En teoría de probabilidad y estadística , las variables aleatorias complejas son una generalización de variables aleatorias de valor real a números complejos , es decir, los valores posibles que puede tomar una variable aleatoria compleja son números complejos. [1] Las variables aleatorias complejas siempre se pueden considerar como pares de variables aleatorias reales: sus partes real e imaginaria. Por lo tanto, la distribución de una variable aleatoria compleja puede interpretarse como la distribución conjunta de dos variables aleatorias reales.
Algunos conceptos de variables aleatorias reales tienen una generalización directa a variables aleatorias complejas, por ejemplo, la definición de la media de una variable aleatoria compleja. Otros conceptos son exclusivos de las variables aleatorias complejas.
Las aplicaciones de variables aleatorias complejas se encuentran en el procesamiento de señales digitales , [2] modulación de amplitud en cuadratura y teoría de la información .
Definición
Una variable aleatoria compleja en el espacio de probabilidad es una función tal que tanto su parte real y su parte imaginaria son variables aleatorias reales en.
Ejemplos de
Ejemplo simple
Considere una variable aleatoria que puede tomar solo los tres valores complejos con probabilidades como se especifica en la tabla. Este es un ejemplo simple de una variable aleatoria compleja.
Probabilidad | Valor |
---|---|
La expectativa de esta variable aleatoria se puede calcular simplemente:
Distribución uniforme
Otro ejemplo de una variable aleatoria compleja es la distribución uniforme sobre el círculo unitario relleno, es decir, el conjunto . Esta variable aleatoria es un ejemplo de una variable aleatoria compleja para la que se define la función de densidad de probabilidad . La función de densidad se muestra como el disco amarillo y la base azul oscuro en la siguiente figura.
Distribución normal compleja
Las variables aleatorias gaussianas complejas se encuentran a menudo en aplicaciones. Son una generalización sencilla de variables aleatorias gaussianas reales. El siguiente gráfico muestra un ejemplo de la distribución de dicha variable.
Función de distribución acumulativa
La generalización de la función de distribución acumulativa de variables aleatorias reales a complejas no es obvia porque las expresiones de la forma no tiene sentido. Sin embargo, las expresiones de la formatener sentido. Por lo tanto, definimos la distribución acumuladade variables aleatorias complejas a través de la distribución conjunta de sus partes reales e imaginarias:
| ( Ecuación 1 ) |
Función de densidad de probabilidad
La función de densidad de probabilidad de una variable aleatoria compleja se define como , es decir, el valor de la función de densidad en un punto se define como igual al valor de la densidad conjunta de las partes real e imaginaria de la variable aleatoria evaluada en el punto .
Una definición equivalente viene dada por dónde y .
Como en el caso real, es posible que la función de densidad no exista.
Expectativa
Definición
La expectativa de una variable aleatoria compleja se define con base en la definición de la expectativa de una variable aleatoria real: [3] : p. 112
| ( Ecuación 2 ) |
Tenga en cuenta que la expectativa de una variable aleatoria compleja no existe si o no existe.
Si la variable aleatoria compleja tiene una función de densidad de probabilidad , entonces la expectativa viene dada por .
Si la variable aleatoria compleja tiene una función de masa de probabilidad , entonces la expectativa viene dada por .
Propiedades
Siempre que exista la expectativa de una variable aleatoria compleja, tomando la expectativa y la conjugación compleja conmutan:
El operador de valor esperado es lineal en el sentido de que
para cualquier coeficiente complejo incluso si y no son independientes .
Varianza y pseudovarianza
Definición de varianza
La varianza se define como: [3] : p. 117
| ( Ecuación 3 ) |
Propiedades
La varianza es siempre un número real no negativo. Es igual a la suma de las varianzas de la parte real e imaginaria de la variable aleatoria compleja:
La varianza de una combinación lineal de variables aleatorias complejas se puede calcular utilizando la siguiente fórmula:
Definición de pseudovarianza
La pseudovarianza es un caso especial de la pseudocovarianza y está dada por
| ( Ecuación 4 ) |
A diferencia de la varianza de , que es siempre real y positiva, la pseudovarianza de es en general complejo.
Covarianza y pseudocovarianza
Definición
La covarianza entre dos variables aleatorias complejasse define como [3] : p. 119
| ( Ecuación 5 ) |
Observe la compleja conjugación del segundo factor en la definición. En contraste con las variables aleatorias reales, también definimos una pseudocovarianza (también llamada varianza complementaria):
| ( Ecuación 6 ) |
Las estadísticas de segundo orden se caracterizan completamente por la covarianza y la pseudocovarianza.
Propiedades
La covarianza tiene las siguientes propiedades:
- (Simetría conjugada)
- (Sesquilinealidad)
Dos variables aleatorias complejas y se llaman no correlacionados si
Ortogonalidad
Dos variables aleatorias complejas y se llaman ortogonales si
- .
Simetría circular
La simetría circular de variables aleatorias complejas es una suposición común utilizada en el campo de la comunicación inalámbrica. Un ejemplo típico de una variable aleatoria compleja simétrica circular es la variable aleatoria compleja de Gauss con media cero y una matriz de pseudocovarianza cero.
Definición
Una variable aleatoria compleja es circularmente simétrico si, para cualquier determinista , la distribución de es igual a la distribución de .
Propiedades
Por definición, una variable aleatoria compleja circularmente simétrica tiene
para cualquier .
Por lo tanto, la expectativa de una variable aleatoria compleja circularmente simétrica solo puede ser cero o indefinida.
Adicionalmente,
para cualquier .
Por lo tanto, la pseudovarianza de una variable aleatoria compleja circularmente simétrica solo puede ser cero.
Si y tienen la misma distribución, la fase de debe distribuirse uniformemente sobre e independiente de la amplitud de . [4]
Variables aleatorias complejas adecuadas
El concepto de variables aleatorias adecuadas es exclusivo de las variables aleatorias complejas y no tiene un concepto correspondiente con las variables aleatorias reales.
Definición
Una variable aleatoria compleja se llama correcto si se cumplen las siguientes tres condiciones:
Esta definición es equivalente a las siguientes condiciones. Esto significa que una variable aleatoria compleja es adecuada si, y solo si:
Matriz de covarianza de las partes reales e imaginarias
Para una variable aleatoria compleja general, el par tiene la matriz de covarianza
Sin embargo, para una variable aleatoria compleja adecuada, la matriz de covarianza del par tiene la siguiente forma simple:
- .
Teorema
Toda variable aleatoria compleja circularmente simétrica con varianza finita es adecuada.
Desigualdad de Cauchy-Schwarz
La desigualdad de Cauchy-Schwarz para variables aleatorias complejas, que se puede derivar utilizando la desigualdad del triángulo y la desigualdad de Hölder , es
- .
Función característica
La función característica de una variable aleatoria compleja es una función definido por
Ver también
Referencias
- ↑ Eriksson, Jan; Ollila, Esa; Koivunen, Visa (2009). "Estadísticas de variables aleatorias complejas revisadas". Cite journal requiere
|journal=
( ayuda ) - ^ Lapidoth, A. (2009). Una base en la comunicación digital . Prensa de la Universidad de Cambridge. ISBN 9780521193955.
- ^ a b c Park, Kun Il (2018). Fundamentos de Probabilidad y Procesos Estocásticos con Aplicaciones a las Comunicaciones . Saltador. ISBN 978-3-319-68074-3.
- ^ Peter J. Schreier, Louis L. Scharf (2011). Procesamiento estadístico de señales de datos de valores complejos . Prensa de la Universidad de Cambridge. ISBN 9780511815911.