En matemáticas , un campo global es un campo que es:
- un campo numérico algebraico , es decir, una extensión finita de Q , o
- un campo de función global , es decir, el campo de función de una curva algebraica sobre un campo finito , equivalentemente, una extensión finita de F q ( T ), el campo de funciones racionales en una variable sobre el campo finito con q elementos.
Emil Artin y George Whaples dieron una caracterización axiomática de estos campos a través de la teoría de la valoración en la década de 1940. [1]
Definiciones formales
Un campo global es uno de los siguientes:
- Un campo numérico algebraico
Un campo de número algebraico F es un finita (y por lo tanto algebraica ) de extensión de campo del campo de los números racionales Q . Por lo tanto F es un campo que contiene Q y tiene finito dimensión cuando se considera como un espacio vectorial sobre Q .
- El campo de función de una curva algebraica sobre un campo finito
Un campo de función de una variedad es el conjunto de todas las funciones racionales de esa variedad. En una curva algebraica (es decir, una variedad unidimensional V ) sobre un campo finito, decimos que una función racional en un subconjunto afín abierto U se define como la razón de dos polinomios en el anillo de coordenadas afines de U , y que una función racional La función en todo V consta de datos locales que coinciden en las intersecciones de afines abiertos. Esto define técnicamente las funciones racionales en V como el campo de fracciones del anillo de coordenadas afines de cualquier subconjunto afín abierto, ya que todos esos subconjuntos son densos.
Analogías entre las dos clases de campos
Hay una serie de similitudes formales entre los dos tipos de campos. Un campo de cualquier tipo tiene la propiedad de que todas sus finalizaciones son campos compactos localmente (ver campos locales ). Cada campo de cualquier tipo se puede realizar como el campo de fracciones de un dominio de Dedekind en el que todo ideal distinto de cero es de índice finito. En cada caso, se tiene la fórmula del producto para elementos distintos de cero x :
La analogía entre los dos tipos de campos ha sido una gran fuerza motivadora en la teoría algebraica de números . La idea de una analogía entre los campos numéricos y las superficies de Riemann se remonta a Richard Dedekind y Heinrich M. Weber en el siglo XIX. La analogía más estricta expresada por la idea del 'campo global', en la que el aspecto de una superficie de Riemann como curva algebraica se mapea a curvas definidas sobre un campo finito, se construyó durante la década de 1930, culminando en la hipótesis de Riemann de curvas sobre campos finitos establecidos. por André Weil en 1940. La terminología puede deberse a Weil, quien escribió su Teoría básica de números (1967) en parte para resolver el paralelismo.
Por lo general, es más fácil trabajar en el caso del campo de función y luego intentar desarrollar técnicas paralelas en el lado del campo numérico. El desarrollo de la teoría de Arakelov y su explotación por Gerd Faltings en su prueba de la conjetura de Mordell es un ejemplo dramático. La analogía también influyó en el desarrollo de la teoría de Iwasawa y la conjetura principal . La prueba del lema fundamental en el programa Langlands también hizo uso de técnicas que redujeron el caso del campo numérico al caso del campo de función.
Teoremas
Teorema de Hasse-Minkowski
El teorema de Hasse-Minkowski es un resultado fundamental en la teoría de números que establece que dos formas cuadráticas sobre un campo global son equivalentes si y solo si son equivalentes localmente en todos los lugares , es decir, equivalentes en cada terminación del campo.
Ley de reciprocidad de Artin
La ley de reciprocidad de Artin implica una descripción de la abelianización del grupo absoluto de Galois de un campo global K que se basa en el principio local-global de Hasse . Se puede describir en términos de cohomología de la siguiente manera:
Sea L v ⁄ K v una extensión de Galois de los campos locales con el grupo G de Galois . La ley de reciprocidad local describe un isomorfismo canónico
llamado el símbolo local de Artin , el mapa de reciprocidad local o el símbolo del residuo normativo . [2] [3]
Let L / K sea una extensión de Galois de campos globales y C L soporte para el grupo de clase Idele de L . Los mapas θ v para diferentes lugares v de K se pueden ensamblar en un solo mapa global de símbolos multiplicando los componentes locales de una clase idèle. Una de las afirmaciones de la ley de reciprocidad de Artin es que esto da como resultado el isomorfismo canónico [4] [5]
Notas
- ^ Artin & Whaples 1945 y Artin & Whaples 1946
- ↑ Serre (1967) p.140
- ↑ Serre (1979) p.197
- ^ Neukirch (1999) p.391
- ^ Jürgen Neukirch , Algebraische Zahlentheorie , Springer, 1992, p. 408. De hecho, una versión más precisa de la ley de reciprocidad hace un seguimiento de la ramificación.
Referencias
- Artin, Emil ; Whaples, George (1945), "Caracterización axiomática de campos por la fórmula de producto para valoraciones", Bull. Amer. Matemáticas. Soc. , 51 : 469–492, doi : 10.1090 / S0002-9904-1945-08383-9 , MR 0013145
- Artin, Emil ; Whaples, George (1946), "Una nota sobre la caracterización axiomática de los campos", Bull. Amer. Matemáticas. Soc. , 52 : 245–247, doi : 10.1090 / S0002-9904-1946-08549-3 , MR 0015382
- JWS Cassels , "Campos globales", en JWS Cassels y A. Frohlich (eds), Teoría algebraica de números , Academic Press , 1973. Cap.II, págs. 45-84.
- JWS Cassels, "Campos locales", Cambridge University Press , 1986, ISBN 0-521-31525-5 . P.56.
- Neukirch, Jürgen ; Schmidt, Alexander; Wingberg, Kay (2008), Cohomology of Number Fields , Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften , 323 (Segunda ed.), Berlín: Springer-Verlag , doi : 10.1007 / 978-3-540-37889-1 , ISBN 978-3-540-37888-4, MR 2392026 , Zbl 1136.11001
- Jean-Pierre Serre , Campos locales , Springer Science & Business Media, ISBN 978-1-4757-5673-9