En matemáticas , la complejación de un espacio vectorial V sobre el campo de números reales (un "espacio vectorial real") produce un espacio vectorial V ℂ sobre el campo de números complejos , obtenido al extender formalmente la escala de vectores por números reales para incluir sus escalado ("multiplicación") por números complejos. Cualquier base para V (un espacio sobre los números reales) también puede servir como base para V ℂ sobre los números complejos.
Definicion formal
Sea V un espacio vectorial real. La complexificación de V se define tomando el producto tensorial de V con los números complejos (pensado como un espacio vectorial bidimensional (V) sobre los reales):
El subíndice, , en el producto tensorial indica que el producto tensorial se toma sobre los números reales (dado que V es un espacio vectorial real, esta es la única opción sensata de todos modos, por lo que el subíndice se puede omitir con seguridad). Tal como está, V ℂ es solo un espacio vectorial real. Sin embargo, podemos convertir V ℂ en un espacio vectorial complejo definiendo la multiplicación compleja de la siguiente manera:
De manera más general, la complexificación es un ejemplo de extensión de escalares - aquí extendiendo los escalares de los números reales a los números complejos - que se puede hacer para cualquier extensión de campo , o incluso para cualquier morfismo de anillos.
Formalmente, la complexificación es un functor Vect ℝ → Vect ℂ , desde la categoría de espacios vectoriales reales a la categoría de espacios vectoriales complejos. Este es el functor adjunto - específicamente el adjunto izquierdo - al functor olvidadizo Vect ℂ → Vect ℝ olvidando la estructura compleja.
Este olvido de la estructura compleja de un espacio vectorial complejo se llama descomplejización (o algunas veces "realización"). La descomplexificación de un espacio vectorial complejo con base elimina la posibilidad de multiplicación compleja de escalares, lo que produce un espacio vectorial real del doble de la dimensión con una base . [1]
Propiedades básicas
Por la naturaleza del producto tensorial, cada vector v en V ℂ se puede escribir de forma única en la forma
donde v 1 y v 2 son vectores en V . Es una práctica común quitar el símbolo del producto tensorial y simplemente escribir
La multiplicación por el número complejo a + ib viene dada por la regla habitual
Entonces podemos considerar V ℂ como la suma directa de dos copias de V :
con la regla anterior para la multiplicación por números complejos.
Hay una incrustación natural de V en V ℂ dada por
El espacio vectorial V puede considerarse entonces como un subespacio real de V ℂ . Si V tiene una base { e i } (sobre el campo ℝ ) entonces una base correspondiente para V ℂ viene dada por { e i ⊗ 1} sobre el campo ℂ . El complejo de dimensión de V ℂ es por lo tanto igual a la dimensión real de V :
Alternativamente, en lugar de usar productos tensoriales, se puede usar esta suma directa como la definición de la complexificación:
dónde recibe una estructura compleja lineal por el operador J definido comodonde J codifica la operación de “multiplicación por i ”. En forma de matriz, J viene dado por:
Esto produce el espacio idéntico: un espacio vectorial real con una estructura compleja lineal son datos idénticos a un espacio vectorial complejo, aunque construye el espacio de manera diferente. Respectivamente, Se puede escribir como o identificando V con el primer sumando directo. Este enfoque es más concreto y tiene la ventaja de evitar el uso del producto tensorial técnicamente involucrado, pero es ad hoc.
Ejemplos de
- La complejidad del espacio de coordenadas real ℝ n es el espacio de coordenadas complejo ℂ n .
- Asimismo, si V consta de matrices m × n con entradas reales, V ℂ constaría de matrices m × n con entradas complejas.
Dickson doblando
El proceso de complejificación al pasar de ℝ a ℂ fue resumido por los matemáticos del siglo XX, incluido Leonard Dickson . Uno comienza usando el mapeo de identidad x * = x como una involución trivial en ℝ . A continuación, se utilizan dos copias de ℝ para formar z = ( a, b ) con la conjugación compleja introducida como la involución z * = ( a , - b ) . Dos elementos w y z en el conjunto duplicado multiplicar por
Finalmente, al conjunto duplicado se le da una norma N ( z ) = z * z . Al partir de ℝ con la involución de identidad, el conjunto duplicado es ℂ con la norma a 2 + b 2 . Si uno duplica ℂ y usa la conjugación ( a, b ) * = ( a *, - b ), la construcción produce cuaterniones . Duplicar nuevamente produce octoniones , también llamados números de Cayley. Fue en este punto que Dickson en 1919 contribuyó a descubrir la estructura algebraica.
