polares o esféricas difiere de la derivada ingenua de los componentes en coordenadas cartesianas . En una variedad abstracta, tal definición no tiene sentido y está mal definida. En geometría diferencial, hay tres nociones principales independientes de coordenadas de diferenciación de campos tensoriales: derivadas de Lie, derivadas con respecto a las conexiones y la derivada exterior de tensores o formas diferenciales completamente antisimétricas (covariantes) . La principal diferencia entre la derivada de Lie y una derivada con respecto a una conexión es que la última derivada de un campo tensorial con respecto a un vector tangente está bien definida incluso si no se especifica cómo extender ese vector tangente a un campo vectorial . Sin embargo, una conexión requiere la elección de una estructura geométrica adicional (por ejemplo, una métrica de Riemann o simplemente una conexión abstracta) en el colector. Por el contrario, cuando se toma una derivada de Lie, no se necesita una estructura adicional en la variedad, pero es imposible hablar de la derivada de Lie de un campo tensorial con respecto a un solo vector tangente, ya que el valor de la derivada de Lie de un tensor campo con respecto a un campo vectorial X en un punto p depende del valor de X en una vecindad de p , no solo en p en sí. Finalmente, la derivada exterior de las formas diferenciales no requiere opciones adicionales, sino que es solo una derivada bien definida de las formas diferenciales (incluidas las funciones).

Definición

La derivada de Lie se puede definir de varias formas equivalentes. Para simplificar las cosas, comenzamos por definir la derivada de Lie que actúa sobre funciones escalares y campos vectoriales, antes de pasar a la definición de tensores generales.

La derivada (de mentira) de una función

Definir la derivada de una función en una variedad es problemático porque el cociente de diferencias no se puede determinar mientras el desplazamiento no está definido.${\displaystyle f:M\to {\mathbb {R} }}$ ${\displaystyle \textstyle (f(x+h)-f(x))/h}$${\displaystyle x+h}$

La derivada de Lie de una función con respecto a un campo vectorial en un punto es la función${\displaystyle f:M\to {\mathbb {R} }}$ ${\displaystyle X}$${\displaystyle p\in M}$

${\displaystyle ({\mathcal {L}}_{X}f)(p)=\lim _{t\to 0}{\frac {f(P(t,p))-f(p)}{t}}:M\to {\mathbb {R} },}$

donde es el punto al cual el flujo definido por el campo vectorial mapea el punto en el instante de tiempo En las proximidades de es la solución única del sistema${\displaystyle P(t,p)}$${\displaystyle X}$${\displaystyle p}$${\displaystyle t.}$${\displaystyle t=0,}$ ${\displaystyle P(t,p)}$

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}P(t,p)=X(P(t,p))}$

de ecuaciones diferenciales autónomas de primer orden (es decir, independientes del tiempo) en el espacio tangente , con${\displaystyle T_{P(t,p)}M}$${\displaystyle P(0,p)=p.}$

Para un gráfico de coordenadas en el colector y dejar que sea la tangente lineal mapa. El sistema anterior de ecuaciones diferenciales está escrito más explícitamente como un sistema${\displaystyle (U,\varphi )}$${\displaystyle M,}$${\displaystyle x\in U,}$${\displaystyle d\varphi _{x}:T_{x}U\to T_{\varphi (x)}{\mathbb {R} }^{n}\cong {\mathbb {R} }^{n}}$

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\varphi (P(t,p))=d\varphi _{P(t,p)}X(P(t,p))}$

en con la condición inicial de ser Es fácilmente verificable que la solución es independiente de la elección de coordinar gráfico.${\displaystyle {\mathbb {R} }^{n},}$${\displaystyle \varphi (P(0,p))=\varphi (p).}$${\displaystyle P(t,p)}$

El ajuste identifica la derivada de Lie de una función con la derivada direccional .${\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}f=\nabla _{X}f}$

La derivada de Lie de un campo vectorial

Si X e Y son ambos campos vectoriales, entonces la derivada de Lie de Y con respecto a X también se conoce como el corchete de Lie de X e Y , y a veces se denota . Existen varios enfoques para definir el corchete de Lie, todos los cuales son equivalentes. Aquí enumeramos dos definiciones, correspondientes a las dos definiciones de un campo vectorial dadas anteriormente:${\displaystyle [X,Y]}$

• El corchete de Lie de X e Y en p viene dado en coordenadas locales por la fórmula

  ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}Y(p)=[X,Y](p)=\partial _{X}Y(p)-\partial _{Y}X(p),}$

  donde y denotan las operaciones de tomar las derivadas direccionales con respecto a X e Y , respectivamente. Aquí estamos tratando un vector en el espacio n -dimensional como una n - tupla , de modo que su derivada direccional es simplemente la tupla que consta de las derivadas direccionales de sus coordenadas. Aunque la expresión final que aparece en esta definición no depende de la elección de las coordenadas locales, los términos individuales y dependen de la elección de las coordenadas.${\displaystyle \partial _{X}}$${\displaystyle \partial _{Y}}$${\displaystyle \partial _{X}Y(p)-\partial _{Y}X(p)}$${\displaystyle \partial _{X}Y(p)}$${\displaystyle \partial _{Y}X(p)}$
• Si X e Y son campos vectoriales en una variedad M según la segunda definición, entonces el operador definido por la fórmula${\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}Y=[X,Y]}$

  ${\displaystyle [X,Y]:C^{\infty }(M)\rightarrow C^{\infty }(M)}$

  ${\displaystyle [X,Y](f)=X(Y(f))-Y(X(f))}$

  es una derivación de orden cero del álgebra de funciones suaves de M , es decir, este operador es un campo vectorial según la segunda definición.

La derivada de Lie de un campo tensorial

Definición en términos de flujos

La derivada de Lie es la velocidad con la que cambia el campo tensorial bajo la deformación espacial causada por el flujo.

Formalmente, dado un campo vectorial diferenciable (independiente del tiempo) en una variedad suave , sea ​​el flujo local correspondiente y el mapa de identidad. Dado que es un difeomorfismo local, para cada uno y el inverso${\displaystyle X}$${\displaystyle M,}$${\displaystyle \Gamma _{X}^{t}:M\to M}$${\displaystyle \Gamma _{X}^{0}}$${\displaystyle \Gamma _{X}^{t}}$${\displaystyle t}$${\displaystyle p\in M,}$

${\displaystyle \left(d_{p}\Gamma _{X}^{t}\right)^{-1}:T_{\Gamma _{X}^{t}(p)}M\to T_{p}M}$

del diferencial se extiende únicamente al homomorfismo${\displaystyle \left(d_{p}\Gamma _{X}^{t}\right)}$

${\displaystyle h_{p}^{t}:T\left(T_{\Gamma _{X}^{t}(p)}M\right)\to T(T_{p}M)}$

entre las álgebras tensoriales de los espacios tangentes y del mismo modo, el mapa de retroceso${\displaystyle T_{\Gamma _{X}^{t}(p)}M}$${\displaystyle T_{p}M.}$

${\displaystyle \left(\Gamma _{X}^{t}\right)_{p}^{*}:T_{\Gamma _{X}^{t}(p)}^{*}M\to T_{p}^{*}M}$

se eleva a un homomorfismo de álgebra tensorial único

${\displaystyle h_{p}^{t}:T\left(T_{\Gamma _{X}^{t}(p)}^{*}M\right)\to T(T_{p}^{*}M).}$

Para cada existe, en consecuencia, un campo tensorial de la misma valencia que el de.${\displaystyle t,}$${\displaystyle h_{p}^{t}Y}$${\displaystyle Y}$

Si es un campo tensorial de tipo - o - , entonces la derivada de Lie de a lo largo de un campo vectorial se define en el punto como${\displaystyle Y}$${\displaystyle (r,0)}$${\displaystyle (0,s)}$${\displaystyle {\cal {L}}_{X}Y}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle X}$${\displaystyle p\in M}$

${\displaystyle {\cal {L}}_{X}Y(p)={\frac {d}{dt}}{\Biggl |}_{t=0}\left(h_{p}^{t}\left[Y\left(\Gamma _{X}^{t}(p)\right)\right]\right)=\lim _{t\to 0}{\frac {h_{p}^{t}\left[Y\left(\Gamma _{X}^{t}(p)\right)\right]-Y(p)}{t}}.}$

El campo tensorial resultante tiene la misma valencia que 's.${\displaystyle {\cal {L}}_{X}Y}$${\displaystyle Y}$

Definición algebraica

Ahora damos una definición algebraica. La definición algebraica de la derivada de Lie de un campo tensorial se deriva de los siguientes cuatro axiomas:

Axioma 1. La derivada de Lie de una función es igual a la derivada direccional de la función. Este hecho a menudo se expresa mediante la fórmula

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{Y}f=Y(f)}$

Axioma 2. La derivada de Lie obedece a la siguiente versión de la regla de Leibniz: Para cualquier campo tensorial S y T , tenemos

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{Y}(S\otimes T)=({\mathcal {L}}_{Y}S)\otimes T+S\otimes ({\mathcal {L}}_{Y}T).}$

Axioma 3. La derivada de Lie obedece a la regla de Leibniz con respecto a la contracción :

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}(T(Y_{1},\ldots ,Y_{n}))=({\mathcal {L}}_{X}T)(Y_{1},\ldots ,Y_{n})+T(({\mathcal {L}}_{X}Y_{1}),\ldots ,Y_{n})+\cdots +T(Y_{1},\ldots ,({\mathcal {L}}_{X}Y_{n}))}$

Axioma 4. La derivada de Lie conmuta con la derivada exterior en funciones:

${\displaystyle [{\mathcal {L}}_{X},d]=0}$

Si estos axiomas se cumplen, entonces la aplicación de la derivada de Lie a la relación muestra que${\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}}$${\displaystyle df(Y)=Y(f)}$

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}Y(f)=X(Y(f))-Y(X(f)),}$

que es una de las definiciones estándar para el corchete de Lie .

