Distribución normal compleja

$\mathbf {\mu } \in \mathbb {C} ^{n}$ — ubicación — matriz de covarianza ( matriz semidefinida positiva )
$\Gamma \in \mathbb {C} ^{n\times n}$

En la teoría de la probabilidad , la familia de distribuciones normales complejas , denominada o , caracteriza variables aleatorias complejas cuyas partes real e imaginaria son conjuntamente normales . ^[1] La familia normal compleja tiene tres parámetros: el parámetro de ubicación μ , la matriz de covarianza y la matriz de relación . La normal compleja estándar es la distribución univariada con , y . ${\mathcal {CN}}$ ${\mathcal {N}}_{\mathcal {C}}$ ${\ estilo de visualización \ gamma}$ ${\ estilo de visualización C}$ ${\ estilo de visualización \ mu = 0}$ ${\ estilo de visualización \ gamma = 1}$ ${\ estilo de visualización C = 0}$

Una subclase importante de la familia normal compleja se denomina normal compleja circularmente simétrica (central) y corresponde al caso de matriz de relación cero y media cero: y . ^[2] Este caso se usa ampliamente en el procesamiento de señales , donde a veces se lo denomina simplemente normal complejo en la literatura. ${\ estilo de visualización \ mu = 0}$ ${\ estilo de visualización C = 0}$

La variable aleatoria normal compleja estándar o la variable aleatoria gaussiana compleja estándar es una variable aleatoria compleja cuyas partes reales e imaginarias son variables aleatorias independientes normalmente distribuidas con media cero y varianza . ^[3]^{: pág.}⁴⁹⁴^[4]^{: págs. 501} Formalmente, ${\ estilo de visualización Z}$ ${\ estilo de visualización 1/2}$

donde denota que es una variable aleatoria normal compleja estándar. $Z\sim {\mathcal {CN}}(0,1)$ ${\ estilo de visualización Z}$

Supongamos que y son variables aleatorias reales tales que es un vector aleatorio normal bidimensional . Entonces la variable aleatoria compleja se denomina variable aleatoria normal compleja o variable aleatoria gaussiana compleja . ^[3]^{: pág.}⁵⁰⁰ ${\ estilo de visualización X}$ ${\ estilo de visualización Y}$ ${\ estilo de visualización (X, Y) ^ {\ matemáticas {T}}}$ ${\ estilo de visualización Z = X + iY}$