En matemáticas , especialmente álgebra lineal , las matrices de intercambio (también llamadas matriz de inversión , identidad hacia atrás o permutación involutiva estándar ) son casos especiales de matrices de permutación , donde los elementos 1 residen en la antidiagonal y todos los demás elementos son cero. En otras palabras, son versiones de la matriz de identidad de 'fila invertida' o 'columna invertida' . [1]
Definición
Si J es una matriz de intercambio n × n , entonces los elementos de J son
Propiedades
- Las matrices de intercambio son simétricas ; es decir, J n T = J n .
- Para cualquier entero k , J n k = I si k es par y J n k = J n si k es impar . En particular, J n es una matriz involutiva ; es decir, J n −1 = J n .
- La traza de J n es 1 si n es impar y 0 si n es par. (Lo mismo dice que la traza es igual a.)
- El determinante de J n es igual a. Como función de n , tiene un período 4, dando 1, 1, −1, −1 cuando n es congruente módulo 4 con 0, 1, 2 y 3 respectivamente.
- El polinomio característico de J n escuando n es par, ycuando n es impar.
- La matriz adjunta de J n es.
Relaciones
- Una matriz de intercambio es la matriz anti-diagonal más simple .
- Se dice que cualquier matriz A que satisfaga la condición AJ = JA es centrosimétrica .
- Cualquier matriz A que satisfaga la condición AJ = JA T se dice que es persimétrica .
Ver también
- Matrices de Pauli (la primera matriz de Pauli es una matriz de intercambio de 2 × 2)
Referencias
- ↑ Horn, Roger A .; Johnson, Charles R. (2012), Matrix Analysis (2ª ed.), Cambridge University Press, pág. 33, ISBN 9781139788885.