La derivada de Lie que actúa sobre una forma diferencial es el anticonmutador del producto interior con la derivada exterior. Entonces, si α es una forma diferencial,

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{Y}\alpha =i_{Y}d\alpha +di_{Y}\alpha .}$

Esto se sigue fácilmente al verificar que la expresión conmuta con la derivada exterior, es una derivación (es un anticonmutador de derivaciones graduales) y hace lo correcto en las funciones.

Explícitamente, sea T un campo tensorial de tipo ( p , q ) . Considere que T es un mapa multilineal diferenciable de secciones lisas α ¹ , α ² , ..., α ^p del paquete cotangente T ^∗ M y de las secciones X ₁ , X ₂ , ..., X _q del paquete tangente TM , escrito T ( α ¹ , α ² , ..., X ₁ , X ₂ , ...) en R . Defina la derivada de Lie de T a lo largo de Y mediante la fórmula

${\displaystyle ({\mathcal {L}}_{Y}T)(\alpha _{1},\alpha _{2},\ldots ,X_{1},X_{2},\ldots )=Y(T(\alpha _{1},\alpha _{2},\ldots ,X_{1},X_{2},\ldots ))}$

${\displaystyle -T({\mathcal {L}}_{Y}\alpha _{1},\alpha _{2},\ldots ,X_{1},X_{2},\ldots )-T(\alpha _{1},{\mathcal {L}}_{Y}\alpha _{2},\ldots ,X_{1},X_{2},\ldots )-\ldots }$

${\displaystyle -T(\alpha _{1},\alpha _{2},\ldots ,{\mathcal {L}}_{Y}X_{1},X_{2},\ldots )-T(\alpha _{1},\alpha _{2},\ldots ,X_{1},{\mathcal {L}}_{Y}X_{2},\ldots )-\ldots }$

Se puede probar que las definiciones analíticas y algebraicas son equivalentes usando las propiedades del empuje hacia adelante y la regla de Leibniz para la diferenciación. La derivada de Lie conmuta con la contracción.

La derivada de Lie de una forma diferencial

Ver también: Producto interior

Una clase particularmente importante de campos tensoriales es la clase de formas diferenciales . La restricción de la derivada de Lie al espacio de formas diferenciales está estrechamente relacionada con la derivada exterior . Tanto la derivada de Lie como la derivada exterior intentan capturar la idea de una derivada de diferentes maneras. Estas diferencias se pueden salvar introduciendo la idea de un producto interior , después de lo cual las relaciones caen como una identidad conocida como fórmula de Cartan . La fórmula de Cartan también se puede utilizar como una definición de la derivada de Lie en el espacio de formas diferenciales.

Deje que M sea un colector y X un campo de vectores en M . Dejado ser un ( k + 1) - forma , es decir, para cada , es una alterna multilineal mapa de los números reales. El producto interior de X y ω es la forma k definida como${\displaystyle \omega \in \Lambda ^{k+1}(M)}$${\displaystyle p\in M}$${\displaystyle \omega (p)}$ ${\displaystyle (T_{p}M)^{k+1}}$${\displaystyle i_{X}\omega }$

${\displaystyle (i_{X}\omega )(X_{1},\ldots ,X_{k})=\omega (X,X_{1},\ldots ,X_{k})\,}$

La forma diferencial también se llama contracción de ω con X , y${\displaystyle i_{X}\omega }$

${\displaystyle i_{X}:\Lambda ^{k+1}(M)\rightarrow \Lambda ^{k}(M)}$

y es un (producto de cuña en formas diferenciales) - antiderivación . Es decir, es R- lineal y${\displaystyle i_{X}}$ ∧ {\displaystyle \wedge } ${\displaystyle i_{X}}$

${\displaystyle i_{X}(\omega \wedge \eta )=(i_{X}\omega )\wedge \eta +(-1)^{k}\omega \wedge (i_{X}\eta )}$

para y η otra forma diferencial. Además, para una función , es decir, una función de valor real o complejo en M , uno tiene${\displaystyle \omega \in \Lambda ^{k}(M)}$${\displaystyle f\in \Lambda ^{0}(M)}$

