Modelos compartimentales en epidemiología

Tipo de modelo matemático utilizado para enfermedades infecciosas

Los modelos compartimentales simplifican el modelado matemático de enfermedades infecciosas . La población se asigna a los compartimentos con etiquetas - por ejemplo, S , I , o R , ( S usceptible, I nfectious, o R ecovered). Las personas pueden progresar entre compartimentos. El orden de las etiquetas suele mostrar los patrones de flujo entre los compartimentos; por ejemplo SEIS significa susceptible, expuesto, infeccioso y luego susceptible de nuevo.

El origen de estos modelos se remonta a principios del siglo XX, siendo obras importantes la de Ross ^[1] en 1916, Ross y Hudson en 1917 ^{[2] [3]} y Kermack y McKendrick en 1927 . ^[4]

Los modelos se ejecutan con mayor frecuencia con ecuaciones diferenciales ordinarias (que son deterministas), pero también se pueden usar con un marco estocástico (aleatorio), que es más realista pero mucho más complicado de analizar.

Los modelos intentan predecir cosas como cómo se propaga una enfermedad, o el número total de infectados, o la duración de una epidemia, y estimar varios parámetros epidemiológicos como el número reproductivo . Dichos modelos pueden mostrar cómo las diferentes intervenciones de salud pública pueden afectar el resultado de la epidemia, por ejemplo, cuál es la técnica más eficiente para emitir un número limitado de vacunas en una población determinada.

El modelo SIR

El modelo SIR ^{[5] [6] [7]} es uno de los modelos compartimentales más simples, y muchos modelos son derivados de esta forma básica. El modelo consta de tres compartimentos: -

S : El número de s individuos usceptible. Cuando un individuo susceptible y uno infeccioso entran en "contacto infeccioso", el individuo susceptible contrae la enfermedad y pasa al compartimento infeccioso.

I : El número de i individuos nfectious. Estos son individuos que han sido infectados y son capaces de infectar a individuos susceptibles.

R para el número de r emoved (e inmune) o individuos fallecidos. Se trata de personas que se han infectado y se han recuperado de la enfermedad y han entrado en el compartimento extraído o han muerto. Se asume que el número de muertes es insignificante con respecto a la población total. Este compartimento también puede ser llamado " r ecovered" o " r esistant".

Este modelo es razonablemente predictivo ^[8] para enfermedades infecciosas que se transmiten de persona a persona y en las que la recuperación confiere una resistencia duradera, como el sarampión , las paperas y la rubéola .

Simulación de modelo espacial SIR. Cada célula puede infectar a sus ocho vecinos inmediatos.

Estas variables ( S , I y R ) representan el número de personas en cada compartimento en un momento determinado. Para representar que el número de individuos susceptibles, infecciosos y removidos puede variar con el tiempo (incluso si el tamaño total de la población permanece constante), hacemos que los números precisos sean una función de t (tiempo): S ( t ), I ( t ) y R ( t ). Para una enfermedad específica en una población específica, estas funciones pueden resolverse con el fin de predecir posibles brotes y controlarlos. ^[8]

Como lo implica la función variable de t , el modelo es dinámico en el sentido de que los números en cada compartimento pueden fluctuar con el tiempo. La importancia de este aspecto dinámico es más obvia en una enfermedad endémica con un período infeccioso corto, como el sarampión en el Reino Unido antes de la introducción de una vacuna en 1968. Estas enfermedades tienden a ocurrir en ciclos de brotes debido a la variación en el número de susceptibles (S ( t )) a lo largo del tiempo. Durante una epidemia, el número de individuos susceptibles disminuye rápidamente a medida que más se infectan y, por lo tanto, entran en los compartimentos infeccioso y eliminado. La enfermedad no puede volver a brotar hasta que se haya recuperado el número de susceptibles, por ejemplo, como resultado del nacimiento de una descendencia en el compartimento susceptible.

Amarillo = susceptible, granate = infeccioso, verde azulado = recuperado

Cada miembro de la población progresa típicamente de susceptible a infeccioso para recuperarse. Esto se puede mostrar como un diagrama de flujo en el que las cajas representan los diferentes compartimentos y las flechas la transición entre compartimentos, es decir

Estados en un modelo epidémico SIR y las tasas a las que los individuos hacen la transición entre ellos

Tasas de transición

Para la especificación completa del modelo, las flechas deben estar etiquetadas con las tasas de transición entre compartimentos. Entre S e I , se supone que la tasa de transición es d (S / N) / dt = -βSI / N ² , donde N es la población total, β es el número promedio de contactos por persona por tiempo, multiplicado por la probabilidad de transmisión de la enfermedad en un contacto entre un sujeto susceptible y uno infeccioso, y SI / N ² es la fracción de esos contactos entre un individuo infeccioso y susceptible que dan como resultado que la persona susceptible se infecte. (Esto es matemáticamente similar a la ley de acción de masasen química en la que las colisiones aleatorias entre moléculas dan como resultado una reacción química y la tasa fraccional es proporcional a la concentración de los dos reactivos).

Entre I y R , la tasa de transición se supone que es proporcional al número de individuos infecciosa que se γ I . Esto equivale a suponer que la probabilidad de que un individuo infeccioso se recupere en cualquier intervalo de tiempo dt es simplemente γ dt . Si un individuo es infeccioso para un promedio período de tiempo D , entonces γ = 1 / D . Esto también es equivalente a la suposición de que el tiempo que pasa un individuo en estado infeccioso es una variable aleatoria con una distribución exponencial . El modelo SIR "clásico" puede modificarse utilizando distribuciones más complejas y realistas para la tasa de transición de IR (p. Ej.Distribución de Erlang ^[9] ).

Para el caso especial en el que no hay remoción del compartimento infeccioso (γ = 0), el modelo SIR se reduce a un modelo SI muy simple, que tiene una solución logística , en el que cada individuo eventualmente se infecta.

El modelo SIR sin dinámica vital

Una sola realización de la epidemia de SIR producida con una implementación del algoritmo de Gillespie y la solución numérica del sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias (discontinuas).

