Consistencia

En la lógica deductiva clásica , una teoría consistente es aquella que no conduce a una contradicción lógica . ^[1] La falta de contradicción se puede definir en términos semánticos o sintácticos . La definición semántica establece que una teoría es consistente si tiene un modelo , es decir, existe una interpretación bajo la cual todas las fórmulas de la teoría son verdaderas. Este es el sentido utilizado en la lógica aristotélica tradicional , aunque en la lógica matemática contemporánea se utiliza en su lugar el término satisfactorio . La definición sintáctica establece una teoría. ${\ Displaystyle T}$ es consistente si no existe una fórmula tal que tanto su negación como sean elementos del conjunto de consecuencias de . Sea un conjunto de oraciones cerradas (informalmente "axiomas") y el conjunto de oraciones cerradas demostrables a partir de algún sistema deductivo formal (especificado, posiblemente implícito). El conjunto de axiomas es consistente cuando no hay fórmula . ^[2] ${\ Displaystyle \ varphi}$ ${\ Displaystyle \ varphi}$ ${\ Displaystyle \ lnot \ varphi}$ ${\ Displaystyle T}$ ${\ Displaystyle A}$ ${\ Displaystyle \ langle A \ rangle}$ ${\ Displaystyle A}$ ${\ Displaystyle A}$ ${\ Displaystyle \ varphi, \ lnot \ varphi \ in \ langle A \ rangle}$ ${\ Displaystyle \ varphi}$

Si existe un sistema deductivo para el cual estas definiciones semánticas y sintácticas son equivalentes para cualquier teoría formulada en una lógica deductiva particular , la lógica se llama completa . ^{[ cita requerida ]}Paul Bernays demostró la integridad del cálculo de sentencias en 1918 ^[^{cita requerida}^]^[3] y Emil Post en 1921, ^[4] mientras que Kurt Gödel demostró la integridad del cálculo de predicados en 1930, ^[5] y pruebas de consistencia para aritmética restringidas con respecto a la El esquema del axioma de inducción fue probado por Ackermann (1924), von Neumann (1927) y Herbrand (1931). ^[6] Las lógicas más sólidas, como la lógica de segundo orden , no están completas.

Una prueba de consistencia es una prueba matemática de que una teoría en particular es consistente. ^[7] El desarrollo temprano de la teoría de la prueba matemática fue impulsado por el deseo de proporcionar pruebas de consistencia finita para todas las matemáticas como parte del programa de Hilbert . El programa de Hilbert se vio fuertemente afectado por los teoremas de incompletitud , que demostraron que las teorías de prueba suficientemente sólidas no pueden probar su propia consistencia (siempre que sean de hecho consistentes).

Aunque la coherencia puede demostrarse mediante la teoría de modelos, a menudo se hace de forma puramente sintáctica, sin necesidad de hacer referencia a algún modelo de la lógica. La eliminación de cortes (o, de manera equivalente, la normalización del cálculo subyacente si existe) implica la consistencia del cálculo: dado que no hay prueba de falsedad sin cortes, no hay contradicción en general.

En las teorías de la aritmética, como la aritmética de Peano , existe una relación intrincada entre la consistencia de la teoría y su integridad . Una teoría es completa si, para cada fórmula φ en su lenguaje, al menos una de φ o ¬φ es una consecuencia lógica de la teoría.

La aritmética de Presburger es un sistema de axiomas para los números naturales bajo la suma. Es consistente y completo.