Álgebra de mentira compleja

Dada un álgebra de Lie compleja , su conjugado es un álgebra de Lie compleja con el mismo espacio vectorial real subyacente pero actuando como en su lugar. ^[1] Como álgebra de Lie real, un álgebra de Lie compleja es trivialmente isomórfica a su conjugado. Un álgebra de Lie compleja es isomorfa a su conjugado si y solo si admite una forma real (y se dice que está definida sobre los números reales). ${\ Displaystyle {\ mathfrak {g}}}$ ${\ Displaystyle {\ overline {\ mathfrak {g}}}}$ ${\ Displaystyle i = {\ sqrt {-1}}}$ ${\ Displaystyle -i}$ ${\ Displaystyle {\ mathfrak {g}}}$

Dada un álgebra de Lie compleja , se dice que un álgebra de Lie real es una forma real de si la complexificación es isomórfica a . ${\ Displaystyle {\ mathfrak {g}}}$ ${\mathfrak {g}}_{0}$ ${\mathfrak {g}}$ ${\mathfrak {g}}_{0}\otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {C}$ ${\mathfrak {g}}$

Una forma real es abeliana (resp. Nilpotente, resoluble, semisimple) si y sólo si es abeliana (resp. Nilpotente, resoluble, semisimple). ^[2] Por otro lado, una forma real es simple si y solo si es simple o es de la forma donde son simples y son conjugados entre sí. ^[2] ${\mathfrak {g}}_{0}$ ${\mathfrak {g}}$ ${\mathfrak {g}}_{0}$ ${\mathfrak {g}}$ ${\mathfrak {g}}$ ${\mathfrak {s}}\times {\overline {\mathfrak {s}}}$ ${\mathfrak {s}},{\overline {\mathfrak {s}}}$