La dinámica de una epidemia, por ejemplo, la gripe , a menudo es mucho más rápida que la dinámica del nacimiento y la muerte, por lo tanto, el nacimiento y la muerte a menudo se omiten en modelos compartimentales simples. El sistema SIR sin la llamada dinámica vital (nacimiento y muerte, a veces llamada demografía) descrito anteriormente se puede expresar mediante el siguiente conjunto de ecuaciones diferenciales ordinarias : ^{[6] [10]}

${\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {dS}{dt}}=-{\frac {\beta IS}{N}},\\[6pt]&{\frac {dI}{dt}}={\frac {\beta IS}{N}}-\gamma I,\\[6pt]&{\frac {dR}{dt}}=\gamma I,\end{aligned}}}$

donde es el stock de la población susceptible, es el stock de infectados, es el stock de la población eliminada (ya sea por muerte o por recuperación) y es la suma de estos tres.${\displaystyle S}$${\displaystyle I}$${\displaystyle R}$${\displaystyle N}$

Este modelo fue propuesto por primera vez por William Ogilvy Kermack y Anderson Gray McKendrick como un caso especial de lo que ahora llamamos teoría de Kermack-McKendrick , y siguió al trabajo que McKendrick había hecho con Ronald Ross .

Este sistema no es lineal , sin embargo, es posible derivar su solución analítica en forma implícita. ^[5] En primer lugar, tenga en cuenta que de:

${\displaystyle {\frac {dS}{dt}}+{\frac {dI}{dt}}+{\frac {dR}{dt}}=0,}$

resulta que:

${\displaystyle S(t)+I(t)+R(t)={\text{constant}}=N,}$

expresando en términos matemáticos la constancia de la población . Tenga en cuenta que la relación anterior implica que solo es necesario estudiar la ecuación para dos de las tres variables.${\displaystyle N}$

En segundo lugar, observamos que la dinámica de la clase infecciosa depende de la siguiente proporción:

${\displaystyle R_{0}={\frac {\beta }{\gamma }},}$

el llamado número de reproducción básico (también llamado índice de reproducción básico). Esta relación se deriva como el número esperado de nuevas infecciones (estas nuevas infecciones a veces se denominan infecciones secundarias) de una sola infección en una población en la que todos los sujetos son susceptibles. ^{[11] [12]} Esta idea probablemente se pueda ver más fácilmente si decimos que el tiempo típico entre contactos es , y el tiempo típico hasta la eliminación es . De aquí se deduce que, en promedio, el número de contactos de un individuo infeccioso con otros antes de que se haya eliminado el infeccioso es:${\displaystyle T_{c}=\beta ^{-1}}$${\displaystyle T_{r}=\gamma ^{-1}}$${\displaystyle T_{r}/T_{c}.}$

Dividiendo la primera ecuación diferencial por la tercera, separando las variables e integrando obtenemos

${\displaystyle S(t)=S(0)e^{-R_{0}(R(t)-R(0))/N},}$

donde y son los números iniciales de, respectivamente, sujetos susceptibles y removidos. Escribiendo para la proporción inicial de los individuos susceptibles, y y para la proporción de individuos susceptibles y eliminados, respectivamente, en el límite de uno tiene ${\displaystyle S(0)}$${\displaystyle R(0)}$${\displaystyle s_{0}=S(0)/N}$${\displaystyle s_{\infty }=S(\infty )/N}$${\displaystyle r_{\infty }=R(\infty )/N}$${\displaystyle t\to \infty ,}$

${\displaystyle s_{\infty }=1-r_{\infty }=s_{0}e^{-R_{0}(r_{\infty }-r_{0})}}$

(tenga en cuenta que el compartimento infeccioso se vacía en este límite). Esta ecuación trascendental tiene una solución en términos de la función W de Lambert , ^{[13] a} saber

${\displaystyle s_{\infty }=1-r_{\infty }=-R_{0}^{-1}\,W(-s_{0}R_{0}e^{-R_{0}(1-r_{0})}).}$

Esto muestra que al final de una epidemia que se ajusta a los supuestos simples del modelo SIR, a menos que no se hayan eliminado todos los individuos de la población, por lo que algunos deben permanecer susceptibles. Una fuerza impulsora que lleva al final de una epidemia es la disminución del número de individuos infecciosos. Por lo general, la epidemia no termina debido a una falta total de individuos susceptibles. ${\displaystyle s_{0}=0}$

El papel tanto del número de reproducción básico como de la susceptibilidad inicial es extremadamente importante. De hecho, al reescribir la ecuación para individuos infecciosos de la siguiente manera:

${\displaystyle {\frac {dI}{dt}}=\left(R_{0}{\frac {S}{N}}-1\right)\gamma I,}$

da que si:

${\displaystyle R_{0}\cdot S(0)>N,}$

luego:

${\displaystyle {\frac {dI}{dt}}(0)>0,}$

es decir, habrá un brote epidémico adecuado con un aumento del número de infecciosos (que puede llegar a una fracción considerable de la población). Por el contrario, si

${\displaystyle R_{0}\cdot S(0)<N,}$

luego

${\displaystyle {\frac {dI}{dt}}(0)<0,}$

es decir, independientemente del tamaño inicial de la población susceptible, la enfermedad nunca puede causar un brote epidémico adecuado. Como consecuencia, está claro que tanto el número de reproducción básico como la susceptibilidad inicial son extremadamente importantes.

La fuerza de la infección

Tenga en cuenta que en el modelo anterior la función:

${\displaystyle F=\beta I,}$

modela la tasa de transición del compartimento de individuos susceptibles al compartimento de individuos infecciosos, por lo que se denomina fuerza de infección . Sin embargo, para grandes clases de enfermedades transmisibles es más realista considerar una fuerza de infección que no depende del número absoluto de sujetos infecciosos, sino de su fracción (con respecto a la población total constante ):${\displaystyle N}$

${\displaystyle F=\beta {\frac {I}{N}}.}$

Capasso ^[14] y, posteriormente, otros autores han propuesto fuerzas de infección no lineales para modelar de forma más realista el proceso de contagio.

Soluciones analíticas exactas para el modelo SIR

En 2014, Harko y sus coautores obtuvieron una llamada solución analítica exacta (que involucra una integral que solo se puede calcular numéricamente) para el modelo SIR. ^[5] En el caso sin configuración de dinámica vital, para , etc., corresponde a la siguiente parametrización de tiempo${\displaystyle {\mathcal {S}}(u)=S(t)}$

${\displaystyle {\mathcal {S}}(u)=S(0)u}$

${\displaystyle {\mathcal {I}}(u)=N-{\mathcal {R}}(u)-{\mathcal {S}}(u)}$

${\displaystyle {\mathcal {R}}(u)=R(0)-\rho \ln(u)}$

por

${\displaystyle t={\frac {N}{\beta }}\int _{u}^{1}{\frac {du^{*}}{u^{*}{\mathcal {I}}(u^{*})}},\quad \rho ={\frac {\gamma N}{\beta }},}$

con condiciones iniciales

${\displaystyle ({\mathcal {S}}(1),{\mathcal {I}}(1),{\mathcal {R}}(1))=(S(0),N-R(0)-S(0),R(0)),\quad u_{T}<u<1,}$

donde satisface . Por la ecuación trascendental anterior, se sigue que , si y .${\displaystyle u_{T}}$${\displaystyle {\mathcal {I}}(u_{T})=0}$${\displaystyle R_{\infty }}$${\displaystyle u_{T}=e^{-(R_{\infty }-R(0))/\rho }(=S_{\infty }/S(0)}$${\displaystyle S(0)\neq 0)}$${\displaystyle I_{\infty }=0}$

