Fin (teoría de categorías)

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En la teoría de categorías , un final de un funtor es una transformación extranatural universal de un objeto e de X a S. ^[1]${\ Displaystyle S: \ mathbf {C} ^ {\ mathrm {op}} \ times \ mathbf {C} \ to \ mathbf {X}}$

Más explícitamente, esto es un par , donde e es un objeto de X y es una transformación extranatural tal que para cada transformación extranatural existe un morfismo único de X con para cada objeto a de C.${\ Displaystyle (e, \ omega)}$${\ Displaystyle \ omega: e {\ ddot {\ to}} S}$${\ Displaystyle \ beta: x {\ ddot {\ to}} S}$${\ Displaystyle h: x \ to e}$${\ Displaystyle \ beta _ {a} = \ omega _ {a} \ circ h}$

Por abuso del lenguaje, el objeto e a menudo se denomina fin del functor S (olvido ) y se escribe${\ Displaystyle \ omega}$

Caracterización como límite: si X está completo y C es pequeño, el final se puede describir como el ecualizador en el diagrama

donde el primer morfismo que se iguala es inducido por y el segundo es inducido por .${\ Displaystyle S (c, c) \ to S (c, c ')}$${\ Displaystyle S (c ', c') \ a S (c, c ')}$

La definición del coendo de un funtor es el dual de la definición de un fin.${\ Displaystyle S: \ mathbf {C} ^ {\ mathrm {op}} \ times \ mathbf {C} \ to \ mathbf {X}}$

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