En mecánica cuántica , un conjunto completo de observables de conmutación (CSCO) es un conjunto de operadores de conmutación cuyos valores propios especifican completamente el estado de un sistema. [1]
Dado que cada par de observables en el conjunto conmuta, todos los observables son compatibles, de modo que la medición de un observable no tiene ningún efecto sobre el resultado de medir otro observable en el conjunto. Por tanto, no es necesario especificar el orden en el que se miden los diferentes observables. La medición del conjunto completo de observables constituye una medición completa, en el sentido de que proyecta el estado cuántico del sistema sobre un vector único y conocido en la base definida por el conjunto de operadores. Es decir, para preparar el estado completamente especificado, tenemos que tomar cualquier estado arbitrariamente, y luego realizar una sucesión de medidas correspondientes a todos los observables en el conjunto, hasta que se convierta en un vector especificado de forma única en el espacio de Hilbert..
El teorema de compatibilidad
Tengamos dos observables, y , representado por y . Entonces las siguientes declaraciones son equivalentes:
- y son observables compatibles.
- y tienen una base propia común.
- Los operadores y están viajando , es decir,.
Pruebas
Prueba de que los observables compatibles se desplazan al trabajo. Dejar ser un conjunto completo de mercados propios comunes de los dos observables compatibles y , correspondiente a los conjuntos y respectivamente. Entonces podemos escribir Ahora, podemos expandir cualquier cet estatal arbitrario en el conjunto completo como
Entonces, usando el resultado anterior, podemos ver que
Esto implica , lo que significa que los dos operadores se desplazan.
Prueba de que los observables conmutados poseen un conjunto completo de funciones propias comunes. Cuándo tiene valores propios no degenerados :
Dejar ser un conjunto completo de mercados propios de correspondiente al conjunto de valores propios . Si los operadores y conmutar, podemos escribir
Entonces, podemos decir que es un eigenket de correspondiente al valor propio . Ya que ambos y son mercados propios asociados con el mismo valor propio no degenerado , pueden diferir como máximo por una constante multiplicativa. A esto lo llamamos constante. Entonces,
- ,
lo que significa es un eigenket de , y por lo tanto de y simultáneamente .
Cuándo tiene valores propios degenerados :
Suponemos es -pliegue degenerado. Sean los correspondientes mercados propios linealmente independientes Desde , razonamos como se indicó anteriormente para encontrar que es un eigenket de correspondiente al valor propio degenerado. Entonces, podemos expandirnos en la base de los degenerados mercados propios de :
La son los coeficientes de expansión. Ahora sumamos todo con constantes . Entonces,
Entonces, será un eigenket de con el valor propio si tenemos
Esto constituye un sistema de ecuaciones lineales para las constantes . Existe una solución no trivial si
Esta es una ecuación de orden en , y tiene raíces. Para cada raíz tenemos un valor de , decir, . Ahora, el Ket
es simultáneamente un eigenket de y con valores propios y respectivamente.
Discusión
Consideramos los dos observables anteriores y . Supongamos que existe un conjunto completo de kets cuyo cada elemento es simultáneamente un eigenket de y . Entonces decimos que y son compatibles . Si denotamos los valores propios de y correspondiente a respectivamente por y , podemos escribir
Si el sistema se encuentra en uno de los estados propios, digamos, , entonces ambos y se puede medir simultáneamente con cualquier nivel arbitrario de precisión, y obtendremos los resultados y respectivamente. Esta idea se puede extender a más de dos observables.
Ejemplos de observables compatibles
Los componentes cartesianos del operador de posición están , y . Todos estos componentes son compatibles. De manera similar, los componentes cartesianos del operador de momento, es decir , y también son compatibles.
Definicion formal
Un conjunto de observables se llama CSCO si:
- Todos los observables se desplazan en parejas.
- Si especificamos los valores propios de todos los operadores en el CSCO, identificamos un vector propio único en el espacio de Hilbert del sistema.
Si se nos da un CSCO, podemos elegir una base para el espacio de estados formado por vectores propios comunes de los operadores correspondientes. Podemos identificar de forma única cada vector propio por el conjunto de valores propios al que corresponde.
Discusión
Tengamos un operador de un observable , que tiene todos los valores propios no degenerados. Como resultado, hay un estado propio único correspondiente a cada valor propio, lo que nos permite etiquetarlos por sus respectivos valores propios. Por ejemplo, el autoestado de correspondiente al valor propio se puede etiquetar como . Tal observable es en sí mismo un CSCO autosuficiente.
Sin embargo, si algunos de los valores propios de son degenerados (como tener niveles de energía degenerados ), entonces el resultado anterior ya no es válido. En tal caso, necesitamos distinguir entre las funciones propias correspondientes al mismo valor propio. Para hacer esto, se introduce un segundo observable (llamémoslo), que es compatible con . El teorema de compatibilidad nos dice que una base común de funciones propias de y puede ser encontrado. Ahora bien, si cada par de valores propios especifica unívocamente un vector de estado de esta base, afirmamos haber formado un CSCO: el conjunto . La degeneración en está completamente eliminado.