${\displaystyle i_{fX}\omega =f\,i_{X}\omega }$

donde denota el producto de f y X . La relación entre las derivadas exteriores y las derivadas de Lie se puede resumir de la siguiente manera. Primero, dado que la derivada de Lie de una función f con respecto a un campo vectorial X es la misma que la derivada direccional X ( f ), también es la misma que la contracción de la derivada exterior de f con X :${\displaystyle fX}$

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}f=i_{X}\,df}$

Para una forma diferencial general, la derivada de Lie es igualmente una contracción, teniendo en cuenta la variación en X :

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}\omega =i_{X}d\omega +d(i_{X}\omega ).}$

Esta identidad se conoce como fórmula de Cartan , fórmula de homotopía de Cartan o fórmula mágica de Cartan . Consulte el producto interior para obtener más detalles. La fórmula de Cartan se puede utilizar como una definición de la derivada de Lie de una forma diferencial. La fórmula de Cartan muestra en particular que

${\displaystyle d{\mathcal {L}}_{X}\omega ={\mathcal {L}}_{X}(d\omega ).}$

La derivada de Lie también satisface la relación

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{fX}\omega =f{\mathcal {L}}_{X}\omega +df\wedge i_{X}\omega .}$

Expresiones coordinadas

Nota: a continuación se utiliza la convención de suma de Einstein de sumar en índices repetidos.

En notación de coordenadas locales , para un campo tensorial de tipo ( r , s ) , la derivada de Lie a lo largo es${\displaystyle T}$${\displaystyle X}$

${\displaystyle {\begin{aligned}({\mathcal {L}}_{X}T)^{a_{1}\ldots a_{r}}{}_{b_{1}\ldots b_{s}}={}&X^{c}(\partial _{c}T^{a_{1}\ldots a_{r}}{}_{b_{1}\ldots b_{s}})\\&{}-{}(\partial _{c}X^{a_{1}})T^{ca_{2}\ldots a_{r}}{}_{b_{1}\ldots b_{s}}-\ldots -(\partial _{c}X^{a_{r}})T^{a_{1}\ldots a_{r-1}c}{}_{b_{1}\ldots b_{s}}\\&+(\partial _{b_{1}}X^{c})T^{a_{1}\ldots a_{r}}{}_{cb_{2}\ldots b_{s}}+\ldots +(\partial _{b_{s}}X^{c})T^{a_{1}\ldots a_{r}}{}_{b_{1}\ldots b_{s-1}c}\end{aligned}}}$

aquí, la notación significa tomar la derivada parcial con respecto a la coordenada . Alternativamente, si estamos usando una conexión libre de torsión (por ejemplo, la conexión Levi Civita ), entonces la derivada parcial se puede reemplazar con la derivada covariante, lo que significa reemplazar con (por abuso de notación) donde son los coeficientes de Christoffel .${\displaystyle \partial _{a}={\frac {\partial }{\partial x^{a}}}}$${\displaystyle x^{a}}$ ${\displaystyle \partial _{a}}$${\displaystyle \partial _{a}X^{b}}$${\displaystyle \nabla _{a}X^{b}=X_{;a}^{b}:=(\nabla X)_{a}^{\ b}=\partial _{a}X^{b}+\Gamma _{ac}^{b}X^{c}}$${\displaystyle \Gamma _{bc}^{a}=\Gamma _{cb}^{a}}$

La derivada de Lie de un tensor es otro tensor del mismo tipo, es decir, aunque los términos individuales de la expresión dependen de la elección del sistema de coordenadas, la expresión como un todo da como resultado un tensor

${\displaystyle ({\mathcal {L}}_{X}T)^{a_{1}\ldots a_{r}}{}_{b_{1}\ldots b_{s}}\partial _{a_{1}}\otimes \cdots \otimes \partial _{a_{r}}\otimes dx^{b_{1}}\otimes \cdots \otimes dx^{b_{s}}}$

que es independiente de cualquier sistema de coordenadas y del mismo tipo que .${\displaystyle T}$

La definición puede extenderse aún más a las densidades de tensor. Si T es una densidad tensorial de algún peso w con valor numérico real (por ejemplo, la densidad volumétrica del peso 1), entonces su derivada de Lie es una densidad tensorial del mismo tipo y peso.