El proceso también se puede iniciar con ℂ y la involución trivial z * = z . La norma producida es simplemente z 2 , a diferencia de la generación de ℂ al duplicar ℝ . Cuando este ℂ se duplica, produce números bicomplejos , y la duplicación produce bicuaterniones , y duplicar nuevamente da como resultado bioctoniones . Cuando el álgebra básica es asociativa, el álgebra producida por esta construcción de Cayley-Dickson se llama álgebra de composición ya que se puede demostrar que tiene la propiedad
Conjugación compleja
El espacio vectorial complejo V ℂ tiene más estructura que un espacio vectorial complejo ordinario. Viene con un mapa de conjugación complejo canónico :
definido por
El mapa χ puede considerarse como un mapa lineal conjugado de V ℂ a sí mismo o como un isomorfismo lineal complejo de V ℂ a su conjugado complejo .
Por el contrario, dado un espacio vectorial complejo W con una conjugación compleja χ , W es isomorfo como un espacio vectorial complejo a la complexificación V ℂ del subespacio real
En otras palabras, todos los espacios vectoriales complejos con conjugación compleja son la complejidad de un espacio vectorial real.
Por ejemplo, cuando W = ℂ n con la conjugación compleja estándar
el subespacio invariante V es solo el subespacio real ℝ n .
Transformaciones lineales
Dada una transformación lineal real f : V → W entre dos espacios vectoriales reales, existe una transformación lineal compleja natural
dada por
El mapa se llama la complexificación de f . La complexificación de transformaciones lineales satisface las siguientes propiedades
En el lenguaje de la teoría de categorías se dice que la complexificación define un funtor ( aditivo ) de la categoría de espacios vectoriales reales a la categoría de espacios vectoriales complejos.
El mapa f ℂ conmuta con la conjugación y, por lo tanto, asigna el subespacio real de V ℂ al subespacio real de W ℂ (a través del mapa f ). Además, un mapa lineal complejo g : V ℂ → W ℂ es la complejidad de un mapa lineal real si y solo si se conmuta con la conjugación.
Como ejemplo, considere una transformación lineal de ℝ n a ℝ m considerada como una matriz m × n . La complexificación de esa transformación es exactamente la misma matriz, pero ahora se piensa como un mapa lineal de ℂ n a ℂ m .
Productos de tensor y espacios duales
El dual de un espacio vectorial real V es el espacio V * de todos los mapas lineales reales de V a ℝ . La complexificación de V * se puede pensar naturalmente como el espacio de todos los mapas lineales reales de V a ℂ (denotado Hom ℝ ( V , ℂ) ). Es decir,
El isomorfismo está dado por
donde φ 1 y φ 2 son elementos de V * . La conjugación compleja viene dada por la operación habitual
Dado un mapa lineal real φ: V → ℂ podemos extender por linealidad para obtener un mapa lineal complejo φ: V ℂ → ℂ . Es decir,
Esta extensión da un isomorfismo de Hom ℝ ( V , ℂ) a Hom ℂ ( V ℂ , ℂ) . Este último es solo el espacio dual complejo para V ℂ , por lo que tenemos un isomorfismo natural :
De manera más general, dados los espacios vectoriales reales V y W hay un isomorfismo natural
La complexificación también conmuta con las operaciones de tomar productos tensoriales , poderes exteriores y poderes simétricos . Por ejemplo, si V y W son espacios vectoriales reales, existe un isomorfismo natural
Tenga en cuenta que el producto del tensor de la izquierda se toma sobre los reales, mientras que el de la derecha se toma sobre los complejos. El mismo patrón es cierto en general. Por ejemplo, uno tiene
En todos los casos, los isomorfismos son los "obvios".
Ver también
- Extensión de escalares - proceso general
- Estructura compleja lineal
- Fórmula de Baker – Campbell – Hausdorff
Referencias
- ^ Kostrikin, Alexei I .; Manin, Yu I. (14 de julio de 1989). Álgebra lineal y geometría . Prensa CRC. pag. 75. ISBN 978-2881246838.
- Halmos, Paul (1974) [1958]. Espacios vectoriales de dimensión finita . Saltador. pág. 41 y §77 Complexificación, págs. 150-153. ISBN 0-387-90093-4.
- Shaw, Ronald (1982). Álgebra lineal y representaciones de grupos . Vol. I: Álgebra lineal e introducción a las representaciones de grupos. Prensa académica. pag. 196 . ISBN 0-12-639201-3.
|volume=
tiene texto extra ( ayuda )
- Roman, Steven (2005). Álgebra lineal avanzada . Textos de Posgrado en Matemáticas. 135 (2ª ed.). Nueva York: Springer. ISBN 0-387-24766-1.