Filtro de peine

Filtro de procesamiento de señales

Estructura de filtro de peine feedforward

En el procesamiento de señales , un filtro de peine es un filtro implementado agregando una versión retardada de una señal a sí mismo, causando interferencia constructiva y destructiva . La respuesta de frecuencia de un filtro de peine consiste en una serie de muescas espaciadas regularmente, dando la apariencia de un peine .

Aplicaciones

Filtro de peine PAL avanzado II (APCF-II, Motorola MC141627FT)

Los filtros de peine se emplean en una variedad de aplicaciones de procesamiento de señales, que incluyen:

• En cascada integrador-peine (CIC) filtros, comúnmente utilizados para anti-aliasing durante interpolación y decimación operaciones que cambian la frecuencia de muestreo de un sistema de tiempo discreto.
• Los filtros de peine 2D y 3D implementados en hardware (y ocasionalmente en software) en decodificadores de televisión analógica PAL y NTSC , reducen artefactos como el rastreo de puntos .
• Procesamiento de señales de audio , incluidos retardos , flanger y síntesis de guías de ondas digitales . Si el retardo se establece en unos pocos milisegundos, un filtro de peine puede modelar el efecto de las ondas estacionarias acústicas en una cavidad cilíndrica o en una cuerda vibrante .
• En astronomía, el astro-peine promete aumentar la precisión de los espectrógrafos existentes en casi cien veces.

En acústica , el filtrado de peine puede surgir como un artefacto no deseado. Por ejemplo, dos altavoces que reproducen la misma señal a diferentes distancias del oyente crean un efecto de filtrado de peine en el audio. ^[1] En cualquier espacio cerrado, los oyentes escuchan una mezcla de sonido directo y sonido reflejado. El sonido reflejado toma un camino más largo y retardado en comparación con el sonido directo, y se crea un filtro de peine donde los dos se mezclan en el oyente. ^[2]

Implementación

Los filtros de peine existen en dos formas, feedforward y feedback ; que se refieren a la dirección en la que se retrasan las señales antes de que se agreguen a la entrada.

Los filtros de peine se pueden implementar en formas de tiempo discreto o de tiempo continuo que son muy similares.

Formulario de feedforward

Estructura de filtro de peine feedforward

La estructura general de un filtro de peine feedforward se describe mediante la ecuación de diferencias :

${\displaystyle y[n]=x[n]+\alpha x[n-K]}$

donde es la longitud del retardo (medida en muestras) y α es un factor de escala aplicado a la señal retardada. La transformada z de ambos lados de la ecuación produce:${\displaystyle K}$

${\displaystyle Y(z)=\left(1+\alpha z^{-K}\right)X(z)}$

La función de transferencia se define como:

${\displaystyle H(z)={\frac {Y(z)}{X(z)}}=1+\alpha z^{-K}={\frac {z^{K}+\alpha }{z^{K}}}}$

Respuesta de frecuencia

Respuesta de magnitud anticipada para varios valores positivos de α y K = 1

Respuesta de magnitud anticipada para varios valores negativos de α y K = 1

La respuesta de frecuencia de un sistema de tiempo discreto expresada en el dominio z , se obtiene por sustitución z = e ^jΩ . Por lo tanto, para el filtro de peine feedforward:

${\displaystyle H\left(e^{j\Omega }\right)=1+\alpha e^{-j\Omega K}}$

Usando la fórmula de Euler , la respuesta de frecuencia también viene dada por

${\displaystyle H\left(e^{j\Omega }\right)={\bigl [}1+\alpha \cos(\Omega K){\bigr ]}-j\alpha \sin(\Omega K)}$

A menudo, es de interés la respuesta de magnitud , que ignora la fase. Esto se define como:

${\displaystyle \left|H\left(e^{j\Omega }\right)\right|={\sqrt {\Re \left\{H\left(e^{j\Omega }\right)\right\}^{2}+\Im \left\{H\left(e^{j\Omega }\right)\right\}^{2}}}}$

En el caso del filtro de peine feedforward, esto es:

${\displaystyle \left|H\left(e^{j\Omega }\right)\right|={\sqrt {\left(1+\alpha ^{2}\right)+2\alpha \cos(\Omega K)}}}$

El término (1 + α ² ) es constante, mientras que el término 2 α cos ( ΩK ) varía periódicamente . Por tanto, la respuesta de magnitud del filtro de peine es periódica.

Los gráficos muestran la respuesta de magnitud para varios valores de α , lo que demuestra esta periodicidad. Algunas propiedades importantes:

• La respuesta cae periódicamente a un mínimo local (a veces conocido como notch ) y periódicamente se eleva a un máximo local (a veces conocido como pico ).
• Para valores positivos de α , el primer mínimo ocurre en la mitad del período de retardo y se repite en múltiplos pares de la frecuencia de retardo a partir de entonces:

${\displaystyle f={\frac {1}{2K}},{\frac {3}{2K}},{\frac {5}{2K}}\cdots }$.

• Los niveles de los máximos y mínimos son siempre equidistantes de 1.
• Cuando α = ± 1 , los mínimos tienen amplitud cero. En este caso, los mínimos a veces se conocen como nulos .
• Los máximos para valores positivos de α coinciden con los mínimos para valores negativos de y viceversa.${\displaystyle \alpha }$

Respuesta de impulso

El filtro de peine de avance es uno de los filtros de respuesta de impulso finito más simples . ^[3] Su respuesta es simplemente el impulso inicial con un segundo impulso después del retraso.

