En álgebra lineal , una rama de las matemáticas , una matriz compuesta ( multiplicativa ) es una matriz cuyas entradas son todas menores, de un tamaño dado, de otra matriz. [1] [2] Las matrices compuestas están estrechamente relacionadas con las álgebras exteriores .
Definición
Sea A una matriz m × n con entradas reales o complejas. [a] Si I es un subconjunto de {1, ..., m } y J es un subconjunto de {1, ..., n } , entonces la submatriz ( I , J ) de A , escrita A I , J , es la submatriz formado a partir de A mediante la retención de sólo las filas indexadas por I y esas columnas indexadas por J . Si r = s , entonces det A I , J es la ( I , J ) - menor de A .
La r- ésima matriz compuesta de A es una matriz, denominada C r ( A ) , se define como sigue. Si r > min (m, n) , entonces C r ( A ) es la única matriz 0 × 0 . De lo contrario, C r ( A ) tiene un tamaño. Sus filas y columnas están indexadas por subconjuntos de elementos r de {1, ..., m } y {1, ..., n } , respectivamente, en su orden lexicográfico. La entrada correspondiente a subconjuntos I y J es el menor det A I , J .
En algunas aplicaciones de matrices compuestas, el orden preciso de las filas y columnas no es importante. Por esta razón, algunos autores no especifican cómo se ordenarán las filas y columnas. [3]
Por ejemplo, considere la matriz
Las filas están indexadas por {1, 2, 3} y las columnas por {1, 2, 3, 4} . Por lo tanto, las filas de C 2 ( A ) están indexadas por los conjuntos
y las columnas están indexadas por
Usando barras de valor absoluto para denotar determinantes, la segunda matriz compuesta es
Propiedades
Sea c un escalar, A una matriz m × n y B una matriz n × p . Si k es un número entero positivo, entonces I k denota la matriz identidad k × k . La transpuesta de una matriz M se escribirá M T y la transpuesta conjugada por M * . Entonces: [4]
- C 0 ( A ) = I 1 , unamatriz identidad de 1 × 1 .
- C 1 ( A ) = A .
- C r ( cA ) = c r C r ( A ) .
- Si rk A = r , entonces rk C r ( A ) = 1 .
- Si 1 ≤ r ≤ n , entonces.
- Si 1 ≤ r ≤ min (m, n) , entonces C r ( A T ) = C r ( A ) T .
- Si 1 ≤ r ≤ min (m, n) , entonces C r ( A * ) = C r ( A ) * .
- C r ( AB ) = C r ( A ) C r ( B ) .
- ( Fórmula de Cauchy-Binet ) det C r ( AB ) = (det C r ( A )) (det C r ( B ) }.
Suponga además que A es una matriz cuadrada de tamaño n . Entonces: [5]
- C n ( A ) = det A .
- Si A tiene una de las siguientes propiedades, entonces también la tiene C r ( A ) :
- Triangular superior,
- Triangular inferior,
- Diagonal,
- Ortogonal,
- Unitario,
- Simétrico,
- Ermitaño
- Simetría oblicua,
- Sesgado-ermitaño,
- Positivo definitivo,
- Positivo semi-definido,
- Normal.
- Si A es invertible, entonces también lo es C r ( A ) y C r ( A −1 ) = C r ( A ) −1 .
- (Teorema de Sylvester-Franke) Si 1 ≤ r ≤ n , entonces. [6] [7]
Relación con los poderes exteriores
Dé a R n la base de coordenadas estándar e 1 , ..., e n . La r- ésima potencia exterior de R n es el espacio vectorial
cuya base consiste en los símbolos formales
dónde
Suponga que A es una matriz m × n . Entonces A corresponde a una transformación lineal
Tomar la potencia exterior r- ésima de esta transformación lineal determina una transformación lineal
La matriz correspondiente a esta transformación lineal (con respecto a las bases anteriores de las potencias exteriores) es C r ( A ) . Tomar poderes externos es un functor , lo que significa que [8]
Esto corresponde a la fórmula C r ( AB ) = C r ( A ) C r ( B ) . Está estrechamente relacionado con la fórmula de Cauchy-Binet y la refuerza .