${\displaystyle {\begin{aligned}({\mathcal {L}}_{X}T)^{a_{1}\ldots a_{r}}{}_{b_{1}\ldots b_{s}}={}&X^{c}(\partial _{c}T^{a_{1}\ldots a_{r}}{}_{b_{1}\ldots b_{s}})-(\partial _{c}X^{a_{1}})T^{ca_{2}\ldots a_{r}}{}_{b_{1}\ldots b_{s}}-\ldots -(\partial _{c}X^{a_{r}})T^{a_{1}\ldots a_{r-1}c}{}_{b_{1}\ldots b_{s}}+\\&+(\partial _{b_{1}}X^{c})T^{a_{1}\ldots a_{r}}{}_{cb_{2}\ldots b_{s}}+\ldots +(\partial _{b_{s}}X^{c})T^{a_{1}\ldots a_{r}}{}_{b_{1}\ldots b_{s-1}c}+w(\partial _{c}X^{c})T^{a_{1}\ldots a_{r}}{}_{b_{1}\ldots b_{s}}\end{aligned}}}$

Observe el nuevo término al final de la expresión.

Para una conexión lineal , la derivada de Lie a lo largo es ^[3]${\displaystyle \Gamma =(\Gamma _{bc}^{a})}$${\displaystyle X}$

${\displaystyle ({\mathcal {L}}_{X}\Gamma )_{bc}^{a}=X^{d}\partial _{d}\Gamma _{bc}^{a}+\partial _{b}\partial _{c}X^{a}-\Gamma _{bc}^{d}\partial _{d}X^{a}+\Gamma _{dc}^{a}\partial _{b}X^{d}+\Gamma _{bd}^{a}\partial _{c}X^{d}}$

Ejemplos

Para mayor claridad, ahora mostramos los siguientes ejemplos en notación de coordenadas locales .

Para un campo escalar tenemos:${\displaystyle \phi (x^{c})\in {\mathcal {F}}(M)}$

${\displaystyle ({\mathcal {L}}_{X}\phi )=X(\phi )=X^{a}\partial _{a}\phi }$.

Por tanto, para el campo escalar y el campo vectorial, la derivada de Lie correspondiente se convierte en ${\displaystyle \phi (x,y)=x^{2}-\sin(y)}$${\displaystyle X=\sin(x)\partial _{y}-y^{2}\partial _{x}}$

$${\displaystyle {\begin{alignedat}{3}{\mathcal {L}}_{X}\phi &=(\sin(x)\partial _{y}-y^{2}\partial _{x})(x^{2}-\sin(y))\\&=\sin(x)\partial _{y}(x^{2}-\sin(y))-y^{2}\partial _{x}(x^{2}-\sin(y))\\&=-\sin(x)\cos(y)-2xy^{2}\\\end{alignedat}}}$$

Para obtener un ejemplo de forma diferencial de rango superior, considere la forma 2 y el campo vectorial del ejemplo anterior. Luego,${\displaystyle \omega =(x^{2}+y^{2})dx\wedge dz}$${\displaystyle X}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {L}}_{X}\omega &=d(i_{\sin(x)\partial _{y}-y^{2}\partial _{x}}((x^{2}+y^{2})dx\wedge dz))+i_{\sin(x)\partial _{y}-y^{2}\partial _{x}}(d((x^{2}+y^{2})dx\wedge dz))\\&=d(-y^{2}(x^{2}+y^{2})dz)+i_{\sin(x)\partial _{y}-y^{2}\partial _{x}}(2ydy\wedge dx\wedge dz)\\&=\left(-2xy^{2}dx+(-2yx^{2}-4y^{3})dy\right)\wedge dz+(2y\sin(x)dx\wedge dz+2y^{3}dy\wedge dz)\\&=\left(-2xy^{2}+2y\sin(x)\right)dx\wedge dz+(-2yx^{2}-2y^{3})dy\wedge dz\end{aligned}}}$$

Algunos ejemplos más abstractos.

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}(dx^{b})=di_{X}(dx^{b})=dX^{b}=\partial _{a}X^{b}dx^{a}}$.

Por lo tanto, para un campo covector , es decir, una forma diferencial , tenemos:${\displaystyle A=A_{a}(x^{b})dx^{a}}$

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}A=X(A_{a})dx^{a}+A_{b}{\mathcal {L}}_{X}(dx^{b})=(X^{b}\partial _{b}A_{a}+A_{b}\partial _{a}(X^{b}))dx^{a}}$

El coeficiente de la última expresión es la expresión de coordenadas locales de la derivada de Lie.

