teorema de empaque circular
El teorema de empaquetamiento de círculos (también conocido como el teorema de Koebe-Andreev-Thurston ) describe las posibles relaciones de tangencia entre círculos en el plano cuyos interiores son disjuntos. Un empaque circular es una colección conectada de círculos (en general, en cualquier superficie de Riemann) cuyos interiores son disjuntos. El gráfico de intersección de un empaque circular es el gráfico que tiene un vértice para cada círculo y una arista para cada par de círculos que son tangentes . Si el empaque del círculo está en el plano o, de manera equivalente, en la esfera, entonces su gráfico de intersección se llama gráfico de monedas.; más generalmente, los gráficos de intersección de objetos geométricos interiores disjuntos se denominan gráficos de tangencia o gráficos de contacto . Los gráficos de monedas siempre son conexos, simples y planos . El teorema de empaquetado circular establece que estos son los únicos requisitos para que un gráfico sea un gráfico de monedas:
Teorema de empaquetamiento de círculos : para cada gráfico plano simple conectado G , hay un empaquetamiento de círculos en el plano cuyo gráfico de intersección es ( isomorfo a) G.
Un gráfico plano maximal G es un gráfico plano simple finito al que no se pueden agregar más bordes mientras se preserva la planaridad. Tal gráfico siempre tiene una incrustación plana única, en la que cada cara de la incrustación (incluida la cara exterior) es un triángulo. En otras palabras, todo grafo plano maximal G es el esqueleto 1 de un complejo simplicial que es homeomorfo a la esfera. El teorema de empaquetamiento de círculos garantiza la existencia de un empaquetamiento de círculos con un número finito de círculos cuya gráfica de intersección es isomorfa a G . Como establece el siguiente teorema de manera más formal, cada gráfico plano maximal puede tener como máximo un empaquetamiento.
Teorema de Koebe-Andreev-Thurston : si G es un gráfico plano máximo finito, entonces el empaque circular cuyo gráfico de tangencia es isomorfo a G es único, hasta las transformaciones de Möbius y los reflejos en las líneas.
Thurston [1] observa que esta unicidad es una consecuencia del teorema de rigidez de Mostow . Para ver esto, represente G con un empaque circular. Entonces, el plano en el que se empaquetan los círculos puede verse como el límite de un modelo semiespacial para un espacio hiperbólico tridimensional ; con esta vista, cada círculo es el límite de un plano dentro del espacio hiperbólico. Se puede definir un conjunto de planos disjuntos de esta manera a partir de los círculos del empaque, y un segundo conjunto de planos disjuntos definidos por los círculos que circunscriben cada hueco triangular entre tres de los círculos del empaque. Estos dos conjuntos de planos se encuentran en ángulo recto y forman los generadores.de un grupo de reflexión cuyo dominio fundamental puede verse como una variedad hiperbólica . Por la rigidez de Mostow, la estructura hiperbólica de este dominio está determinada de manera única, hasta la isometría del espacio hiperbólico; estas isometrías, cuando se ven en términos de sus acciones en el plano euclidiano en el límite del modelo de medio plano, se traducen en transformaciones de Möbius.