Una solución analítica equivalente (que involucra una integral que solo se puede calcular numéricamente) encontrada por Miller ^{[15] [16]} produce

${\displaystyle {\begin{aligned}S(t)&=S(0)e^{-\xi (t)}\\[8pt]I(t)&=N-S(t)-R(t)\\[8pt]R(t)&=R(0)+\rho \xi (t)\\[8pt]\xi (t)&={\frac {\beta }{N}}\int _{0}^{t}I(t^{*})\,dt^{*}\end{aligned}}}$

Aquí se puede interpretar como el número esperado de transmisiones que un individuo ha recibido por tiempo . Las dos soluciones están relacionadas por .${\displaystyle \xi (t)}$${\displaystyle t}$${\displaystyle e^{-\xi (t)}=u}$

Efectivamente, el mismo resultado se puede encontrar en el trabajo original de Kermack y McKendrick. ^[4]

Estas soluciones pueden entenderse fácilmente si se observa que todos los términos del lado derecho de las ecuaciones diferenciales originales son proporcionales a . Por lo tanto, las ecuaciones se pueden dividir entre , y el tiempo se puede reescalar para que el operador diferencial en el lado izquierdo se convierta en simplemente , donde , es decir . Las ecuaciones diferenciales ahora son todas lineales, y la tercera ecuación, de la forma const., Muestra que y (y arriba) están simplemente relacionados linealmente.${\displaystyle I}$${\displaystyle I}$${\displaystyle d/d\tau }$${\displaystyle d\tau =Idt}$${\displaystyle \tau =\int Idt}$${\displaystyle dR/d\tau =}$${\displaystyle \tau }$${\displaystyle R}$${\displaystyle \xi }$

Kröger y Schlickeiser ^[7] proporcionaron una aproximación analítica altamente precisa del modelo SIR, por lo que no es necesario realizar una integración numérica para resolver el modelo SIR, obtener sus parámetros a partir de datos existentes o predecir la dinámica futura. de una epidemia modelada por el modelo SIR. El aproximado involucra la función Lambert W , que es parte de todo el software básico de visualización de datos, como Microsoft Excel , MATLAB y Mathematica .

El modelo SIR con dinámica vital y población constante

Considere una población caracterizada por una tasa de mortalidad y natalidad , y donde se está propagando una enfermedad transmisible. ^[6] El modelo con transmisión de acción masiva es:${\displaystyle \mu }$${\displaystyle \Lambda }$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {dS}{dt}}&=\Lambda -\mu S-{\frac {\beta IS}{N}}\\[8pt]{\frac {dI}{dt}}&={\frac {\beta IS}{N}}-\gamma I-\mu I\\[8pt]{\frac {dR}{dt}}&=\gamma I-\mu R\end{aligned}}}$

para el cual el equilibrio libre de enfermedad (DFE) es:

${\displaystyle \left(S(t),I(t),R(t)\right)=\left({\frac {\Lambda }{\mu }},0,0\right).}$

En este caso, podemos derivar un número de reproducción básico :

${\displaystyle R_{0}={\frac {\beta }{\mu +\gamma }},}$

que tiene propiedades de umbral. De hecho, independientemente de los valores iniciales biológicamente significativos, se puede demostrar que:

${\displaystyle R_{0}\leq 1\Rightarrow \lim _{t\to \infty }(S(t),I(t),R(t))={\textrm {DFE}}=\left({\frac {\Lambda }{\mu }},0,0\right)}$

${\displaystyle R_{0}>1,I(0)>0\Rightarrow \lim _{t\to \infty }(S(t),I(t),R(t))={\textrm {EE}}=\left({\frac {\gamma +\mu }{\beta }},{\frac {\mu }{\beta }}\left(R_{0}-1\right),{\frac {\gamma }{\beta }}\left(R_{0}-1\right)\right).}$

El punto EE se denomina Equilibrio Endémico (la enfermedad no está totalmente erradicada y permanece en la población). Con argumentos heurísticos, se puede demostrar que puede leerse como el número promedio de infecciones causadas por un solo sujeto infeccioso en una población totalmente susceptible, la relación anterior significa biológicamente que si este número es menor o igual a uno, la enfermedad se extingue. mientras que si este número es superior a uno, la enfermedad seguirá siendo endémica de forma permanente en la población.${\displaystyle R_{0}}$

El modelo SIR

Diagrama del modelo SIR con valores iniciales y tasas de infección y recuperación${\textstyle S(0)=997,I(0)=3,R(0)=0}$${\textstyle \beta =0.4}$${\textstyle \gamma =0.04}$

Animación del modelo SIR con valores iniciales y tasa de recuperación . La animación muestra el efecto de reducir la tasa de infección de a . Si no hay medicamentos o vacunas disponibles, solo es posible reducir la tasa de infección (a menudo denominada " aplanamiento de la curva ") mediante medidas adecuadas, como el distanciamiento social.${\textstyle S(0)=997,I(0)=3,R(0)=0}$${\textstyle \gamma =0.04}$${\textstyle \beta =0.5}$${\textstyle \beta =0.12}$

En 1927, WO Kermack y AG McKendrick crearon un modelo en el que consideraron una población fija con solo tres compartimentos: susceptible ,; infectado ; y se recuperó, . Los compartimentos utilizados para este modelo constan de tres clases: ^[4]${\displaystyle S(t)}$${\displaystyle I(t)}$${\displaystyle R(t)}$

• ${\displaystyle S(t)}$ se utiliza para representar a los individuos que aún no están infectados con la enfermedad en el momento t, o aquellos susceptibles a la enfermedad de la población.
• ${\displaystyle I(t)}$ Denota los individuos de la población que han sido infectados con la enfermedad y son capaces de propagar la enfermedad a aquellos en la categoría susceptible.
• ${\displaystyle R(t)}$es el compartimento utilizado para los individuos de la población que han sido infectados y luego eliminados de la enfermedad, ya sea por inmunización o por muerte. Aquellos en esta categoría no pueden volver a infectarse ni transmitir la infección a otros.