Interpretación polo-cero

Mirando de nuevo a la función de transferencia de dominio z del filtro de peine de avance:

${\displaystyle H(z)={\frac {z^{K}+\alpha }{z^{K}}}}$

el numerador es igual a cero siempre que z ^K = - α . Esto tiene K soluciones, igualmente espaciadas alrededor de un círculo en el plano complejo ; estos son los ceros de la función de transferencia. El denominador es cero en z ^K = 0 , lo que da K polos en z = 0 . Esto conduce a una gráfica de polo cero como las que se muestran.

Gráfico de polo cero del filtro de peine de avance con K = 8 y α = 0,5

Gráfico de polo cero del filtro de peine de avance con K = 8 y α = −0,5

Formulario de comentarios

Estructura de filtro de peine de retroalimentación

De manera similar, la estructura general de un filtro de peine de retroalimentación se describe mediante la ecuación de diferencias :

${\displaystyle y[n]=x[n]+\alpha y[n-K]}$

Esta ecuación se puede reorganizar para que todos los términos en estén en el lado izquierdo y luego se tome la transformada z :${\displaystyle y}$

${\displaystyle \left(1-\alpha z^{-K}\right)Y(z)=X(z)}$

Por tanto, la función de transferencia es:

${\displaystyle H(z)={\frac {Y(z)}{X(z)}}={\frac {1}{1-\alpha z^{-K}}}={\frac {z^{K}}{z^{K}-\alpha }}}$

Respuesta de frecuencia

Respuesta de magnitud de retroalimentación para varios valores positivos de α y K = 2

Respuesta de magnitud de retroalimentación para varios valores negativos de α y K = 2

Sustituyendo z = e ^jΩ en la expresión de dominio z para el filtro de peine de retroalimentación:

${\displaystyle H\left(e^{j\Omega }\right)={\frac {1}{1-\alpha e^{-j\Omega K}}}}$

La respuesta de magnitud es la siguiente:

${\displaystyle \left|H\left(e^{j\Omega }\right)\right|={\frac {1}{\sqrt {\left(1+\alpha ^{2}\right)-2\alpha \cos(\Omega K)}}}}$

Nuevamente, la respuesta es periódica, como demuestran los gráficos. El filtro de peine de retroalimentación tiene algunas propiedades en común con la forma de retroalimentación:

• La respuesta cae periódicamente a un mínimo local y se eleva a un máximo local.
• Los máximos para valores positivos de α coinciden con los mínimos para valores negativos de y viceversa.${\displaystyle \alpha }$
• Para valores positivos de α , el primer máximo ocurre en 0 y se repite en múltiplos pares de la frecuencia de retardo a partir de entonces:

${\displaystyle f=0,{\frac {1}{K}},{\frac {2}{K}},{\frac {3}{K}}\cdots }$.

Sin embargo, también hay algunas diferencias importantes porque la respuesta de magnitud tiene un término en el denominador :

• Los niveles de los máximos y mínimos ya no son equidistantes de 1. Los máximos tienen una amplitud de 1/1 - α.
• El filtro solo es estable si | α | es estrictamente menor que 1. Como se puede ver en los gráficos, como | α | aumenta, la amplitud de los máximos aumenta cada vez más rápidamente.

Respuesta de impulso

El filtro de peine de retroalimentación es un tipo simple de filtro de respuesta de impulso infinito . ^[4] Si es estable, la respuesta consiste simplemente en una serie repetida de impulsos que disminuyen en amplitud con el tiempo.

Interpretación polo-cero

Mirando nuevamente la función de transferencia de dominio z del filtro de peine de retroalimentación:

${\displaystyle H(z)={\frac {z^{K}}{z^{K}-\alpha }}}$

Esta vez, el numerador es cero en z ^K = 0 , lo que da K ceros en z = 0 . El denominador es igual a cero siempre que z ^K = α . Esto tiene K soluciones, igualmente espaciadas alrededor de un círculo en el plano complejo ; estos son los polos de la función de transferencia. Esto conduce a una gráfica de polo cero como las que se muestran a continuación.

Gráfico de polo cero del filtro de peine de retroalimentación con K = 8 y α = 0.5

Gráfico de polo cero del filtro de peine de retroalimentación con K = 8 y α = −0,5

Filtros de peine de tiempo continuo

Los filtros de peine también se pueden implementar en tiempo continuo . La forma feedforward puede describirse mediante la ecuación:

${\displaystyle y(t)=x(t)+\alpha x(t-\tau )}$

donde τ es el retraso (medido en segundos). Tiene la siguiente función de transferencia:

${\displaystyle H(s)=1+\alpha e^{-s\tau }}$

La forma feedforward consta de un número infinito de ceros espaciados a lo largo del eje j..

El formulario de comentarios tiene la ecuación:

${\displaystyle y(t)=x(t)+\alpha y(t-\tau )}$

y la siguiente función de transferencia:

${\displaystyle H(s)={\frac {1}{1-\alpha e^{-s\tau }}}}$

La forma de retroalimentación consta de un número infinito de polos espaciados a lo largo del eje jω.

Las implementaciones en tiempo continuo comparten todas las propiedades de las respectivas implementaciones en tiempo discreto.

Ver también

• Interferómetro de Fabry-Pérot

Referencias

1. Roger Russell. "Audición, columnas y filtrado de peine" . Consultado el 22 de abril de 2010 .
2. "Fundamentos acústicos" . Corporación de Ciencias Acústicas. Archivado desde el original el 7 de mayo de 2010.
3. Smith, JO "Filtros de peine Feedforward" . Archivado desde el original el 6 de junio de 2011.
4. Smith, JO "Filtros de peine de retroalimentación" . Archivado desde el original el 6 de junio de 2011.

Enlaces externos

• Medios relacionados con los filtros de peine en Wikimedia Commons