En matemáticas , una variedad hiperbólica es un espacio donde cada punto se ve localmente como un espacio hiperbólico de alguna dimensión. Se estudian especialmente en las dimensiones 2 y 3, donde se denominan superficies hiperbólicas y 3-variedades hiperbólicas , respectivamente. En estas dimensiones, son importantes porque la mayoría de las variedades pueden convertirse en una variedad hiperbólica mediante un homeomorfismo . Esto es una consecuencia del teorema de uniformización para superficies y del teorema de geometrización para 3 variedades probado por Perelman .
Definición rigurosa
Un hiperbólico-el colector es un riemanniano completo- colector de curvatura seccional constante .
Cada colector completo, conectado y simplemente conectado de curvatura negativa constante es isométrico al espacio hiperbólico real. Como resultado, la cubierta universal de cualquier colector cerrado de curvatura negativa constante es . Por lo tanto, cada tal Se puede escribir como dónde es un grupo discreto libre de torsión de isometrías en . Es decir, es un subgrupo discreto de . El colector tiene un volumen finito si y solo sies una celosía .
Su descomposición espesa-delgada tiene una parte delgada que consiste en vecindarios tubulares de geodésicas cerradas y extremos que son el producto de un euclidiano () -manifold y el semirrayo cerrado. El colector es de volumen finito si y solo si su parte gruesa es compacta.
Ejemplos de
El ejemplo más simple de una variedad hiperbólica es el espacio hiperbólico , ya que cada punto en el espacio hiperbólico tiene una vecindad isométrica al espacio hiperbólico.
Un ejemplo simple y no trivial, sin embargo, es el toro una vez perforado. Este es un ejemplo de un (Isom (), ) -manifold . Esto se puede formar tomando un rectángulo ideal en- es decir, un rectángulo donde los vértices están en el límite en el infinito y, por lo tanto, no existen en la variedad resultante - e identifica imágenes opuestas.
De manera similar, podemos construir la esfera tres veces perforada, que se muestra a continuación, pegando dos triángulos ideales juntos. Esto también muestra cómo dibujar curvas en la superficie: la línea negra en el diagrama se convierte en la curva cerrada cuando los bordes verdes están pegados entre sí. Como estamos trabajando con una esfera perforada, los círculos de colores en la superficie, incluidos sus límites, no forman parte de la superficie y, por lo tanto, se representan en el diagrama como vértices ideales .
Muchos nudos y eslabones , incluidos algunos de los más simples, como el nudo en forma de ocho y los anillos de Borromeo , son hiperbólicos, por lo que el complemento del nudo o eslabón en es una triple variedad hiperbólica de volumen finito.
Resultados importantes
Para la estructura hiperbólica en un volumen finito hiperbólico-manifold es único por la rigidez de Mostow y, por lo tanto, las invariantes geométricas son de hecho invariantes topológicas. Uno de estos invariantes geométricos utilizados como invariante topológico es el volumen hiperbólico de un nudo o complemento de enlace, que puede permitirnos distinguir dos nudos entre sí mediante el estudio de la geometría de sus respectivas variedades.
También podemos preguntar cuál es el área del límite del complemento de nudos. Como existe una relación entre el volumen de un complemento de nudo y el volumen del complemento bajo un relleno de Dehn , [1] podemos usar el área del límite para informarnos de cómo podría cambiar el volumen bajo tal relleno.
Ver también
Referencias
- ^ Purcell, Jessica S .; Kalfagianni, Efstratia; Futer, David (6 de diciembre de 2006). "Relleno de Dehn, volumen y polinomio de Jones". arXiv : matemáticas / 0612138 . Bibcode : 2006math ..... 12138F . Cite journal requiere
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( ayuda )
- Kapovich, Michael (2009) [2001], Variedades hiperbólicas y grupos discretos , Modern Birkhäuser Classics, Boston, MA: Birkhäuser Boston, doi : 10.1007 / 978-0-8176-4913-5 , ISBN 978-0-8176-4912-8, Señor 1792613
- Maclachlan, Colin; Reid, Alan W. (2003), La aritmética de 3 variedades hiperbólicas , Textos de posgrado en matemáticas , 219 , Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-98386-8, Señor 1937957
- Ratcliffe, John G. (2006) [1994], Fundamentos de variedades hiperbólicas , Textos de posgrado en matemáticas, 149 (2a ed.), Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , doi : 10.1007 / 978-0-387-47322- 2 , ISBN 978-0-387-33197-3, MR 2249478
- Diagramas hiperbólicos de Voronoi simplificados, Frank Nielsen