El flujo de este modelo se puede considerar de la siguiente manera:

${\displaystyle {\color {blue}{{\mathcal {S}}\rightarrow {\mathcal {I}}\rightarrow {\mathcal {R}}}}}$

Usando una población fija, en las tres funciones se resuelve que el valor debe permanecer constante dentro de la simulación, si se usa una simulación para resolver el modelo SIR. Alternativamente, el aproximador analítico ^[7] se puede utilizar sin realizar una simulación. El modelo se inicia con valores de , y . Estos son el número de personas en las categorías de susceptibles, infectadas y eliminadas cuando el tiempo es igual a cero. Si se supone que el modelo SIR se mantiene en todo momento, estas condiciones iniciales no son independientes. ^[7] Posteriormente, el modelo de flujo actualiza las tres variables para cada punto de tiempo con valores establecidos para y${\displaystyle N=S(t)+I(t)+R(t)}$${\displaystyle N}$${\displaystyle S(t=0)}$${\displaystyle I(t=0)}$${\displaystyle R(t=0)}$${\displaystyle \beta }$${\displaystyle \gamma }$. La simulación primero actualiza los infectados de los susceptibles y luego la categoría eliminada se actualiza de la categoría de infectados para el siguiente momento (t = 1). Esto describe el flujo de personas entre las tres categorías. Durante una epidemia, la categoría susceptible no cambia con este modelo, cambia a lo largo de la epidemia y también lo hace . Estas variables determinan la duración de la epidemia y deberían actualizarse con cada ciclo.${\displaystyle \beta }$${\displaystyle \gamma }$

${\displaystyle {\frac {dS}{dt}}=-{\frac {\beta SI}{N}}}$

${\displaystyle {\frac {dI}{dt}}={\frac {\beta SI}{N}}-\gamma I}$

${\displaystyle {\frac {dR}{dt}}=\gamma I}$

Se hicieron varios supuestos en la formulación de estas ecuaciones: Primero, se debe considerar que un individuo de la población tiene la misma probabilidad que cualquier otro individuo de contraer la enfermedad con una tasa y una fracción igual de personas con las que un individuo entra en contacto. por unidad de tiempo. Entonces, sea ​​la multiplicación de y . Esta es la probabilidad de transmisión multiplicada por la tasa de contacto. Además, un individuo infectado entra en contacto con personas por unidad de tiempo, mientras que solo una fracción de ellas son susceptibles, por lo que tenemos todos los infecciosos que pueden infectar a personas susceptibles y, por lo tanto, el número total de susceptibles infectados por infecciosos por unidad de tiempo es${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$${\displaystyle \beta }$${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$${\displaystyle b}$${\displaystyle {\frac {S}{N}}}$${\displaystyle abS=\beta S}$${\displaystyle \beta SI}$. Para las ecuaciones segunda y tercera, considere que la población que sale de la clase susceptible es igual al número que entra en la clase infectada. Sin embargo, un número igual a la fracción (que representa la tasa media de recuperación / muerte, o el período infeccioso medio) de los infecciosos abandona esta clase por unidad de tiempo para entrar en la clase eliminada. Estos procesos que ocurren simultáneamente se conocen como la Ley de Acción de Masas, una idea ampliamente aceptada de que la tasa de contacto entre dos grupos en una población es proporcional al tamaño de cada uno de los grupos en cuestión. Finalmente, se asume que la tasa de infección y recuperación es mucho más rápida que la escala temporal de nacimientos y muertes y, por lo tanto, estos factores se ignoran en este modelo. ^[17]${\displaystyle \gamma }$${\displaystyle 1/\gamma }$

Soluciones de estado estacionario

La duración esperada de la susceptibilidad será donde refleje el tiempo de vida (esperanza de vida) y refleje el tiempo en el estado de susceptibilidad antes de infectarse, que puede simplificarse ^[18] a:${\displaystyle \operatorname {E} [\min(T_{L}\mid T_{S})]}$${\displaystyle T_{L}}$${\displaystyle T_{S}}$

${\displaystyle \operatorname {E} [\min(T_{L}\mid T_{S})]=\int _{0}^{\infty }e^{-(\mu +\delta )x}\,dx={\frac {1}{\mu +\delta }},}$

tal que el número de personas susceptibles sea el número que entra en el compartimento susceptible multiplicado por la duración de la susceptibilidad:${\displaystyle \mu N}$

${\displaystyle S={\frac {\mu N}{\mu +\lambda }}.}$

De manera análoga, el número en estado estable de personas infectadas es el número que ingresa al estado infectado desde el estado susceptible (número susceptible, multiplicado por la tasa de infección multiplicado por la duración de la infecciosidad :${\displaystyle \lambda ={\tfrac {\beta I}{N}},}$${\displaystyle {\tfrac {1}{\mu +v}}}$

${\displaystyle I={\frac {\mu N}{\mu +\lambda }}\lambda {\frac {1}{\mu +v}}.}$

Otros modelos compartimentales

Hay muchas modificaciones del modelo SIR, incluidas aquellas que incluyen nacimientos y muertes, donde al recuperarse no hay inmunidad (modelo SIS), donde la inmunidad dura solo por un corto período de tiempo (SIRS), donde hay un período latente de la enfermedad donde la persona no es infecciosa ( SEIS y SEIR ), y donde los bebés pueden nacer con inmunidad (MSIR).

Variaciones sobre el modelo SIR básico

El modelo SIS

Amarillo = susceptible, granate = infectado

Algunas infecciones, por ejemplo, las del resfriado común y la influenza , no confieren inmunidad duradera. Tales infecciones no confieren inmunidad al recuperarse de la infección y los individuos vuelven a ser susceptibles.

Tenemos el modelo:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {dS}{dt}}&=-{\frac {\beta SI}{N}}+\gamma I\\[6pt]{\frac {dI}{dt}}&={\frac {\beta SI}{N}}-\gamma I\end{aligned}}}$

Tenga en cuenta que al denotar con N la población total, se sostiene que:

${\displaystyle {\frac {dS}{dt}}+{\frac {dI}{dt}}=0\Rightarrow S(t)+I(t)=N}$.

