Conductor (teoría de campo de clase)

En la teoría algebraica de números , el conductor de una extensión abeliana finita de campos locales o globales proporciona una medida cuantitativa de la ramificación en la extensión. La definición de director está relacionada con el mapa de Artin .

Conductor local

Sea L / K una extensión abeliana finita de campos locales no arquimedianos . El conductor de L / K , denotado , es el número entero no negativo más pequeño n tal que el grupo unitario superior${\displaystyle {\mathfrak {f}}(L/K)}$

${\displaystyle U^{(n)}=1+{\mathfrak {m}}_{K}^{n}=\left\{u\in {\mathcal {O}}^{\times }:u\equiv 1\,\left(\operatorname {mod} {\mathfrak {m}}_{K}^{n}\right)\right\}}$

está contenido en N _{L / K} ( L ^× ), donde N _{L / K} es campo norma mapa y es el ideal maximal de K . ^{[1] De manera} equivalente, n es el número entero más pequeño de manera que el mapa local de Artin es trivial . A veces, el conductor se define como donde n es como arriba. ^[2]${\displaystyle {\mathfrak {m}}_{K}}$${\displaystyle U_{K}^{(n)}}$${\displaystyle {\mathfrak {m}}_{K}^{n}}$

El conductor de una extensión mide la ramificación. Cualitativamente, la extensión se desramifica si, y solo si, el conductor es cero, ^[3] y se ramifica dócilmente si, y solo si, el conductor es 1. ^[4] Más precisamente, el conductor calcula la no trivialidad de grupos de ramificación superior : si s es el número entero más grande para el que el grupo de ramificación superior de " numeración inferior " G _s no es trivial, entonces , donde η _{L / K} es la función que se traduce de "numeración inferior" a " numeración superior " de grupos de ramificación superiores.${\displaystyle {\mathfrak {f}}(L/K)=\eta _{L/K}(s)+1}$^[5]

El director de L / K también está relacionado con los directores de Artin de personajes del grupo Galois Gal ( L / K ). En concreto, ^[6]

${\displaystyle {\mathfrak {m}}_{K}^{{\mathfrak {f}}(L/K)}=\operatorname {lcm} \limits _{\chi }{\mathfrak {m}}_{K}^{{\mathfrak {f}}_{\chi }}}$

donde χ varía sobre todos los caracteres complejos multiplicativos de Gal ( L / K ), es el conductor Artin de χ y lcm es el mínimo común múltiplo .${\displaystyle {\mathfrak {f}}_{\chi }}$

Campos más generales

El conductor se puede definir de la misma manera para L / K, una extensión de Galois finita no necesariamente abeliana de los campos locales. ^[7] Sin embargo, solo depende de L ^ab / K , la extensión abeliana máxima de K en L , debido al "teorema de limitación de la norma", que establece que, en esta situación, ^{[8] [9]}

${\displaystyle N_{L/K}\left(L^{\times }\right)=N_{L^{\text{ab}}/K}\left(\left(L^{\text{ab}}\right)^{\times }\right).}$

Además, el conductor se puede definir cuando se permite que L y K sean un poco más generales que locales, es decir, si son campos valuados completos con un campo de residuo cuasi-finito . ^[10]

Campos de Arquímedes

Principalmente por el bien de los conductores globales, el conductor de la extensión trivial R / R se define como 0, y el conductor de la extensión C / R se define como 1. ^[11]

Conductor global

Campos numéricos algebraicos

El conductor de una extensión abeliana L / K de campos numéricos se puede definir, de manera similar al caso local, utilizando el mapa de Artin. Específicamente, sea θ: I ^m → Gal ( L / K ) el mapa global de Artin donde el módulo m es un módulo definitorio para L / K ; decimos que la reciprocidad de Artin es válida para m si θ factores a través del grupo de clases de rayos módulo m . Definimos el conductor de L / K , denotado${\displaystyle {\mathfrak {f}}(L/K)}$, ser el factor común más alto de todos los módulos para los que se mantiene la reciprocidad; de hecho, la reciprocidad es válida para , por lo que es el módulo más pequeño. ^{[12] [13] [14]}${\displaystyle {\mathfrak {f}}(L/K)}$

Ejemplo

• Tomando como base el campo de los números racionales, el teorema de Kronecker-Weber establece que un campo numérico algebraico K es abeliano sobre Q si y solo si es un subcampo de un campo ciclotómico , donde denota una raíz primitiva n -ésima de la unidad. ^[15] Si n es el número entero más pequeño para el que esto se cumple, el conductor de K es entonces n si K se fija por conjugación compleja y de otro modo.${\displaystyle \mathbf {Q} \left(\zeta _{n}\right)}$${\displaystyle \zeta _{n}}$${\displaystyle n\infty }$
• Deje L / K sea donde d es un squarefree entero. Entonces, ^[16]${\displaystyle \mathbf {Q} \left({\sqrt {d}}\right)/\mathbf {Q} }$

  ${\displaystyle {\mathfrak {f}}\left(\mathbf {Q} \left({\sqrt {d}}\right)/\mathbf {Q} \right)={\begin{cases}\left|\Delta _{\mathbf {Q} \left({\sqrt {d}}\right)}\right|&{\text{for }}d>0\\\infty \left|\Delta _{\mathbf {Q} \left({\sqrt {d}}\right)}\right|&{\text{for }}d<0\end{cases}}}$

donde es el discriminante de .${\displaystyle \Delta _{\mathbf {Q} ({\sqrt {d}})}}$${\displaystyle \mathbf {Q} \left({\sqrt {d}}\right)/\mathbf {Q} }$

Relación con conductores locales y ramificación.

El conductor global es el producto de conductores locales: ^[17]

${\displaystyle {\mathfrak {f}}(L/K)=\prod _{\mathfrak {p}}{\mathfrak {p}}^{{\mathfrak {f}}\left(L_{\mathfrak {p}}/K_{\mathfrak {p}}\right)}.}$

Como consecuencia, un primo finito se ramifica en L / K si, y solo si, se divide . ^[18] Un primer infinita v se produce en el conductor si, y sólo si, v es real y se vuelve compleja en L .${\displaystyle {\mathfrak {f}}(L/K)}$

Notas

1. Serre 1967 , §4.2
2. Como en Neukirch 1999 , definición V.1.6
3. Neukirch 1999 , propuesta V.1.7
4. Milne , 2008 , I.1.9
5. Serre 1967 , §4.2, proposición 1
6. Artin y Tate 2009 , corolario del teorema XI.14, p. 100
7. Como en Serre 1967 , §4.2
8. Serre 1967 , §2.5, proposición 4
9. Milne 2008 , teorema III.3.5
10. Como en Artin & Tate 2009 , §XI.4. Ésta es la situación en la que funciona el formalismo de la teoría del campo de clases local .
11. Cohen 2000 , definición 3.4.1
12. Milne 2008 , observación V.3.8
13. Janusz 1973 , págs. 158, 168-169
14. Algunos autores omiten lugares infinitos del director, por ejemplo, Neukirch 1999 , §VI.6
15. Manin, Yu. Yo ; Panchishkin, AA (2007). Introducción a la teoría moderna de números . Enciclopedia de Ciencias Matemáticas. 49 (Segunda ed.). págs. 155, 168. ISBN 978-3-540-20364-3. ISSN  0938-0396 . Zbl  1079.11002 .
16. Milne 2008 , ejemplo V.3.11
17. Para la parte finita Neukirch 1999 , proposición VI.6.5, y para la parte infinita Cohen 2000 , definición 3.4.1
18. Neukirch 1999 , corolario VI.6.6

Referencias

• Artin, Emil ; Tate, John (2009) [1967], teoría del campo de clases , American Mathematical Society , ISBN 978-0-8218-4426-7, MR  2467155
• Cohen, Henri (2000), Temas avanzados en teoría numérica computacional , Textos de posgrado en matemáticas , 193 , Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-98727-9
• Janusz, Gerald (1973), Campos numéricos algebraicos , Matemáticas puras y aplicadas, 55 , Academic Press, ISBN 0-12-380250-4, Zbl  0307.12001
• Milne, James (2008), Class field theory (v4.0 ed.) , Consultado el 22 de febrero de 2010
• Neukirch, Jürgen (1999). Algebraische Zahlentheorie . Grundlehren der mathischen Wissenschaften . 322 . Berlín: Springer-Verlag . ISBN 978-3-540-65399-8. Señor  1697859 . Zbl  0956.11021 .
• Serre, Jean-Pierre (1967), "Teoría del campo de clases locales", en Cassels, JWS ; Fröhlich, Albrecht (eds.), Teoría algebraica de números, Actas de una conferencia educativa en la Universidad de Sussex, Brighton, 1965 , Londres: Academic Press, ISBN 0-12-163251-2, MR  0220701