Hipoteca de amortización continua

Es posible que el tema de este artículo no cumpla con las pautas generales de notabilidad de Wikipedia . Ayude a demostrar la notoriedad del tema citando fuentes secundarias confiables que sean independientes del tema y brinden una cobertura significativa del mismo más allá de una mera mención trivial. Si no se puede mostrar la notabilidad, es probable que el artículo se fusione , redirija o elimine . Encuentre fuentes:  "Hipoteca de pago continuo"  -  noticias  · periódicos  · libros  · académico  · JSTOR ( junio de 2010 )( Aprenda cómo y cuándo eliminar este mensaje de plantilla )

El efecto de ganar un interés anual del 20% sobre una inversión inicial de $ 1,000 en varias frecuencias de capitalización

De manera análoga a la capitalización continua , una anualidad continua ^{[1] [2]} es una anualidad ordinaria en la que el intervalo de pago se reduce indefinidamente. Una hipoteca de amortización continua (teórica) es un préstamo hipotecario que se paga mediante una anualidad continua.

Las hipotecas (es decir, los préstamos hipotecarios) generalmente se liquidan durante un período de años mediante una serie de pagos regulares fijos comúnmente denominados anualidades . Cada pago acumula un interés compuesto desde el momento del depósito hasta el final del período de la hipoteca, momento en el que la suma de los pagos con su interés acumulado es igual al valor del préstamo con el interés compuesto durante todo el período. Dado el préstamo P ₀ , la tasa de interés por período i, el número de períodos n y el pago fijo por período x , la ecuación de equilibrio al final del plazo es:

${\displaystyle P_{0}(1+i)^{n}=\sum _{k=1}^{n}x(1+i)^{n-k}={\frac {x[(1+i)^{n}-1]}{i}}}$

La suma se puede calcular utilizando la fórmula estándar para la suma de una secuencia geométrica .

En una hipoteca de pago continuo (teórico), el intervalo de pago se reduce indefinidamente hasta que el proceso de intervalo discreto se vuelve continuo y los pagos de intervalo fijo se convierten, en efecto, en un "flujo" de efectivo literal a una tasa anual fija. En este caso, dado el préstamo P ₀ , la tasa de interés anual r , el período de tiempo del préstamo T (años) y la tasa anual M _a , los elementos de flujo de efectivo infinitesimales M _a δt acumulan intereses compuestos continuamente desde el tiempo t hasta el final del período de tiempo del préstamo en el que punto, la ecuación de equilibrio es:

${\displaystyle P_{0}e^{rT}=\int \limits _{0}^{T}M_{a}e^{r(T-t)}\,dt={\frac {M_{a}(e^{rT}-1)}{r}}.}$

La suma de los elementos del flujo de efectivo y el interés acumulado se efectúa por integración como se muestra. Se supone que el intervalo de capitalización y el intervalo de pago son iguales, es decir, la capitalización de intereses siempre ocurre al mismo tiempo que se deduce el pago. ^[3]

Dentro del período de tiempo del préstamo, la función de saldo hipotecario continuo en el tiempo obedece a una ecuación diferencial lineal de primer orden (LDE) ^[4] y se puede obtener una derivación alternativa de la misma resolviendo la LDE utilizando el método de transformadas de Laplace .

La aplicación de la ecuación arroja una serie de resultados relevantes para el proceso financiero que describe. Aunque este artículo se centra principalmente en las hipotecas, los métodos empleados son relevantes para cualquier situación en la que el pago o el ahorro se efectúe mediante un flujo regular de pagos a intervalos fijos (anualidad).

Derivación de la ecuación continua en el tiempo

La fórmula clásica para el valor presente de una serie de n pagos mensuales fijos monto x invertido a una tasa de interés mensual i % es:

${\displaystyle P_{v}(n)={\frac {x(1-(1+i)^{-n})}{i}}}$

La fórmula se puede reorganizar para determinar el pago mensual x de un préstamo de monto P ₀ contratado por un período de n meses a una tasa de interés mensual del  i %:

${\displaystyle x={\frac {P_{0}\cdot i}{1-(1+i)^{-n}}}}$

Comenzamos con un pequeño ajuste de la fórmula: reemplace i con r / N donde r es la tasa de interés anual y N es la frecuencia anual de los períodos de capitalización ( N = 12 para pagos mensuales). También reemplace n con NT donde T es el período total del préstamo en años. En esta forma más general de la ecuación estamos calculando x ( N ) como el pago fijo correspondiente a la frecuencia N . Por ejemplo, si N  = 365, x corresponde a un pago fijo diario. A medida que aumenta N ,x ( N ) disminuye pero el producto N · x ( N ) se acerca a un valor límite como se mostrará:

${\displaystyle x(N)={\frac {P_{0}\cdot r}{N(1-(1+{\frac {r}{N}})^{-NT})}}}$

${\displaystyle N\cdot x(N)={\frac {P_{0}\cdot r}{1-(1+{\frac {r}{N}})^{-NT}}}}$

Tenga en cuenta que N · x ( N ) es simplemente la cantidad pagada por año; en efecto, una tasa de reembolso anual M _a .

Está bien establecido que:

${\displaystyle \lim _{N\to \infty }\left(1+{\frac {r}{N}}\right)^{Nt}=e^{rt}}$ ^{[5] [6]}

Aplicando el mismo principio a la fórmula de reembolso anual, podemos determinar un valor límite:

${\displaystyle M_{a}=\lim _{N\to \infty }N\cdot x(N)=\lim _{N\to \infty }{\frac {P_{0}\cdot r}{1-(1+{\frac {r}{N}})^{-NT}}}={\frac {P_{0}\cdot r}{1-e^{-rT}}}.}$ ^[7]

En este punto de la fórmula ortodoxa para el valor presente, este último se representa más adecuadamente como una función de la frecuencia de capitalización anual N y el tiempo  t :

${\displaystyle P_{v}(N,t)={\frac {N\cdot x(N)(1-(1+{\frac {r}{N}})^{-Nt})}{r}}}$

Aplicando la expresión limitante desarrollada anteriormente, podemos escribir el valor presente como una función puramente dependiente del tiempo:

${\displaystyle P_{v}(t)=\lim _{N\to \infty }P_{v}(N,t)={\frac {M_{a}}{r}}(1-e^{-rt})}$^[8]

Figura 1

Teniendo en cuenta que el saldo adeudado P ( t ) de un préstamo t años después de su inicio es simplemente el valor presente de las contribuciones para el período restante (es decir, T  -  t ), determinamos:

${\displaystyle P(t)={\frac {M_{a}}{r}}(1-e^{-r(T-t)})={\frac {P_{0}(1-e^{-r(T-t)})}{1-e^{-rT}}}}$ ^[9]

Los gráficos del diagrama son una comparación del saldo adeudado de una hipoteca (1 millón durante 20 años @ r = 10%) calculado en primer lugar de acuerdo con el modelo continuo de tiempo anterior y, en segundo lugar, utilizando la función PV de Excel. Como puede verse, las curvas son prácticamente indistinguibles: los cálculos realizados con el modelo difieren de los realizados con la función PV de Excel en un mero 0,3% (máx.). Los datos de los que se derivaron los gráficos se pueden ver aquí.

Comparación con sistemas físicos similares

Defina la variable "tiempo inverso" z = T  -  t . ( t  = 0, z  =  T y t  =  T , z  = 0). Luego:

Trazada en un eje de tiempo normalizado a la constante de tiempo del sistema ( τ = 1 / r años y τ =  RC segundos respectivamente) la función de saldo de la hipoteca en un CRM (verde) es una imagen especular de la curva de respuesta escalonada para un circuito RC (azul) . El eje vertical se normaliza a la asíntota del sistema, es decir, el valor de perpetuidad M _a / r para el CRM y el voltaje aplicado V ₀ para el circuito RC.