Resulta que:

${\displaystyle {\frac {dI}{dt}}=(\beta -\gamma )I-{\frac {\beta }{N}}I^{2}}$,

es decir, la dinámica de las infecciones está regida por una función logística , de modo que :${\displaystyle \forall I(0)>0}$

${\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {\beta }{\gamma }}\leq 1\Rightarrow \lim _{t\to +\infty }I(t)=0,\\[6pt]&{\frac {\beta }{\gamma }}>1\Rightarrow \lim _{t\to +\infty }I(t)=\left(1-{\frac {\gamma }{\beta }}\right)N.\end{aligned}}}$

Es posible encontrar una solución analítica a este modelo (haciendo una transformación de variables: y sustituyéndola en las ecuaciones de campo medio), ^{[19] de} manera que la tasa de reproducción básica sea mayor que la unidad. La solución se da como${\displaystyle I=y^{-1}}$

${\displaystyle I(t)={\frac {I_{\infty }}{1+Ve^{-\chi t}}}}$.

dónde está la población infecciosa endémica , y . Como se supone que el sistema está cerrado, la población susceptible lo es .${\displaystyle I_{\infty }=(1-\gamma /\beta )N}$${\displaystyle \chi =\beta -\gamma }$${\displaystyle V=I_{\infty }/I_{0}-1}$${\displaystyle S(t)=N-I(t)}$

Como caso especial, se obtiene la función logística habitual asumiendo . Esto también se puede considerar en el modelo SIR con , es decir, no se llevará a cabo ninguna eliminación. Ese es el modelo SI . ^[20] El sistema de ecuaciones diferenciales que utiliza se reduce a:${\displaystyle \gamma =0}$${\displaystyle R=0}$${\displaystyle S=N-I}$

${\displaystyle {\frac {dI}{dt}}\propto I\cdot (N-I).}$

A largo plazo, en el modelo SI, todos los individuos se infectarán. Para evaluar el umbral epidémico en el modelo SIS en redes, ver Parshani et al. ^[21]

El modelo SIRD

Diagrama del modelo SIRD con valores iniciales y las tasas de infección , recuperación y mortalidad${\displaystyle S(0)=997,I(0)=3,R(0)=0}$${\displaystyle \beta =0.4}$${\displaystyle \gamma =0.035}$${\displaystyle \mu =0.005}$

Animación del modelo SIRD con valores iniciales y tasas de recuperación y mortalidad . La animación muestra el efecto de reducir la tasa de infección de a . Si no hay medicamentos o vacunas disponibles, solo es posible reducir la tasa de infección (a menudo denominada "aplanamiento de la curva") mediante medidas como el "distanciamiento social".${\textstyle S(0)=997,I(0)=3,R(0)=0}$${\textstyle \gamma =0.035}$${\textstyle \mu =0.005}$${\textstyle \beta =0.5}$${\textstyle \beta =0.12}$

El Modelo Susceptible-Infeccioso-Recuperado-Fallecido diferencia entre Recuperado (es decir, específicamente individuos que han sobrevivido a la enfermedad y ahora inmunes) y Fallecido . ^[11] Este modelo utiliza el siguiente sistema de ecuaciones diferenciales:

${\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {dS}{dt}}=-{\frac {\beta IS}{N}},\\[6pt]&{\frac {dI}{dt}}={\frac {\beta IS}{N}}-\gamma I-\mu I,\\[6pt]&{\frac {dR}{dt}}=\gamma I,\\[6pt]&{\frac {dD}{dt}}=\mu I,\end{aligned}}}$

dónde están las tasas de infección, recuperación y mortalidad, respectivamente. ^[22]${\displaystyle \beta ,\gamma ,\mu }$

El modelo MSIR

Para muchas infecciones, incluido el sarampión , los bebés no nacen en el compartimento susceptible, pero son inmunes a la enfermedad durante los primeros meses de vida debido a la protección de los anticuerpos maternos (que pasan a través de la placenta y, además, a través del calostro ). A esto se le llama inmunidad pasiva . Este detalle adicional se puede mostrar al incluir una clase M (para la inmunidad derivada de la madre) al comienzo del modelo.

Para indicar esto matemáticamente, se agrega un compartimento adicional, M ( t ) . Esto da como resultado las siguientes ecuaciones diferenciales:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {dM}{dt}}&=\Lambda -\delta M-\mu M\\[8pt]{\frac {dS}{dt}}&=\delta M-{\frac {\beta SI}{N}}-\mu S\\[8pt]{\frac {dI}{dt}}&={\frac {\beta SI}{N}}-\gamma I-\mu I\\[8pt]{\frac {dR}{dt}}&=\gamma I-\mu R\end{aligned}}}$

Estado del transportista

Algunas personas que han tenido una enfermedad infecciosa como la tuberculosis nunca se recuperan por completo y continúan siendo portadoras de la infección, sin sufrir la enfermedad. Luego pueden regresar al compartimiento infeccioso y sufrir síntomas (como en la tuberculosis) o pueden continuar infectando a otros en su estado de portador, sin sufrir síntomas. El ejemplo más famoso de esto es probablemente Mary Mallon , quien infectó a 22 personas con fiebre tifoidea . El compartimento del portador está etiquetado como C.

El modelo SEIR

Para muchas infecciones importantes, existe un período de incubación significativo durante el cual las personas han sido infectadas pero aún no son infecciosas. Durante este período, el individuo está en el compartimento E (expuesto).

Suponiendo que el período de incubación es una variable aleatoria con distribución exponencial con parámetro (es decir, el período de incubación promedio es ), y también asumiendo la presencia de dinámica vital con tasa de natalidad igual a la tasa de muerte (de modo que el número total es constante), tenemos el modelo:${\displaystyle a}$${\displaystyle a^{-1}}$${\displaystyle \Lambda }$${\displaystyle N\mu }$${\displaystyle N}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {dS}{dt}}&=\mu N-\mu S-{\frac {\beta IS}{N}}\\[8pt]{\frac {dE}{dt}}&={\frac {\beta IS}{N}}-(\mu +a)E\\[8pt]{\frac {dI}{dt}}&=aE-(\gamma +\mu )I\\[8pt]{\frac {dR}{dt}}&=\gamma I-\mu R.\end{aligned}}}$

Tenemos, pero esto solo es constante debido al supuesto simplificador de que las tasas de natalidad y mortalidad son iguales; en general es una variable.${\displaystyle S+E+I+R=N,}$${\displaystyle N}$

Para este modelo, el número de reproducción básico es:

${\displaystyle R_{0}={\frac {a}{\mu +a}}{\frac {\beta }{\mu +\gamma }}.}$

De manera similar al modelo SIR, también, en este caso, tenemos un Equilibrio libre de enfermedad ( N , 0,0,0) y un Equilibrio endémico EE, y se puede demostrar que, independientemente de las condiciones iniciales biológicamente significativas

${\displaystyle \left(S(0),E(0),I(0),R(0)\right)\in \left\{(S,E,I,R)\in [0,N]^{4}:S\geq 0,E\geq 0,I\geq 0,R\geq 0,S+E+I+R=N\right\}}$

sostiene que:

${\displaystyle R_{0}\leq 1\Rightarrow \lim _{t\to +\infty }\left(S(t),E(t),I(t),R(t)\right)=DFE=(N,0,0,0),}$

${\displaystyle R_{0}>1,I(0)>0\Rightarrow \lim _{t\to +\infty }\left(S(t),E(t),I(t),R(t)\right)=EE.}$

En caso de variación periódica de la tasa de contacto, la condición para el atractivo global de DFE es que el siguiente sistema lineal con coeficientes periódicos:${\displaystyle \beta (t)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {dE_{1}}{dt}}&=\beta (t)I_{1}-(\gamma +a)E_{1}\\[8pt]{\frac {dI_{1}}{dt}}&=aE_{1}-(\gamma +\mu )I_{1}\end{aligned}}}$

es estable (es decir, tiene sus valores propios de Floquet dentro del círculo unitario en el plano complejo).

