En matemáticas , un campo K se llama campo local (no arquimediano) si es completo con respecto a una topología inducida por una valoración discreta v y si su campo residual k es finito. [1] De manera equivalente, un campo local es un campo topológico localmente compacto con respecto a una topología no discreta . [2] A veces, los números reales R y los números complejos C (con sus topologías estándar) también se definen como campos locales; esta es la convención que adaptaremos a continuación. Dado un campo local, la valoración definida en él puede ser de dos tipos, cada uno corresponde a uno de los dos tipos básicos de campos locales: aquellos en los que la valoración es arquimediana y aquellos en los que no lo es. En el primer caso, uno llama al campo local un campo local arquimediano , en el segundo caso, uno lo llama un campo local no arquimediano . [3] Los campos locales surgen naturalmente en la teoría de números como complementos de campos globales . [4]
Si bien los campos locales de Arquímedes han sido bastante conocidos en matemáticas durante al menos 250 años, los primeros ejemplos de campos locales no arquímedes, los campos de números p-ádicos para números primos positivos p , fueron presentados por Kurt Hensel al final del siglo XIX. Siglo 19.
En particular, de importancia en la teoría de números, las clases de campos locales se muestran como las completaciones de los campos numéricos algebraicos con respecto a su valoración discreta correspondiente a uno de sus ideales máximos. Los trabajos de investigación en la teoría de números moderna a menudo consideran una noción más general, que solo requiere que el campo de residuos sea perfecto de característica positiva, no necesariamente finito. [5] Este artículo utiliza la definición anterior.
Dado tal valor absoluto en un campo K , se puede definir la siguiente topología en K : para un número real positivo m , defina el subconjunto B m de K por
Por el contrario, un campo topológico con una topología localmente compacta no discreta tiene un valor absoluto que define su topología. Se puede construir utilizando la medida de Haar del grupo aditivo del campo.
Para un campo local F no arquimediano (con valor absoluto indicado por |·|), los siguientes objetos son importantes: