Cofinitud

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En matemáticas , un subconjunto cofinito de un conjunto es un subconjunto cuyo complemento en es un conjunto finito . En otras palabras, contiene todos menos un número finito de elementos de Si el complemento no es finito, pero es contable, entonces se dice que el conjunto es contable .${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle A}$${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle A}$${\displaystyle X.}$

Estos surgen naturalmente cuando se generalizan estructuras en conjuntos finitos a conjuntos infinitos, particularmente en productos infinitos, como en la topología de productos o suma directa .

Este uso del prefijo " co " para describir una propiedad que posee un conjunto de co instrumentar es consistente con su uso en otros términos tales como " co magro conjunto ".

El conjunto de todos los subconjuntos que son finitos o cofinitos forma un álgebra booleana , lo que significa que está cerrado bajo las operaciones de unión , intersección y complementación. Este álgebra de Boole es el${\displaystyle X}$álgebra finita-cofinita enUn álgebra booleanatiene unultrafiltrono principal único(es decir, unfiltro máximono generado por un solo elemento del álgebra) si y solo si existe un conjunto infinitotal quees isomorfo al cofinito finito álgebra enEn este caso, el ultrafiltro no principal es el conjunto de todos los conjuntos de cofinitos.${\displaystyle X.}$${\displaystyle A}$${\displaystyle X}$${\displaystyle A}$${\displaystyle X.}$

La topología cofinita (a veces llamada topología de complemento finito ) es una topología que se puede definir en cada conjunto. Tiene precisamente el conjunto vacío y todos los subconjuntos cofinitos de conjuntos abiertos. Como consecuencia, en la topología cofinita, los únicos subconjuntos cerrados son conjuntos finitos, o la totalidad de Simbólicamente, uno escribe la topología como${\displaystyle X.}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X.}$

Esta topología ocurre naturalmente en el contexto de la topología de Zariski . Dado que los polinomios en una variable sobre un campo son cero en conjuntos finitos, o toda la topología de Zariski en (considerada como línea afín ) es la topología cofinita. Lo mismo es cierto para cualquier curva algebraica irreducible ; no es cierto, por ejemplo, en el avión.${\displaystyle K}$${\displaystyle K,}$${\displaystyle K}$ ${\displaystyle XY=1}$

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