El modelo SEIS

El modelo SEIS es como el modelo SEIR (arriba) excepto que no se adquiere inmunidad al final.

${\displaystyle {\color {blue}{{\mathcal {S}}\to {\mathcal {E}}\to {\mathcal {I}}\to {\mathcal {S}}}}}$

En este modelo, una infección no deja ninguna inmunidad, por lo que los individuos que se han recuperado vuelven a ser susceptibles y regresan al compartimento S ( t ). Las siguientes ecuaciones diferenciales describen este modelo:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {dS}{dt}}&=\Lambda -{\frac {\beta SI}{N}}-\mu S+\gamma I\\[6pt]{\frac {dE}{dt}}&={\frac {\beta SI}{N}}-(\epsilon +\mu )E\\[6pt]{\frac {dI}{dt}}&=\varepsilon E-(\gamma +\mu )I\end{aligned}}}$

El modelo MSEIR

Para el caso de una enfermedad, con los factores de inmunidad pasiva y un período de latencia existe el modelo MSEIR.

${\displaystyle \color {blue}{{\mathcal {M}}\to {\mathcal {S}}\to {\mathcal {E}}\to {\mathcal {I}}\to {\mathcal {R}}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {dM}{dt}}&=\Lambda -\delta M-\mu M\\[6pt]{\frac {dS}{dt}}&=\delta M-{\frac {\beta SI}{N}}-\mu S\\[6pt]{\frac {dE}{dt}}&={\frac {\beta SI}{N}}-(\varepsilon +\mu )E\\[6pt]{\frac {dI}{dt}}&=\varepsilon E-(\gamma +\mu )I\\[6pt]{\frac {dR}{dt}}&=\gamma I-\mu R\end{aligned}}}$

El modelo MSEIRS

Un modelo MSEIRS es similar al MSEIR, pero la inmunidad en la clase R sería temporal, de modo que los individuos recuperarían su susceptibilidad cuando finalizara la inmunidad temporal.

${\displaystyle {\color {blue}{{\mathcal {M}}\to {\mathcal {S}}\to {\mathcal {E}}\to {\mathcal {I}}\to {\mathcal {R}}\to {\mathcal {S}}}}}$

Tasas de contacto variables

Es bien sabido que la probabilidad de contraer una enfermedad no es constante en el tiempo. A medida que avanza una pandemia, las reacciones a la pandemia pueden cambiar las tasas de contacto que se suponen constantes en los modelos más simples. Las contramedidas como las máscaras, el distanciamiento social y el encierro alterarán la tasa de contacto de manera que se reduzca la velocidad de la pandemia.

Además, algunas enfermedades son estacionales, como los virus del resfriado común , que son más frecuentes durante el invierno. Con las enfermedades infantiles, como el sarampión, las paperas y la rubéola, existe una fuerte correlación con el calendario escolar, por lo que durante las vacaciones escolares la probabilidad de contraer dicha enfermedad disminuye drásticamente. Como consecuencia, para muchas clases de enfermedades, se debe considerar una fuerza de infección con una tasa de contacto variable periódicamente ('estacional')

${\displaystyle F=\beta (t){\frac {I}{N}},\quad \beta (t+T)=\beta (t)}$

con período T igual a un año.

Por lo tanto, nuestro modelo se convierte en

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {dS}{dt}}&=\mu N-\mu S-\beta (t){\frac {I}{N}}S\\[8pt]{\frac {dI}{dt}}&=\beta (t){\frac {I}{N}}S-(\gamma +\mu )I\end{aligned}}}$

(la dinámica de recuperado se deriva fácilmente de ), es decir, un conjunto no lineal de ecuaciones diferenciales con parámetros que varían periódicamente. Es bien sabido que esta clase de sistemas dinámicos puede sufrir fenómenos muy interesantes y complejos de resonancia paramétrica no lineal. Es fácil ver que si:${\displaystyle R=N-S-I}$

${\displaystyle {\frac {1}{T}}\int _{0}^{T}{\frac {\beta (t)}{\mu +\gamma }}\,dt<1\Rightarrow \lim _{t\to +\infty }(S(t),I(t))=DFE=(N,0),}$

mientras que si la integral es mayor que uno, la enfermedad no se extinguirá y puede haber tales resonancias. Por ejemplo, considerando la tasa de contacto que varía periódicamente como la "entrada" del sistema, se tiene que la salida es una función periódica cuyo período es un múltiplo del período de la entrada. Esto permitió dar una contribución para explicar los brotes epidémicos polianuales (típicamente bienales) de algunas enfermedades infecciosas como interacción entre el período de las oscilaciones de la tasa de contacto y el pseudoperíodo de las oscilaciones amortiguadas cerca del equilibrio endémico. Sorprendentemente, en algunos casos, el comportamiento también puede ser cuasiperiódico o incluso caótico.

Modelo SIR con difusión

Los modelos compartimentales espacio-temporales describen no el número total, sino la densidad de personas susceptibles / infecciosas / recuperadas. En consecuencia, también permiten modelar la distribución de personas infectadas en el espacio. En la mayoría de los casos, esto se hace combinando el modelo SIR con una ecuación de difusión.