Relación con matrices adyuvantes
Sea A una matriz n × n . Recuerde que su r- ésima matriz adjunta superior adj r ( A ) es lamatriz cuya entrada ( I , J ) es
donde, para cualquier conjunto K de números enteros, σ ( K ) es la suma de los elementos de K . El adyuvante de A es su primer adyuvante superior y se denota adj ( A ) . La fórmula de expansión de Laplace generalizada implica
Si A es invertible, entonces
Una consecuencia concreta de esto es la fórmula de Jacobi para los menores de una matriz inversa:
Los adyuvantes también se pueden expresar en términos de compuestos. Sea S la matriz de signos :
y sea J la matriz de intercambio :
Entonces el teorema de Jacobi establece que la r- ésima matriz adjunta superior es: [9] [10]
Se sigue inmediatamente del teorema de Jacobi que
La ingesta de adyuvantes y compuestos no conmuta. Sin embargo, los compuestos de adyuvantes se pueden expresar usando adyuvantes de compuestos y viceversa. De las identidades
y el teorema de Sylvester-Franke, deducimos
La misma técnica conduce a una identidad adicional,
Aplicaciones
El cálculo de matrices compuestas aparece en una amplia gama de problemas. [11] [2]
Las matrices compuestas y adyuvadas aparecen al calcular los determinantes de combinaciones lineales de matrices. Es elemental comprobar que, si A y B son matrices n × n , entonces
También es cierto que: [12] [13]
Esto tiene la consecuencia inmediata
Computación numérica
En general, el cálculo de matrices compuestas no es efectivo debido a su alta complejidad. No obstante, existen algunos algoritmos eficientes disponibles para matrices reales con estructuras especiales. [14]
Notas
- ^ La definición, y la parte puramente algebraica de la teoría, de matrices compuestas solo requiere que la matriz tenga entradas en un anillo conmutativo . En este caso, la matriz corresponde a un homomorfismo de módulos libres generados finitamente.
- ^ Horn, Roger A. y Johnson, Charles R., Matrix Analysis , 2da edición, Cambridge University Press, 2013, ISBN 978-0-521-54823-6 , p. 21
- ^ a b Muldowney, James S. (1990). "Matrices compuestas y ecuaciones diferenciales ordinarias" . Revista de matemáticas de las Montañas Rocosas . 20 (4): 857–872. doi : 10.1216 / rmjm / 1181073047 . ISSN 0035-7596 .
- ^ Kung, Rota y Yan, p. 305.
- ^ Horn y Johnson, p. 22.
- ^ Horn y Johnson, págs.22, 93, 147, 233.
- ^ Tornheim, Leonard (1952). "El teorema de Sylvester-Franke". The American Mathematical Monthly . 59 (6): 389–391. doi : 10.2307 / 2306811 . ISSN 0002-9890 . JSTOR 2306811 .
- ^ Harley Flanders (1953) "Una nota sobre el teorema de Sylvester-Franke", American Mathematical Monthly 60: 543-5, MR0057835
- ^ Joseph PS Kung, Gian-Carlo Rota y Catherine H. Yan , Combinatorics: The Rota Way , Cambridge University Press, 2009, p. 306. ISBN 9780521883894
- ^ Nambiar, KK; Sreevalsan, S. (2001). "Matrices compuestas y tres teoremas célebres". Modelado matemático e informático . 34 (3–4): 251–255. doi : 10.1016 / S0895-7177 (01) 00058-9 . ISSN 0895-7177 .
- ^ Precio, GB (1947). "Algunas identidades en la teoría de los determinantes". The American Mathematical Monthly . 54 (2): 75–90. doi : 10.2307 / 2304856 . ISSN 0002-9890 . JSTOR 2304856 .
- ^ DL, Boutin; RF Gleeson; RM Williams (1996). Teoría de la cuña / Matrices compuestas: propiedades y aplicaciones (PDF) (Informe técnico). Oficina de Investigaciones Navales. NAWCADPAX – 96-220-TR.
- ^ Prells, Uwe; Friswell, Michael I .; Garvey, Seamus D. (8 de febrero de 2003). "Uso del álgebra geométrica: matrices compuestas y determinante de la suma de dos matrices" . Actas de la Royal Society of London A: Ciencias matemáticas, físicas y de ingeniería . 459 (2030): 273–285. doi : 10.1098 / rspa.2002.1040 . ISSN 1364-5021 .
- ^ Horn y Johnson, p. 29
- ^ Kravvaritis, Christos; Mitrouli, Marilena (1 de febrero de 2009). "Matrices compuestas: propiedades, cuestiones numéricas y cálculos analíticos" (PDF) . Algoritmos numéricos . 50 (2): 155. doi : 10.1007 / s11075-008-9222-7 . ISSN 1017-1398 .
Referencias
- Gantmacher, FR y Kerin, MG, Matrices y núcleos de oscilación y pequeñas vibraciones de sistemas mecánicos , edición revisada. Sociedad Americana de Matemáticas, 2002. ISBN 978-0-8218-3171-7