Para un campo tensorial covariante de rango 2 tenemos:${\displaystyle T=T_{ab}(x^{c})dx^{a}\otimes dx^{b}}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}({\mathcal {L}}_{X}T)&=({\mathcal {L}}_{X}T)_{ab}dx^{a}\otimes dx^{b}\\&=X(T_{ab})dx^{a}\otimes dx^{b}+T_{cb}{\mathcal {L}}_{X}(dx^{c})\otimes dx^{b}+T_{ac}dx^{a}\otimes {\mathcal {L}}_{X}(dx^{c})\\&=(X^{c}\partial _{c}T_{ab}+T_{cb}\partial _{a}X^{c}+T_{ac}\partial _{b}X^{c})dx^{a}\otimes dx^{b}\\\end{aligned}}}$$

Si es el tensor métrico simétrico, es paralelo con respecto a la conexión de Levi Civita (también conocida como derivada covariante), y resulta útil utilizar la conexión. Esto tiene el efecto de reemplazar todas las derivadas con derivadas covariantes, dando${\displaystyle T=g}$

${\displaystyle ({\mathcal {L}}_{X}g)=(X^{c}g_{ab;c}+g_{cb}X_{;a}^{c}+g_{ac}X_{;b}^{c})dx^{a}\otimes dx^{b}=(X_{b;a}+X_{a;b})dx^{a}\otimes dx^{b}}$

Propiedades

La derivada de Lie tiene varias propiedades. Deje que sea el álgebra de funciones definidas en el colector de M . Luego${\displaystyle {\mathcal {F}}(M)}$

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}:{\mathcal {F}}(M)\rightarrow {\mathcal {F}}(M)}$

es una derivación del álgebra . Es decir, es R- lineal y${\displaystyle {\mathcal {F}}(M)}$${\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}}$

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}(fg)=({\mathcal {L}}_{X}f)g+f{\mathcal {L}}_{X}g.}$

De manera similar, es una derivación de dónde está el conjunto de campos vectoriales en M (cf. Teorema 6 del artículo: Nichita, FF Unification Theories: New Results and Examples. Axioms 2019, 8, 60):${\displaystyle {\mathcal {F}}(M)\times {\mathcal {X}}(M)}$${\displaystyle {\mathcal {X}}(M)}$

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}(fY)=({\mathcal {L}}_{X}f)Y+f{\mathcal {L}}_{X}Y}$

que también puede escribirse en la notación equivalente

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}(f\otimes Y)=({\mathcal {L}}_{X}f)\otimes Y+f\otimes {\mathcal {L}}_{X}Y}$

donde el símbolo del producto tensorial se usa para enfatizar el hecho de que el producto de una función por un campo vectorial se toma sobre toda la variedad.${\displaystyle \otimes }$

Las propiedades adicionales son consistentes con las del soporte de Lie . Así, por ejemplo, considerado como una derivación de un campo vectorial,

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}[Y,Z]=[{\mathcal {L}}_{X}Y,Z]+[Y,{\mathcal {L}}_{X}Z]}$

uno encuentra que lo anterior es solo la identidad de Jacobi . Por tanto, se tiene el importante resultado de que el espacio de campos vectoriales sobre M , equipado con el corchete de Lie, forma un álgebra de Lie .

La derivada de Lie también tiene propiedades importantes cuando actúa sobre formas diferenciales. Sean α y β dos formas diferenciales en M , y sean X e Y dos campos vectoriales. Luego

• ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}(\alpha \wedge \beta )=({\mathcal {L}}_{X}\alpha )\wedge \beta +\alpha \wedge ({\mathcal {L}}_{X}\beta )}$
• ${\displaystyle [{\mathcal {L}}_{X},{\mathcal {L}}_{Y}]\alpha :={\mathcal {L}}_{X}{\mathcal {L}}_{Y}\alpha -{\mathcal {L}}_{Y}{\mathcal {L}}_{X}\alpha ={\mathcal {L}}_{[X,Y]}\alpha }$
• ${\displaystyle [{\mathcal {L}}_{X},i_{Y}]\alpha =[i_{X},{\mathcal {L}}_{Y}]\alpha =i_{[X,Y]}\alpha ,}$donde i denota el producto interior definido anteriormente y está claro si [·, ·] denota el conmutador o el corchete de Lie de los campos vectoriales .

Generalizaciones

Varias generalizaciones de la derivada de Lie juegan un papel importante en la geometría diferencial.

La derivada de Lie de un campo de espinor

En 1971, Yvette Kosmann ya propuso una definición para las derivadas de Lie de los espinores a lo largo de campos vectoriales espaciotemporales genéricos, no necesariamente de Killing , en una variedad general (pseudo) riemanniana . ^[4] Posteriormente, se le proporcionó un marco geométrico que justifica su prescripción ad hoc dentro del marco general de las derivadas de Lie sobre haces de fibras ^[5] en el contexto explícito de los haces naturales gauge que resultan ser el escenario más apropiado para (gauge -covariante) teorías de campo. ^[6]

En una variedad de espín dada , es decir, en una variedad de Riemann que admite una estructura de espín , la derivada de Lie de un campo de espinor se puede definir definiéndola primero con respecto a isometrías infinitesimales (matar campos vectoriales) a través de la expresión local de André Lichnerowicz dada en 1963: ^[7]${\displaystyle (M,g)}$ ${\displaystyle \psi }$

