En mecánica cuántica , dado un hamiltoniano particular y un operador con los valores propios y los vectores propios correspondientes dados por, luego los números (o los valores propios) se dice que son buenos números cuánticos si cada vector propio sigue siendo un vector propio de con el mismo valor propio a medida que evoluciona el tiempo.
Por tanto, si:
entonces requerimos
para todos los vectores propios para llamar un buen número cuántico (donde arena s representan los autovectores y los autovalores del hamiltoniano, respectivamente).
En otras palabras, los valores propios son buenos números cuánticos si el operador correspondiente es una constante de movimiento (conmuta con la evolución del tiempo). Los buenos números cuánticos se utilizan a menudo para etiquetar los estados iniciales y finales en los experimentos. Por ejemplo, en colisionadores de partículas:
1. Las partículas se preparan inicialmente en estados propios de cantidad de movimiento aproximada; el momento de la partícula es un buen número cuántico para partículas que no interactúan.
2. Las partículas se hacen chocar. En este punto, el momento de cada partícula está cambiando y, por lo tanto, los momentos de las partículas no son un buen número cuántico para las partículas que interactúan durante la colisión.
3. Un tiempo significativo después de la colisión, las partículas se miden en estados propios de momento. El momento de cada partícula se ha estabilizado y, de nuevo, es un buen número cuántico mucho tiempo después de la colisión.
Teorema : condición necesaria y suficiente para (que es un valor propio de un operador ) ser bueno es que viaja con el hamiltoniano .
Prueba : asumir.
- Si es un vector propio de , entonces tenemos (por definición) que , y entonces :
Teorema de Ehrenfest y buenos números cuánticos
El Teorema de Ehrenfest [1] da la tasa de cambio del valor esperado de los operadores. Dice lo siguiente:
Los operadores que ocurren comúnmente no dependen explícitamente del tiempo. Si dichos operadores se desplazan con el hamiltoniano , entonces su valor esperado permanece constante con el tiempo. Ahora, si el sistema está en uno de los estados propios comunes del operador (y también), el sistema permanece en este estado propio a medida que pasa el tiempo. Cualquier medida de la cantidadnos dará el valor propio (o el buen número cuántico) asociado con los estados propios en los que se encuentra la partícula. Esta es en realidad una declaración de conservación en mecánica cuántica y se desarrollará con más detalle a continuación.
Conservación en mecánica cuántica
Caso I: Declaración de conservación más sólida: cuando el sistema se encuentra en uno de los estados propios comunes de y
Dejar ser un operador que se desplaza con el hamiltoniano . Esto implica que podemos tener estados propios comunes de y . [2] Supongamos que nuestro sistema se encuentra en uno de estos estados propios comunes. Si medimos de, definitivamente producirá un valor propio de (el buen número cuántico). Además, es un resultado bien conocido que un estado propio del hamiltoniano es un estado estacionario , [3] lo que significa que incluso si se deja que el sistema evolucione durante algún tiempo antes de realizar la medición, seguirá produciendo el mismo valor propio. . [4] Por lo tanto, si nuestro sistema está en un estado propio común, sus valores propios de A (buenos números cuánticos) no cambiarán con el tiempo.
Conclusión: si y el sistema está en un estado propio común de y , los valores propios de (buenos números cuánticos) no cambian con el tiempo.
Caso II: Declaración de conservación más débil: Cuando el sistema no se encuentra en ninguno de los estados propios comunes de y
Como se supone en el caso I, . Pero ahora el sistema no se encuentra en ninguno de los estados propios comunes de y . De modo que el sistema debe estar en alguna combinación lineal de la base formada por los estados propios comunes de y . Cuando una medida de se hace, puede producir cualquiera de los valores propios de . Y luego, si alguna cantidad de mediciones subsecuentes dese hacen, están obligados a producir el mismo resultado. En este caso, una declaración (más débil) de conservación es válida: Usando el Teorema de Ehrenfest , no depende explícitamente del tiempo:
Esto dice que el valor esperado depermanece constante en el tiempo. [5] Cuando la medición se realiza en sistemas idénticos una y otra vez, generalmente arrojará valores diferentes, pero el valor esperado permanece constante. Esta es una condición de conservación más débil que el caso cuando nuestro sistema era un estado propio común de y : Los valores propios de no se garantiza que permanezcan constantes, solo su valor esperado.
Conclusión: si, no depende explícitamente del tiempo y el sistema no está en un estado propio común de y , el valor esperado de se conserva, pero la conservación de los valores propios de no está asegurado.
Analogía con la mecánica clásica
En la mecánica clásica , la derivada del tiempo total de una cantidad físicase da como: [6]
donde las llaves se refieren al corchete de Poisson de y . Esto tiene un parecido sorprendente con el teorema de Ehrenfest . Implica que una cantidad fsicase conserva si su corchete de Poisson con el hamiltoniano se desvanece y la cantidad no depende explícitamente del tiempo. Esta condición en la mecánica clásica es análoga a la condición en la mecánica cuántica para la conservación de un observable (como implica el teorema de Ehrenfest : el corchete de Poisson se reemplaza por conmutador )
Sistemas que pueden etiquetarse con buenos números cuánticos.
Los sistemas que pueden etiquetarse con buenos números cuánticos son en realidad estados propios del hamiltoniano . También se les llama estados estacionarios . [7] Se llaman así porque el sistema permanece en el mismo estado a medida que pasa el tiempo, en todos los sentidos observables. Los estados cambian matemáticamente, ya que el factor de fase complejo asociado a él cambia continuamente con el tiempo, pero no se puede observar.