${\displaystyle {\begin{aligned}&\partial _{t}S=D_{S}\nabla ^{2}S-{\frac {\beta IS}{N}},\\[6pt]&\partial _{t}I=D_{I}\nabla ^{2}I+{\frac {\beta IS}{N}}-\gamma I,\\[6pt]&\partial _{t}R=D_{R}\nabla ^{2}R+\gamma I,\end{aligned}}}$

donde , y son constantes de difusión. De este modo, se obtiene una ecuación de reacción-difusión. (Tenga en cuenta que, por razones dimensionales, el parámetro debe cambiarse en comparación con el modelo SIR simple). Los primeros modelos de este tipo se han utilizado para modelar la propagación de la muerte negra en Europa. ^[23] Se han utilizado extensiones de este modelo para incorporar, por ejemplo, efectos de intervenciones no farmacéuticas como el distanciamiento social. ^[24]${\displaystyle D_{S}}$${\displaystyle D_{I}}$${\displaystyle D_{R}}$${\displaystyle \beta }$

Pandemia

Valdez et al. Desarrollaron recientemente un modelo SIR basado en la comunidad para evaluar la probabilidad de una propagación mundial y declarar una pandemia. ^[25]

Modelado de vacunación

El modelo SIR se puede modificar para modelar la vacunación. ^[26] Normalmente, estos introducen un compartimento adicional al modelo SIR , para individuos vacunados. A continuación se muestran algunos ejemplos.${\displaystyle V}$

Vacunando recién nacidos

En presencia de una enfermedad transmisible, una de las principales tareas es la de erradicarla mediante medidas de prevención y, si es posible, mediante el establecimiento de un programa de vacunación masiva. Considere una enfermedad para la cual el recién nacido está vacunado (con una vacuna que brinda inmunidad de por vida) a un ritmo :${\displaystyle P\in (0,1)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {dS}{dt}}&=\nu N(1-P)-\mu S-\beta {\frac {I}{N}}S\\[8pt]{\frac {dI}{dt}}&=\beta {\frac {I}{N}}S-(\mu +\gamma )I\\[8pt]{\frac {dV}{dt}}&=\nu NP-\mu V\end{aligned}}}$

donde es la clase de sujetos vacunados. Es inmediato demostrar que:${\displaystyle V}$

${\displaystyle \lim _{t\to +\infty }V(t)=NP,}$

así nos ocuparemos del comportamiento a largo plazo de y , para lo cual sostiene que:${\displaystyle S}$${\displaystyle I}$

${\displaystyle R_{0}(1-P)\leq 1\Rightarrow \lim _{t\to +\infty }\left(S(t),I(t)\right)=DFE=\left(N\left(1-P\right),0\right)}$

${\displaystyle R_{0}(1-P)>1,\quad I(0)>0\Rightarrow \lim _{t\to +\infty }\left(S(t),I(t)\right)=EE=\left({\frac {N}{R_{0}(1-P)}},N\left(R_{0}(1-P)-1\right)\right).}$

En otras palabras, si

${\displaystyle P<P^{*}=1-{\frac {1}{R_{0}}}}$

el programa de vacunación no tiene éxito en la erradicación de la enfermedad, por el contrario, seguirá siendo endémica, aunque en niveles más bajos que en el caso de ausencia de vacunación. Esto significa que el modelo matemático sugiere que para una enfermedad cuyo número de reproducción básico puede ser tan alto como 18, se debe vacunar al menos al 94,4% de los recién nacidos para erradicar la enfermedad.

Vacunación e información

Las sociedades modernas se enfrentan al desafío de la exención "racional", es decir, la decisión de la familia de no vacunar a los niños como consecuencia de una comparación "racional" entre el riesgo percibido de infección y el de recibir daños por la vacuna. Para evaluar si este comportamiento es realmente racional, es decir, si puede conducir igualmente a la erradicación de la enfermedad, se puede simplemente asumir que la tasa de vacunación es una función creciente del número de sujetos infecciosos:

${\displaystyle P=P(I),\quad P'(I)>0.}$

En tal caso, la condición de erradicación se convierte en:

${\displaystyle P(0)\geq P^{*},}$

es decir, la tasa de vacunación de referencia debe ser mayor que el umbral de "vacunación obligatoria", que, en caso de exención, no se puede mantener. Por lo tanto, la exención "racional" podría ser miope, ya que se basa únicamente en la baja incidencia actual debido a la alta cobertura de vacuna, en lugar de tener en cuenta el resurgimiento futuro de la infección debido a la disminución de la cobertura.

Vacunación de no recién nacidos

En caso de que también haya vacunaciones de no recién nacidos a una tasa ρ, la ecuación para el sujeto susceptible y vacunado debe modificarse de la siguiente manera:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {dS}{dt}}&=\mu N(1-P)-\mu S-\rho S-\beta {\frac {I}{N}}S\\[8pt]{\frac {dV}{dt}}&=\mu NP+\rho S-\mu V\end{aligned}}}$

que conduce a la siguiente condición de erradicación:

${\displaystyle P\geq 1-\left(1+{\frac {\rho }{\mu }}\right){\frac {1}{R_{0}}}}$

Estrategia de vacunación por pulsos

Esta estrategia vacuna repetidamente a una cohorte de edad definida (como niños pequeños o ancianos) en una población susceptible a lo largo del tiempo. Con esta estrategia, el bloque de individuos susceptibles se elimina inmediatamente, lo que permite eliminar una enfermedad infecciosa (como el sarampión) de toda la población. Cada T unidades de tiempo se vacuna una fracción constante p de sujetos susceptibles en un tiempo relativamente corto (con respecto a la dinámica de la enfermedad). Esto conduce a las siguientes ecuaciones diferenciales impulsivas para los sujetos susceptibles y vacunados:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {dS}{dt}}&=\mu N-\mu S-\beta {\frac {I}{N}}S,\quad S(nT^{+})=(1-p)S(nT^{-}),&&n=0,1,2,\ldots \\[8pt]{\frac {dV}{dt}}&=-\mu V,\quad V(nT^{+})=V(nT^{-})+pS(nT^{-}),&&n=0,1,2,\ldots \end{aligned}}}$

Es fácil ver que al establecer I = 0 se obtiene que la dinámica de los sujetos susceptibles viene dada por:

${\displaystyle S^{*}(t)=1-{\frac {p}{1-(1-p)E^{-\mu T}}}E^{-\mu MOD(t,T)}}$

y que la condición de erradicación es:

${\displaystyle R_{0}\int _{0}^{T}S^{*}(t)\,dt<1}$

La influencia de la edad: modelos estructurados por edad

La edad tiene una gran influencia en la tasa de propagación de la enfermedad en una población, especialmente la tasa de contacto. Esta tasa resume la efectividad de los contactos entre sujetos susceptibles e infecciosos. Teniendo en cuenta las edades de las clases epidémicas (para limitarnos al esquema susceptible-infeccioso-eliminado) de tal manera que:${\displaystyle s(t,a),i(t,a),r(t,a)}$

${\displaystyle S(t)=\int _{0}^{a_{M}}s(t,a)\,da}$

${\displaystyle I(t)=\int _{0}^{a_{M}}i(t,a)\,da}$

${\displaystyle R(t)=\int _{0}^{a_{M}}r(t,a)\,da}$

(donde está la edad máxima admisible) y su dinámica no se describe, como podría pensarse, por ecuaciones diferenciales parciales "simples", sino por ecuaciones integro-diferenciales :${\displaystyle a_{M}\leq +\infty }$