${\displaystyle P(z)={\frac {M_{a}}{r}}(1-e^{-rz}).}$

Esto puede reconocerse como una solución a la ecuación diferencial de "tiempo inverso":

${\displaystyle {\frac {M_{a}}{r}}={\frac {1}{r}}{\frac {dP(z)}{dz}}+P(z).}$

Los ingenieros y físicos eléctricos / electrónicos estarán familiarizados con una ecuación de esta naturaleza: es un análogo exacto del tipo de ecuación diferencial que gobierna (por ejemplo) la carga de un condensador en un circuito RC.

${\displaystyle V_{0}=RC{\frac {dV(t)}{dt}}+V(t).}$

Las características clave de tales ecuaciones se explican en detalle en los circuitos RC . Para los propietarios de viviendas con hipotecas, el parámetro importante a tener en cuenta es la constante de tiempo de la ecuación, que es simplemente la recíproca de la tasa de interés anual  r . Entonces (por ejemplo) la constante de tiempo cuando la tasa de interés es del 10% es de 10 años y el período de un préstamo hipotecario debe determinarse, dentro de los límites de la asequibilidad, como un múltiplo mínimo de este si el objetivo es minimizar el interés pagado en el préstamo.

Diferencia hipotecaria y ecuación diferencial

La ecuación de diferencia convencional para un préstamo hipotecario es relativamente sencilla de derivar: el saldo adeudado en cada período sucesivo es el saldo anterior más el interés por período menos el pago fijo por período.

Dada una tasa de interés anual r y un prestatario con una capacidad de pago anual M _N (dividido en N pagos iguales realizados en intervalos de tiempo Δ t donde Δ t  = 1 / N  años), podemos escribir:

${\displaystyle {\begin{aligned}P_{t+\Delta t}&=P_{t}+(rP_{t}-M_{N})\Delta t\\[12pt]{\dfrac {P_{t+\Delta t}-P_{t}}{\Delta t}}&=rP_{t}-M_{N}\end{aligned}}}$

Si N se incrementa indefinidamente de modo que Δ t  → 0, obtenemos la ecuación diferencial de tiempo continuo:

${\displaystyle {\operatorname {d} P(t) \over \operatorname {d} t}=rP(t)-M_{a}}$ ^{[10] [11]}

Tenga en cuenta que para que haya un saldo hipotecario en constante disminución, se debe mantener la siguiente desigualdad:

${\displaystyle P_{0}\leqslant {\frac {M_{a}}{r}}}$^[12]

P ₀ es lo mismo que P (0): el monto del préstamo original o el saldo del préstamo en el momento  t  = 0.

Resolver la ecuación en diferencias

Comenzamos reescribiendo la ecuación en diferencias en forma recursiva:

${\displaystyle P_{t+\Delta t}=P_{t}(1+r\Delta t)-M_{N}\Delta t\;}$

Usando la notación P _n para indicar el saldo de la hipoteca después de n períodos, podemos aplicar la relación de recursividad de manera iterativa para determinar P ₁ y P ₂ :

${\displaystyle P_{1}=P_{0}(1+r\Delta t)-M_{N}\Delta t\;}$

${\displaystyle {\begin{aligned}P_{2}&=[P_{0}(1+r\Delta t)-M_{N}\Delta t](1+r\Delta t)-M_{N}\Delta t\\&=P_{0}(1+r\Delta t)^{2}-M_{N}\Delta t(1+r\Delta t)-M_{N}\Delta t\end{aligned}}}$

Ya se puede ver que los términos que contienen M _N forman una serie geométrica con razón común 1 +  r Δ  t . Esto nos permite escribir una expresión general para P _n :

${\displaystyle {\begin{aligned}P_{n}&=P_{0}(1+r\Delta t)^{n}-\sum _{k=1}^{n}M_{N}\Delta t(1+r\Delta t)^{n-k}\\&=P_{0}(1+r\Delta t)^{n}-{\dfrac {M_{N}\Delta t[(1+r\Delta t)^{n}-1]}{r\Delta t}}\end{aligned}}}$

