En álgebra, un álgebra de Lie simple es un álgebra de Lie que no es beliana y no contiene ideales propios distintos de cero. La clasificación de álgebras de Lie simples reales es uno de los principales logros de Wilhelm Killing y Élie Cartan .
Una suma directa de álgebras de Lie simples se denomina álgebra de Lie semisimple .
Un grupo de Lie simple es un grupo de Lie conectado cuyo álgebra de Lie es simple.
Álgebras de Lie simples complejas
Un álgebra de Lie compleja simple de dimensión finita es isomórfica a cualquiera de los siguientes:, , ( álgebras de Lie clásicas ) o una de las cinco álgebras de Lie excepcionales . [1]
Para cada álgebra de Lie semisimple compleja de dimensión finita , existe un diagrama correspondiente (llamado diagrama de Dynkin ) donde los nodos denotan las raíces simples, los nodos están articulados (o no articulados) por un número de líneas dependiendo de los ángulos entre las raíces simples y las flechas se colocan para indicar si las raíces son más largas o más cortas. [2] El diagrama de Dynkin de está conectado si y solo si es simple. Todos los posibles diagramas de Dynkin conectados son los siguientes: [3]
donde n es el número de nodos (las raíces simples). La correspondencia de los diagramas y las álgebras de Lie simples complejas es la siguiente: [2]
- (A n )
- (B n )
- (C n )
- (D n )
- El resto, álgebras de Lie excepcionales .
Álgebras de mentira simples reales
Si es un álgebra de Lie simple real de dimensión finita, su complexificación es (1) simple o (2) un producto de un álgebra de Lie simple compleja y su conjugado . Por ejemplo, la complejidad de considerado como un álgebra de mentira real es . Por lo tanto, un álgebra de Lie simple real se puede clasificar mediante la clasificación de álgebras de Lie simples complejas y alguna información adicional. Esto se puede hacer mediante diagramas de Satake que generalizan los diagramas de Dynkin . Ver también la Tabla de grupos de Lie # Álgebras de Lie reales para una lista parcial de álgebras de Lie reales simples.
Notas
- ^ Fulton y Harris 1991 , Teorema 9.26.
- ^ a b Fulton y Harris 1991 , § 21.1.
- ^ Fulton y Harris 1991 , § 21.2.
Ver también
Referencias
- Fulton, William ; Harris, Joe (1991). Teoría de la representación. Un primer plato . Textos de Posgrado en Matemáticas , Lecturas en Matemáticas. 129 . Nueva York: Springer-Verlag. doi : 10.1007 / 978-1-4612-0979-9 . ISBN 978-0-387-97495-8. Señor 1153249 . OCLC 246650103 .
- Jacobson, Nathan, álgebras de Lie , republicación del original de 1962. Dover Publications, Inc., Nueva York, 1979. ISBN 0-486-63832-4 ; El capítulo X considera una clasificación de álgebras de Lie simples sobre un campo de característica cero.