${\displaystyle \partial _{t}s(t,a)+\partial _{a}s(t,a)=-\mu (a)s(a,t)-s(a,t)\int _{0}^{a_{M}}k(a,a_{1};t)i(a_{1},t)\,da_{1}}$

${\displaystyle \partial _{t}i(t,a)+\partial _{a}i(t,a)=s(a,t)\int _{0}^{a_{M}}{k(a,a_{1};t)i(a_{1},t)da_{1}}-\mu (a)i(a,t)-\gamma (a)i(a,t)}$

${\displaystyle \partial _{t}r(t,a)+\partial _{a}r(t,a)=-\mu (a)r(a,t)+\gamma (a)i(a,t)}$

dónde:

${\displaystyle F(a,t,i(\cdot ,\cdot ))=\int _{0}^{a_{M}}k(a,a_{1};t)i(a_{1},t)\,da_{1}}$

es la fuerza de la infección, que, por supuesto, dependerá, aunque el núcleo de contacto, de las interacciones entre las edades.${\displaystyle k(a,a_{1};t)}$

La complejidad se agrega a las condiciones iniciales para los recién nacidos (es decir, para a = 0), que son sencillas para infecciosas y se eliminan:

${\displaystyle i(t,0)=r(t,0)=0}$

pero que no son locales para la densidad de recién nacidos susceptibles:

${\displaystyle s(t,0)=\int _{0}^{a_{M}}\left(\varphi _{s}(a)s(a,t)+\varphi _{i}(a)i(a,t)+\varphi _{r}(a)r(a,t)\right)\,da}$

donde estan las fecundaciones de los adultos.${\displaystyle \varphi _{j}(a),j=s,i,r}$

Además, definiendo ahora la densidad de la población total se obtiene:${\displaystyle n(t,a)=s(t,a)+i(t,a)+r(t,a)}$

${\displaystyle \partial _{t}n(t,a)+\partial _{a}n(t,a)=-\mu (a)n(a,t)}$

En el caso más simple de fecundaciones iguales en las tres clases epidémicas, tenemos que para tener equilibrio demográfico se debe cumplir la siguiente condición necesaria y suficiente que vincula la fecundidad con la mortalidad :${\displaystyle \varphi (.)}$${\displaystyle \mu (a)}$

${\displaystyle 1=\int _{0}^{a_{M}}\varphi (a)\exp \left(-\int _{0}^{a}{\mu (q)dq}\right)\,da}$

y el equilibrio demográfico es

${\displaystyle n^{*}(a)=C\exp \left(-\int _{0}^{a}\mu (q)\,dq\right),}$

asegurando automáticamente la existencia de la solución libre de enfermedades:

${\displaystyle DFS(a)=(n^{*}(a),0,0).}$

Un número de reproducción básico se puede calcular como el radio espectral de un operador funcional apropiado.

Otras consideraciones dentro de los modelos epidémicos compartimentales

Transmisión vertical

En el caso de algunas enfermedades como el SIDA y la hepatitis B, es posible que la descendencia de padres infectados nazca infectada. Esta transmisión de la enfermedad desde la madre se llama Transmisión Vertical. La afluencia de miembros adicionales a la categoría infectada se puede considerar dentro del modelo al incluir una fracción de los miembros recién nacidos en el compartimento infectado. ^[27]

Transmisión vectorial

Las enfermedades transmitidas de persona a persona de forma indirecta, es decir, la malaria transmitida por los mosquitos, se transmiten a través de un vector. En estos casos, la infección se transfiere de humanos a insectos y un modelo epidémico debe incluir ambas especies, requiriendo generalmente muchos más compartimentos que un modelo para la transmisión directa. ^{[27] [28]}

Otros

Otras ocurrencias que pueden necesitar ser consideradas al modelar una epidemia incluyen cosas como las siguientes: ^[27]

• Mezcla no homogénea
• Infecciosidad variable
• Distribuciones que son espacialmente no uniformes
• Enfermedades causadas por macroparásitos.

Modelos de epidemia deterministas versus estocásticos

Es importante enfatizar que los modelos deterministas presentados aquí son válidos solo en el caso de poblaciones suficientemente grandes y, como tales, deben usarse con cautela. ^[29]

Para ser más precisos, estos modelos solo son válidos en el límite termodinámico , donde la población es efectivamente infinita. En los modelos estocásticos, el equilibrio endémico a largo plazo derivado anteriormente no se mantiene, ya que existe una probabilidad finita de que el número de individuos infectados caiga por debajo de uno en un sistema. Entonces, en un sistema verdadero, es posible que el patógeno no se propague, ya que ningún huésped se infectará. Pero, en modelos deterministas de campo medio, el número de infectados puede tomar valores reales, es decir, no enteros de hosts infectados, y el número de hosts en el modelo puede ser menor que uno, pero mayor que cero, lo que permite que el patógeno en el modelo a propagarse. La fiabilidad de los modelos compartimentados se limita a las aplicaciones compartimentadas.

Una de las posibles extensiones de los modelos de campo medio considera la propagación de epidemias en una red basada en conceptos de teoría de percolación. ^[30] Los modelos de epidemia estocástica se han estudiado en diferentes redes ^{[31] [32] [33]} y se han aplicado más recientemente a la pandemia de COVID-19 . ^[34]

Distribución eficiente de vacunas

Cohen et al. Desarrollaron un método para un enfoque de vacunación eficaz, mediante la vacunación de una pequeña fracción de la población, llamado inmunización de conocidos . ^[35] Liu et al ^[36] han desarrollado un método alternativo basado en la identificación y vacunación principalmente de esparcidores ^.

Ver también

• Modelización matemática en epidemiología
• Problema de unidad de área modificable
• Matriz de próxima generación
• Evaluación de riesgos
• Tasa de ataque
• Lista de modelos de simulación COVID-19

Referencias

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3. Ross, Ronald; Hudson, Hilda (1917). "Una aplicación de la teoría de probabilidades al estudio de la patometría a priori. — Parte III" . Actas de la Royal Society de Londres. Serie A, que contiene artículos de carácter matemático y físico . 89 (621): 225–240. Código bibliográfico : 1917RSPSA..93..225R . doi : 10.1098 / rspa.1917.0015 .
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Lectura adicional

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Enlaces externos

• Modelo SIR: experimentos en línea con JSXGraph
• "Simulando una epidemia" . 3Azul1Marrón . 27 de marzo de 2020 - a través de YouTube .