Finalmente, observando que r  Δ  t  =  i la tasa de interés por período y el pago por período, la expresión se puede escribir en forma convencional:${\displaystyle M_{N}\Delta t=x}$

${\displaystyle P_{n}=P_{0}(1+i)^{n}-{\dfrac {x[(1+i)^{n}-1]}{i}}}$

Si el período de tiempo del préstamo es m períodos, entonces P _m  = 0 y obtenemos la fórmula de valor presente estándar:

${\displaystyle P_{0}={\dfrac {x[1-(1+i)^{-m}]}{i}}}$

Resolver la ecuación diferencial

${\displaystyle {\operatorname {d} P(t) \over \operatorname {d} t}=rP(t)-M_{a}}$

Un método para resolver la ecuación es obtener la transformada de Laplace P ( s ):

${\displaystyle P(s)={\frac {M_{a}}{s(r-s)}}={\frac {M_{a}}{r}}\times {\frac {(-r)}{s(s-r)}}.}$

Usando una tabla de transformadas de Laplace y sus equivalentes en el dominio del tiempo, se puede determinar P ( t ):

${\displaystyle P(t)={\frac {M_{a}}{r}}(1-e^{rt}).}$

Para ajustar esta solución a los puntos de inicio y finalización particulares de la función de hipoteca, necesitamos introducir un cambio de tiempo de T años ( T = período de préstamo) para garantizar que la función llegue a cero al final del período de préstamo:

${\displaystyle {\begin{aligned}&P(t)={\frac {M_{a}}{r}}(1-e^{r(t-T)})\\[8pt]&P_{0}={\frac {M_{a}}{r}}(1-e^{-rT})\Rightarrow {\frac {M_{a}}{r}}={\frac {P_{0}}{1-e^{-rT}}}\\[8pt]\Rightarrow &P(t)={\frac {P_{0}(1-e^{-r(T-t)})}{1-e^{-rT}}}\end{aligned}}}$

Tenga en cuenta que tanto la solución original como la versión "diferida en el tiempo" satisfacen la ecuación diferencial original de la que se derivan ambas.

Similar a la expresión derivada anteriormente para P _n en la ecuación en diferencias, la expresión para P ( t ) puede escribirse en la siguiente forma algebraicamente equivalente:

${\displaystyle P(t)=P_{0}e^{rt}-{\frac {M_{a}}{r}}(e^{rt}-1)}$

Cálculo de intereses acumulados y pagos de principal

Reordenando la ecuación diferencial original obtenemos:

${\displaystyle M_{a}=rP(t)-{\frac {dP(t)}{dt}}}$

La integración de ambos lados de la ecuación produce:

${\displaystyle M_{a}.t=\int _{0}^{t}rP(t)\,dt\,-\int _{0}^{t}{\frac {dP(t)}{dt}}\,dt\,}$

La primera integral en el lado derecho determina los pagos de intereses acumulados desde el momento del inicio hasta el momento t, mientras que la segunda determina los pagos de principal acumulados durante el mismo período. La suma de estos pagos de interés y principal debe ser igual a los pagos fijos acumulados en el momento t, es decir, M _a t . Evaluando la primera integral de la derecha obtenemos una expresión para I ( t ), el interés pagado:

${\displaystyle I(t)=M_{a}t-{\frac {M_{a}(e^{rt}-1)}{re^{rT}}}}$

Como era de esperar, la segunda integral se evalúa como P ₀  -  P ( t ) y, por lo tanto:

${\displaystyle I(t)=M_{a}t-P_{0}+P(t)\,}$

El lector puede verificar fácilmente que esta expresión es algebraicamente idéntica a la anterior.

