En matemáticas , una función hipergeométrica confluente es una solución de una ecuación hipergeométrica confluente , que es una forma degenerada de una ecuación diferencial hipergeométrica donde dos de las tres singularidades regulares se fusionan en una singularidad irregular . El término confluente se refiere a la fusión de puntos singulares de familias de ecuaciones diferenciales; confluere es latín para "fluir juntos". Hay varias formas estándar comunes de funciones hipergeométricas confluentes:
Las funciones de Kummer, las funciones de Whittaker y las funciones de onda de Coulomb son esencialmente las mismas y se diferencian entre sí solo por las funciones elementales y el cambio de variables.
con un punto singular regular en z = 0 y un punto singular irregular en z = ∞ . Tiene dos (normalmente) soluciones linealmente independientes M ( a , b , z ) y U ( a , b , z ) .
La función de Kummer de primer tipo M es una serie hipergeométrica generalizada introducida en ( Kummer 1837 ), dada por:
es el factorial ascendente . Otra notación común para esta solución es Φ( a , b , z ) . Considerado como una función de a , b , o z con los otros dos constantes, esto define una función completa de a o z , excepto cuando b = 0, −1, −2, ... En función de b es analítico excepto para los polos en los enteros no positivos.
Algunos valores de a y b producen soluciones que pueden expresarse en términos de otras funciones conocidas. Ver #Casos especiales . Cuando a es un número entero no positivo, entonces la función de Kummer (si está definida) es un polinomio de Laguerre generalizado .