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}\psi :=X^{a}\nabla _{a}\psi -{\frac {1}{4}}\nabla _{a}X_{b}\gamma ^{a}\gamma ^{b}\psi \,,}$

donde , como se supone que es un campo vectorial Killing , y son matrices de Dirac .${\displaystyle \nabla _{a}X_{b}=\nabla _{[a}X_{b]}}$${\displaystyle X=X^{a}\partial _{a}}$${\displaystyle \gamma ^{a}}$

Entonces es posible extender la definición de Lichnerowicz a todos los campos vectoriales (transformaciones infinitesimales genéricas) reteniendo la expresión local de Lichnerowicz para un campo vectorial genérico , pero tomando explícitamente la parte antisimétrica de solo. ^[4] Más explícitamente, la expresión local de Kosmann dada en 1972 es: ^[4]${\displaystyle X}$${\displaystyle \nabla _{a}X_{b}}$

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}\psi :=X^{a}\nabla _{a}\psi -{\frac {1}{8}}\nabla _{[a}X_{b]}[\gamma ^{a},\gamma ^{b}]\psi \,=\nabla _{X}\psi -{\frac {1}{4}}(dX^{\flat })\cdot \psi \,,}$

donde es el conmutador, es la derivada exterior , es la forma dual 1 correspondiente a debajo de la métrica (es decir, con índices reducidos) y es la multiplicación de Clifford.${\displaystyle [\gamma ^{a},\gamma ^{b}]=\gamma ^{a}\gamma ^{b}-\gamma ^{b}\gamma ^{a}}$${\displaystyle d}$${\displaystyle X^{\flat }=g(X,-)}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \cdot }$

Vale la pena señalar que la derivada del espinor Lie es independiente de la métrica y, por lo tanto, también de la conexión . Esto no es obvio desde el lado derecho de la expresión local de Kosmann, ya que el lado derecho parece depender de la métrica a través de la conexión de espín (derivada covariante), la dualización de los campos vectoriales (disminución de los índices) y el Clifford multiplicación en el haz de espinor . Este no es el caso: las cantidades en el lado derecho de la expresión local de Kosmann se combinan para hacer que todos los términos dependientes de la métrica y la conexión se cancelen.

Para obtener una mejor comprensión del concepto ampliamente debatido de derivada de Lie de los campos de espinor, uno puede consultar el artículo original, ^{[8] [9]} donde la definición de una derivada de Lie de los campos de espinor se coloca en el marco más general de la teoría de las derivadas de Lie de secciones de haces de fibras y el enfoque directo de Y. Kosmann al caso del espinor se generaliza para medir los haces naturales en la forma de un nuevo concepto geométrico llamado elevación de Kosmann .

Derivado de la mentira covariante

Si tenemos un paquete principal sobre la variedad M con G como grupo de estructura, y elegimos X para que sea un campo vectorial covariante como sección del espacio tangente del paquete principal (es decir, tiene componentes horizontal y vertical), entonces la covariante La derivada de Lie es solo la derivada de Lie con respecto a X sobre el paquete principal.

Ahora, si tenemos un campo vectorial Y sobre M (pero no el paquete principal) pero también tenemos una conexión sobre el paquete principal, podemos definir un campo vectorial X sobre el paquete principal de modo que su componente horizontal coincida con Y y su componente vertical coincide con la conexión. Esta es la derivada covariante de Lie.

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Derivado de Nijenhuis-Lie

Otra generalización, debida a Albert Nijenhuis , permite definir la derivada de Lie de una forma diferencial a lo largo de cualquier sección del haz Ω ^k ( M , T M ) de formas diferenciales con valores en el haz tangente. Si K  ∈ Ω ^k ( M , T M ) y α es una forma p diferencial , entonces es posible definir el producto interior i _K α de K y α. El derivado Nijenhuis-Lie es entonces el anticonmutador del producto interior y el derivado exterior:

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{K}\alpha =[d,i_{K}]\alpha =di_{K}\alpha -(-1)^{k-1}i_{K}\,d\alpha .}$

Historia

En 1931, Władysław Ślebodziński introdujo un nuevo operador diferencial, posteriormente llamado por David van Dantzig el de derivación de Lie, que se puede aplicar a escalares, vectores, tensores y conexiones afines y que demostró ser un poderoso instrumento en el estudio de grupos de automorfismos. .

A. Nijenhuis , Y. Tashiro y K. Yano estudiaron los derivados de Lie de objetos geométricos generales (es decir, secciones de haces de fibras naturales ) .

Durante bastante tiempo, los físicos habían estado usando derivados de Lie, sin hacer referencia al trabajo de los matemáticos. En 1940, Léon Rosenfeld ^[10] —y antes que él (en 1921 ^[11] ) Wolfgang Pauli ^{[12] -} introdujo lo que llamó una 'variación local' de un objeto geométrico inducida por una transformación infinitesimal de coordenadas generadas por un campo vectorial . Uno puede demostrar fácilmente que lo es .${\displaystyle \delta ^{\ast }A}$${\displaystyle A\,}$${\displaystyle X\,}$${\displaystyle \delta ^{\ast }A}$${\displaystyle -{\mathcal {L}}_{X}(A)\,}$

Ver también

• Derivado covariante
• Conexión (matemáticas)
• Soporte Frölicher – Nijenhuis
• Geodésico
• Campo de matanza
• Derivada del mapa exponencial

Notas

1. Trautman, A. (2008). "Comentarios sobre la historia de la noción de diferenciación de Lie". En Krupková, O .; Saunders, DJ (eds.). Variaciones, geometría y física: en honor al sexagésimo quinto cumpleaños de Demeter Krupka . Nueva York: Nova Science. págs. 297-302. ISBN 978-1-60456-920-9.
2. Ślebodziński, W. (1931). "Sur les équations de Hamilton". Toro. Acad. Roy. D. Belg . 17 (5): 864–870.
3. Yano, K. (1957). La teoría de las derivadas de la mentira y sus aplicaciones . Holanda Septentrional. pag. 8 . ISBN 978-0-7204-2104-0.
4. Kosmann, Y. (1971). "Dérivées de Lie des spineurs". Ana. Estera. Pura Appl. 91 (4): 317–395. doi : 10.1007 / BF02428822 .
5. Trautman, A. (1972). "Invarianza de los sistemas lagrangianos". En O'Raifeartaigh, L. (ed.). Relatividad general: artículos en honor a JL Synge . Oxford: Clarenden Press. pag. 85. ISBN 0-19-851126-4.
6. Fatibene, L .; Francaviglia, M. (2003). Formalismo natural y calibre natural para teorías de campo clásicas . Dordrecht: Académico Kluwer.
7. Lichnerowicz, A. (1963). "Spineurs harmoniques". CR Acad. Sci. París . 257 : 7-9.
8. Fatibene, L .; Ferraris, M .; Francaviglia, M .; Godina, M. (1996). "Una definición geométrica de la derivada de Lie para Spinor Fields". En Janyska, J .; Kolář, I .; Slovák, J. (eds.). Actas de la 6ª Conferencia Internacional sobre Geometría Diferencial y Aplicaciones, 28 de agosto-1 de septiembre de 1995 (Brno, República Checa) . Brno: Universidad de Masaryk. págs. 549–558. arXiv : gr-qc / 9608003v1 . Código Bibliográfico : 1996gr.qc ..... 8003F . ISBN 80-210-1369-9.
9. Godina, M .; Matteucci, P. (2003). "Estructuras G reductoras y derivados de Lie". Revista de Geometría y Física . 47 : 66–86. arXiv : matemáticas / 0201235 . Código Bibliográfico : 2003JGP .... 47 ... 66G . doi : 10.1016 / S0393-0440 (02) 00174-2 .
10. Rosenfeld, L. (1940). "Sur le tenseur d'impulsion-énergie". Mémoires Acad. Roy. D. Belg . 18 (6): 1–30.
11. El libro de Pauli sobre la relatividad.
12. Pauli, W. (1981) [1921]. Teoría de la relatividad (Primera ed.). Nueva York: Dover. ISBN 978-0-486-64152-2. Ver sección 23

Referencias

• Abraham, Ralph ; Marsden, Jerrold E. (1978). Fundamentos de la Mecánica . Londres: Benjamin-Cummings. ISBN 0-8053-0102-X. Consulte la sección 2.2 .
• Bleecker, David (1981). Teoría del calibre y principios de variación . Addison-Wesley. ISBN 0-201-10096-7. Consulte el Capítulo 0 .
• Jost, Jürgen (2002). Geometría Riemanniana y Análisis Geométrico . Berlín: Springer. ISBN 3-540-42627-2. Consulte la sección 1.6 .
• Kolář, I .; Michor, P .; Slovák, J. (1993). Operaciones naturales en geometría diferencial . Springer-Verlag. Amplia discusión de los corchetes de Lie y la teoría general de las derivadas de Lie.
• Lang, S. (1995). Variedades diferencial y riemanniana . Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-94338-1. Para generalizaciones a infinitas dimensiones.
• Lang, S. (1999). Fundamentos de la geometría diferencial . Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-98593-0. Para generalizaciones a infinitas dimensiones.
• Yano, K. (1957). La teoría de las derivadas de la mentira y sus aplicaciones . Holanda Septentrional. ISBN 978-0-7204-2104-0. Enfoque clásico mediante coordenadas.

Enlaces externos

• "Derivado de mentira" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]