Distribución de probabilidad condicional

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En teoría de probabilidad y estadística , dadas dos variables aleatorias distribuidas conjuntamente y , la distribución de probabilidad condicional de Y dada X es la distribución de probabilidad de cuándo se sabe que es un valor particular; en algunos casos, las probabilidades condicionales pueden expresarse como funciones que contienen el valor no especificado de como parámetro. Cuando ambos y son variables categóricas , una tabla de probabilidad condicional ${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle X}$${\displaystyle x}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$se utiliza normalmente para representar la probabilidad condicional. La distribución condicional contrasta con la distribución marginal de una variable aleatoria, que es su distribución sin referencia al valor de la otra variable.

Si la distribución condicional de dado es una distribución continua , entonces su función de densidad de probabilidad se conoce como función de densidad condicional . Las propiedades de una distribución condicional, como los momentos , a menudo se denominan con los nombres correspondientes, como la media condicional y la varianza condicional .${\displaystyle Y}$${\displaystyle X}$

De manera más general, se puede hacer referencia a la distribución condicional de un subconjunto de un conjunto de más de dos variables; esta distribución condicional depende de los valores de todas las variables restantes, y si se incluye más de una variable en el subconjunto, esta distribución condicional es la distribución conjunta condicional de las variables incluidas.

Distribuciones discretas condicionales

Para variables aleatorias discretas , la función de masa de probabilidad condicional de dada se puede escribir de acuerdo con su definición como:${\displaystyle Y}$${\displaystyle X=x}$

${\displaystyle p_{Y|X}(y\mid x)\triangleq P(Y=y\mid X=x)={\frac {P(\{X=x\}\cap \{Y=y\})}{P(X=x)}}}$

Debido a la aparición de un denominador, esto se define solo para valores distintos de cero (por lo tanto, estrictamente positivo)${\displaystyle P(X=x)}$${\displaystyle P(X=x).}$

La relación con la distribución de probabilidad de dado es:${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$

${\displaystyle P(Y=y\mid X=x)P(X=x)=P(\{X=x\}\cap \{Y=y\})=P(X=x\mid Y=y)P(Y=y).}$

Ejemplo

Considere el lanzamiento de un dado justo y déjelo si el número es par (es decir, 2, 4 o 6) y de otro modo. Además, sea si el número es primo (es decir, 2, 3 o 5) y si no.${\displaystyle X=1}$${\displaystyle X=0}$${\displaystyle Y=1}$${\displaystyle Y=0}$

	1	2	3	4	5	6
X	0	1	0	1	0	1
Y	0	1	1	0	1	0

Entonces, la probabilidad incondicional de que es 3/6 = 1/2 (ya que hay seis posibles tiradas del dado, de las cuales tres son pares), mientras que la probabilidad de que condicional a es 1/3 (dado que hay tres posibles tiradas de números primos —2, 3 y 5 — de los cuales uno es par).${\displaystyle X=1}$${\displaystyle X=1}$${\displaystyle Y=1}$

Distribuciones continuas condicionales

De manera similar, para las variables aleatorias continuas , la función de densidad de probabilidad condicional de dada la ocurrencia del valor de se puede escribir como ^{[1] : p. 99}${\displaystyle Y}$${\displaystyle x}$${\displaystyle X}$

${\displaystyle f_{Y\mid X}(y\mid x)={\frac {f_{X,Y}(x,y)}{f_{X}(x)}}}$

donde da la densidad conjunta de y , while da la densidad marginal para . También en este caso es necesario que .${\displaystyle f_{X,Y}(x,y)}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle f_{X}(x)}$${\displaystyle X}$${\displaystyle f_{X}(x)>0}$

La relación con la distribución de probabilidad de dado viene dada por:${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$

${\displaystyle f_{Y\mid X}(y\mid x)f_{X}(x)=f_{X,Y}(x,y)=f_{X|Y}(x\mid y)f_{Y}(y).}$

El concepto de distribución condicional de una variable aleatoria continua no es tan intuitivo como podría parecer: la paradoja de Borel muestra que las funciones de densidad de probabilidad condicional no necesitan ser invariantes bajo transformaciones de coordenadas.

Ejemplo

Densidad articular normal bivariada

El gráfico muestra una densidad articular normal bivariada para variables aleatorias y . Para ver la distribución de condicional en , primero se puede visualizar la línea en el plano y luego visualizar el plano que contiene esa línea y perpendicular al plano. La intersección de ese plano con la densidad normal conjunta, una vez reescalada para dar un área unitaria debajo de la intersección, es la densidad condicional relevante de .${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle X=70}$${\displaystyle X=70}$${\displaystyle X,Y}$ ${\displaystyle X,Y}$${\displaystyle Y}$

${\displaystyle Y\mid X=70\ \sim \ {\mathcal {N}}\left(\mu _{1}+{\frac {\sigma _{1}}{\sigma _{2}}}\rho (70-\mu _{2}),\,(1-\rho ^{2})\sigma _{1}^{2}\right).}$

Relación con la independencia

Variables aleatorias , son independientes si y sólo si la distribución condicional de dado es, para todas las variantes posibles de , igual a la distribución incondicional de . Para variables aleatorias discretas esto significa para todas las posibles y con . Para variables aleatorias continuas y , teniendo una función de densidad conjunta , significa para todas las posibles y con .${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle P(Y=y|X=x)=P(Y=y)}$${\displaystyle y}$${\displaystyle x}$${\displaystyle P(X=x)>0}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle f_{Y}(y|X=x)=f_{Y}(y)}$${\displaystyle y}$${\displaystyle x}$${\displaystyle f_{X}(x)>0}$