No obstante, puede suceder que la degeneración no desaparezca por completo. Es decir, existe al menos un parque no identifica de forma única un vector propio. En este caso, repetimos el proceso anterior agregando otro observable, que es compatible con ambos y . Si la base de las funciones propias comunes de, y es único, es decir, especificado de forma única por el conjunto de valores propios , entonces hemos formado un CSCO: . De lo contrario, agregamos un observable compatible más y continuamos el proceso hasta que se obtenga un CSCO.
El mismo espacio vectorial puede tener distintos conjuntos completos de operadores de conmutación.
Supongamos que se nos da un CSCO finito. Entonces podemos expandir cualquier estado general en el espacio de Hilbert como
dónde son los mercados propios de los operadores y forman un espacio base. Es decir,
- , etc
Si medimos en el estado entonces la probabilidad de que midamos simultáneamente es dado por .
Para un conjunto completo de operadores de desplazamiento, podemos encontrar una transformación unitaria única que los diagonalizará simultáneamente a todos. Si hay más de una transformación unitaria de este tipo, podemos decir que el conjunto aún no está completo.
Ejemplos de
El átomo de hidrógeno
Dos componentes del operador de momento angular no conmutar, sino satisfacer las relaciones de conmutación:
Por lo tanto, cualquier CSCO no puede involucrar más de un componente de . Se puede demostrar que el cuadrado del operador de momento angular,, conmuta con .
Además, el hamiltoniano es una función de solo y tiene invariancia rotacional, donde es la masa reducida del sistema. Dado que los componentes de son generadores de rotación, se puede demostrar que
Por lo tanto, un conjunto de transporte consta de , un componente de (que se toma como ) y . La solución del problema nos dice que sin tener en cuenta el espín de los electrones, el conjuntoforma un CSCO. Dejarser cualquier estado base en el espacio de Hilbert del átomo hidrógeno. Luego
Es decir, el conjunto de valores propios o más simplemente, especifica completamente un estado propio único del átomo hidrógeno.
La partícula libre
Para una partícula libre , el hamiltonianoes invariante en traducciones. La traducción conmuta con el hamiltoniano:. Sin embargo, si expresamos el hamiltoniano en la base del operador de traducción, encontraremos quetiene valores propios doblemente degenerados. Se puede demostrar que para hacer el CSCO en este caso, necesitamos otro operador llamado operador de paridad, tal que . forma un CSCO.
De nuevo, deja y ser los autoestados degenerados decorrespondiente al valor propio , es decir
La degeneración en es eliminado por el operador de impulso .
Entonces, forma un CSCO.
Adición de momentos angulares
Consideramos el caso de dos sistemas, 1 y 2, con respectivos operadores de momento angular y . Podemos escribir los estados propios de y como y de y como .
Entonces los estados base del sistema completo son dada por
Por lo tanto, para el sistema completo, el conjunto de valores propios especifica completamente un estado de base único, y forma un CSCO. De manera equivalente, existe otro conjunto de estados base para el sistema, en términos del operador de momento angular total. Los valores propios de están dónde toma los valores , y los de están dónde . Los estados base de los operadores y están . Por lo tanto, también podemos especificar un estado base único en el espacio de Hilbert del sistema completo mediante el conjunto de valores propios, y el CSCO correspondiente es .
Ver también
Referencias
- ↑ ( Gasiorowicz 1974 , p. 119)
- Gasiorowicz, Stephen (1974), Física cuántica , Nueva York: John Wiley & Sons , ISBN 978-0-471-29281-4.
- Cohen-Tannoudji, Claude ; Diu, Bernard; Laloë, Franck (1977). Mecánica cuántica . 1 . Nueva York: Wiley. ISBN 978-0-471-16433-3. OCLC 2089460 .
- Cohen-Tannoudji, Claude ; Diu, Bernard; Laloë, Franck (1977). Mecánica cuántica . 2 . Nueva York: Wiley. ISBN 978-0-471-16435-7. OCLC 45727993 .
- Dirac, PAM (1958). Los principios de la mecánica cuántica . Oxford: Clarendon Press. ISBN 978-0-19-851208-0. OCLC 534829 .
- RP Feynman, RB Leighton y M. Sands: Las conferencias Feynman sobre física , Addison-Wesley, 1965
- R Shankar, Principios de la mecánica cuántica , segunda edición, Springer (1994).
- JJ Sakurai, Mecánica cuántica moderna , edición revisada, Pearson (1994).
- BH Bransden y CJ Joachain, Mecánica cuántica , segunda edición, Pearson Education Limited, 2000.
- Para una discusión sobre el Teorema de Compatibilidad, Lecture Notes of School of Physics and Astronomy of The University of Edinburgh. http://www2.ph.ed.ac.uk/~ldeldebb/docs/QM/lect2.pdf .
- Una diapositiva sobre CSCO en las notas de la conferencia del Prof. S Gupta, Tata Institute of Fundamental Research, Mumbai. http://theory.tifr.res.in/~sgupta/courses/qm2013/hand3.pdf
- Una sección sobre la partícula libre en las notas de la conferencia del Prof. S Gupta, Instituto Tata de Investigación Fundamental, Mumbai. http://theory.tifr.res.in/~sgupta/courses/qm2013/hand6.pdf