Tal estado satisface:
- ,
dónde
- es un estado cuántico , que es un estado estacionario;
- es el operador hamiltoniano ;
- es el valor propio de energía del estado.
La evolución del estado ket se rige por la Ecuación de Schrödinger :
Da la evolución temporal del estado del sistema como:
Ejemplos de
El átomo de hidrógeno
En el tratamiento no relativista, y son buenos números cuánticos, pero en la mecánica cuántica relativista ya no son buenos números cuánticos como y no viaje con (en la teoría de Dirac). es un buen número cuántico en mecánica cuántica relativista como viaja con .
El átomo de hidrógeno: sin acoplamiento espín-órbita
En el caso del átomo de hidrógeno (con el supuesto de que no hay acoplamiento espín-órbita ), los observables que conmutan con hamiltoniano son el momento angular orbital, el momento angular del espín, la suma del momento angular del espín y el momento angular orbital , y lacomponentes de los momentos angulares anteriores. Por lo tanto, los buenos números cuánticos en este caso (que son los valores propios de estos observables) son. [8] Hemos omitido, ya que siempre es constante para un electrón y no tiene importancia en lo que respecta al etiquetado de estados.
Buenos números cuánticos y CSCO
Sin embargo, todos los buenos números cuánticos en el caso anterior del átomo de hidrógeno (con un acoplamiento de órbita-espín insignificante ), a saberno se puede utilizar simultáneamente para especificar un estado. Aquí es cuando entra en juego CSCO (Conjunto completo de observables de conmutación) . A continuación, se muestran algunos resultados generales que son de validez general:
1. Se puede usar un cierto número de buenos números cuánticos para especificar unívocamente un cierto estado cuántico solo cuando los observables correspondientes a los buenos números cuánticos forman un CSCO .
2. Si los observables se desplazan, pero no forman un CSCO, entonces sus buenos números cuánticos se refieren a un conjunto de estados. En este caso, no se refieren a un estado de forma única.
3. Si los observables no se conmutan, ni siquiera se pueden usar para referirse a ningún conjunto de estados, y mucho menos para referirse a un estado único.
En el caso del átomo de hidrógeno, el no forme un conjunto de desplazamientos. Peroson los números cuánticos de un CSCO. Entonces, en este caso, forman un conjunto de buenos números cuánticos. Similar, también forman un conjunto de buenos números cuánticos.
El átomo de hidrógeno: interacción espín-órbita incluida
Si se tiene en cuenta la interacción de la órbita de espín, tenemos que agregar un término adicional en hamiltoniano que representa la energía de interacción del dipolo magnético . [9]
Ahora, el nuevo hamiltoniano con este nuevo el término no conmuta con y ; pero sí conmuta con L 2 , S 2 y, que es el momento angular total . En otras palabras, ya no son buenos números cuánticos, pero están.
Y dado que se utilizan buenos números cuánticos para etiquetar los estados propios , las fórmulas de interés relevantes se expresan en términos de ellos. Por ejemplo, la energía de interacción espín-órbita viene dada por [10]
dónde
Como podemos ver, las expresiones anteriores contienen los buenos números cuánticos, a saber
Ver también
- Conjunto completo de observables de conmutación
- Hamiltoniano (mecánica cuántica)
- Estado estacionario
- Constante de movimiento
- Número cuántico
- Medición en mecánica cuántica
- Teorema de Ehrenfest
- Operador (física)
Referencias
- ↑ Laloë, Claude Cohen-Tannoudji; Bernard Diu; Franck (1977). Mecánica cuántica (2. ed.). Nueva York [ua]: Wiley [ua] p. 241 . ISBN 047116433X.
- ^ Laloë, Claude Cohen-Tannoudji; Bernard Diu; Franck (1977). Mecánica cuántica (2. ed.). Nueva York [ua]: Wiley [ua] p. 140 . ISBN 047116433X.
- ^ Bernard, Diu; Franck, Laloë (1 de enero de 2002). Mecánica cuántica . John Wiley e hijos. pag. 32. ISBN 047116433X. OCLC 928691380 .
- ^ Laloë, Claude Cohen-Tannoudji; Bernard Diu; Franck (1977). Mecánica cuántica (2. ed.). Nueva York [ua]: Wiley [ua] p. 246 . ISBN 047116433X.
- ^ Laloë, Claude Cohen-Tannoudji; Bernard Diu; Franck (1977). Mecánica cuántica (2. ed.). Nueva York [ua]: Wiley [ua] p. 247 . ISBN 047116433X.
- ^ Poole, Herbert Goldstein, Charles P. (2001). Mecánica clásica, 3e (3ª ed.). Estados Unidos: PEARSON EDUC (HIGHER ED GRP) (BOX 70632) (NJ). pag. 396. ISBN 0201657023.
- ^ Griffiths, David J. (2005). Introducción a la mecánica cuántica (2ª ed.). Upper Saddle River: Pearson Prentice Hall. pag. 26 . ISBN 0131118927.
- ^ Christman, Robert Eisberg, Robert Resnick, con la asistencia de David O. Caldwell, J. Richard (1985). Física cuántica de átomos, moléculas, sólidos, núcleos y partículas (2ª ed.). Nueva York: Wiley. pag. J-10. ISBN 047187373X.
- ^ Griffiths, David J. (2005). Introducción a la mecánica cuántica (2ª ed.). Upper Saddle River: Pearson Prentice Hall. pag. 271 . ISBN 0131118927.
- ^ Griffiths, David J. (2005). Introducción a la mecánica cuántica (2ª ed.). Upper Saddle River: Pearson Prentice Hall. pag. 273 . ISBN 0131118927.