Propiedades

Visto como una función de para dado , es una función de masa de probabilidad, por lo que la suma de todos (o integral si es una densidad de probabilidad condicional) es 1. Visto como función de para dado , es una función de verosimilitud , por lo que el La suma total no tiene por qué ser 1.${\displaystyle y}$${\displaystyle x}$${\displaystyle P(Y=y|X=x)}$${\displaystyle y}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle x}$

Además, un marginal de una distribución conjunta se puede expresar como la expectativa de la distribución condicional correspondiente. Por ejemplo, .${\displaystyle p_{X}(x)=E_{Y}[p_{X|Y}(X\ |\ Y)]}$

Formulación de la teoría de la medida

Artículo principal: probabilidad condicional regular

Dejado ser un espacio de probabilidad, un -field en , y una variable aleatoria de valor real-(medible con respecto a la Borel -field en ). Dado , el teorema de Radon-Nikodym implica que hay ^[2] una variable aleatoria integrable medible tal que para cada , y tal variable aleatoria se define de forma única hasta conjuntos de probabilidad cero. Además, se puede demostrar que existe ^[3] una función tal que ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},P)}$${\displaystyle {\mathcal {G}}\subseteq {\mathcal {F}}}$${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle X:\Omega \to \mathbb {R} }$${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle {\mathcal {R}}^{1}}$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle A\in {\mathcal {F}}}$${\displaystyle {\mathcal {G}}}$${\displaystyle P(A\mid {\mathcal {G}}):\Omega \to \mathbb {R} }$${\displaystyle \int _{G}P(A\mid {\mathcal {G}})(\omega )dP(\omega )=P(A\cap G)}$${\displaystyle G\in {\mathcal {G}}}$${\displaystyle \mu :{\mathcal {R}}^{1}\times \Omega \to \mathbb {R} }$

${\displaystyle \mu (\cdot ,\omega )}$es una medida de probabilidad activada para cada uno (es decir, es regular ) y (casi con seguridad) para cada uno .${\displaystyle {\mathcal {R}}^{1}}$${\displaystyle \omega \in \Omega }$${\displaystyle \mu (H,\cdot )=P(X^{-1}(H)\mid {\mathcal {G}})}$${\displaystyle H\in {\mathcal {R}}^{1}}$

Para cualquiera , la función se llama distribución de probabilidad condicional de dado . En este caso, es casi seguro.${\displaystyle \omega \in \Omega }$${\displaystyle \mu (\cdot ,\omega ):{\mathcal {R}}^{1}\to \mathbb {R} }$${\displaystyle X}$${\displaystyle {\mathcal {G}}}$${\displaystyle E[X\mid {\mathcal {G}}]=\int _{-\infty }^{\infty }x\,\mu (dx,\cdot )}$

Relación con la expectativa condicional

Para cualquier evento , defina la función del indicador :${\displaystyle A\in {\mathcal {A}}\supseteq {\mathcal {B}}}$

${\displaystyle \mathbf {1} _{A}(\omega )={\begin{cases}1\;&{\text{if }}\omega \in A,\\0\;&{\text{if }}\omega \notin A,\end{cases}}}$

que es una variable aleatoria. Tenga en cuenta que la expectativa de esta variable aleatoria es igual a la probabilidad de A en sí:

${\displaystyle \operatorname {E} (\mathbf {1} _{A})=\operatorname {P} (A).\;}$

Entonces, la probabilidad condicional dada${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ es una función tal que es la expectativa condicional de la función del indicador para :${\displaystyle \operatorname {P} (\cdot \mid {\mathcal {B}}):{\mathcal {A}}\times \Omega \to [0,1]}$${\displaystyle \operatorname {P} (A\mid {\mathcal {B}})}$${\displaystyle A}$

${\displaystyle \operatorname {P} (A\mid {\mathcal {B}})=\operatorname {E} (\mathbf {1} _{A}\mid {\mathcal {B}})\;}$

En otras palabras, ¿ es una función medible que satisface${\displaystyle \operatorname {P} (A\mid {\mathcal {B}})}$${\displaystyle {\mathcal {B}}}$

${\displaystyle \int _{B}\operatorname {P} (A\mid {\mathcal {B}})(\omega )\,\mathrm {d} \operatorname {P} (\omega )=\operatorname {P} (A\cap B)\qquad {\text{for all}}\quad A\in {\mathcal {A}},B\in {\mathcal {B}}.}$

Una probabilidad condicional es regular si también es una medida de probabilidad para todo ω  ∈  Ω . Una expectativa de una variable aleatoria con respecto a una probabilidad condicional regular es igual a su expectativa condicional.${\displaystyle \operatorname {P} (\cdot \mid {\mathcal {B}})(\omega )}$

• Para el álgebra sigma trivial, la probabilidad condicional es una función constante,${\displaystyle {\mathcal {B}}=\{\emptyset ,\Omega \}}$${\displaystyle \operatorname {P} \!\left(A\mid \{\emptyset ,\Omega \}\right)\equiv \operatorname {P} (A).}$
• Porque , como se indicó anteriormente,${\displaystyle A\in {\mathcal {B}}}$${\displaystyle \operatorname {P} (A\mid {\mathcal {B}})=1_{A}.}$

Ver también

• Acondicionamiento (probabilidad)
• La probabilidad condicional
• Probabilidad condicional regular
• Teorema de Bayes

Notas

1. Park, Kun Il (2018). Fundamentos de Probabilidad y Procesos Estocásticos con Aplicaciones a las Comunicaciones . Saltador. ISBN 978-3-319-68074-3.
2. Billingsley (1995) , p. 430
3. Billingsley (1995) , p. 439

Referencias

• Billingsley, Patrick (1995). Probabilidad y medida (3ª ed.). Nueva York: John Wiley and Sons.