Factor de costo del préstamo

El costo de un préstamo es simplemente la tasa anual multiplicada por el período del préstamo:

${\displaystyle C=M_{a}T={\frac {P_{0}rT}{1-e^{-rT}}}}$

Sea s  =  rT . Entonces podemos definir el factor de costo del préstamo C ( s ) de manera que C = P ₀ C (s), es decir: C ( s ) es el costo por unidad de moneda prestada.

${\displaystyle C(s)={\frac {rT}{1-e^{-rT}}}={\frac {s}{1-e^{-s}}}}$

La función C ( s ) se caracteriza por tener un valor límite de 1 cuando s es cercano a cero ya que para valores pequeños de s , exp (- s ) ≈ 1 -  sy el denominador se simplifica  as . Además, cuando s es muy grande, exp (- s ) es pequeño, por lo que C ( s ) ≈  sy, por lo tanto, el costo del préstamo C  ≈  P ₀ rT ( rT  >> 0).

A modo de ejemplo, considere un préstamo de 1000000 al 10% reembolsado en 20 años. Entonces s  = 0.1 × 20 = 2.

${\displaystyle C=1000000\times {\frac {2}{1-e^{-2}}}\approx 2.313\times 10^{6}}$

El producto rT es un parámetro de fácil obtención pero importante para determinar el costo del préstamo de acuerdo con la ecuación C = P ₀ xC (s). Esto se ilustra mejor trazando la función del factor de costo para los valores de s en el dominio [0; 5]. El comportamiento lineal de la función para valores más altos de s es claro.

Factor de costo de interés simple equivalente

Para un préstamo a plazo fijo de t años, podemos comparar el factor de costo del préstamo anterior con un factor de costo de interés simple equivalente 1 + s _e donde s _e = r _e t y r _e es la tasa de interés simple equivalente:

${\displaystyle {\frac {s}{1-e^{-s}}}=1+s_{e}}$

Es sencillo determinar s _e en términos de s. Dividir por el período de tiempo del préstamo t dará la tasa de interés simple equivalente. Más desafiante es la determinación inversa de s dado s _e .

En su libro Solución de problemas con True Basic , ^{[13] el} Dr. BD Hahn tiene una sección corta sobre ciertos esquemas de 'compra a plazos' en los que el interés se calcula por adelantado en una suma global, que se agrega al monto del capital, siendo la suma igualmente dividido durante el período de amortización. Sin embargo, el comprador suele tener la impresión de que el interés se calcula sobre un saldo decreciente.

El ejemplo anterior está adaptado del que se da en el libro del Dr. Hahn en el que emplea el algoritmo de Newton-Raphson para resolver el mismo problema, aunque para un préstamo de pago a intervalos discretos (es decir, mensual) durante el mismo período de tiempo (3 años). Al igual que con muchos ejemplos similares, el problema del intervalo discreto y su solución se aproximan mucho mediante cálculos basados ​​en el modelo de reembolso continuo: la solución del Dr. Hahn para la tasa de interés es del 40,8% en comparación con el 41,6% calculado anteriormente.

Periodo de un préstamo

Si un prestatario puede pagar una tasa de reembolso anual M _a , entonces podemos reorganizar la fórmula para calcular M _a para obtener una expresión para el período de tiempo T de un préstamo dado P ₀ :

${\displaystyle {\begin{aligned}&M_{a}={\frac {P_{0}r}{1-e^{-rT}}}\\[8pt]\Rightarrow &T={\frac {1}{r}}\ln {\frac {M_{a}}{M_{a}-P_{0}r}}=-{\frac {1}{r}}\ln \left(1-{\frac {P_{0}r}{M_{a}}}\right)\end{aligned}}}$

Ratio de pago mínimo

La proporción de pago mínimo de un préstamo es la proporción entre la tasa de pago mínima posible y la tasa de pago real. La tasa de pago mínima posible es la que solo cubre el interés del préstamo; en teoría, un prestatario pagaría esta cantidad para siempre porque nunca hay una disminución en el capital del préstamo. Usaremos la letra k para denotar la proporción de pago mínima:

${\displaystyle k={\frac {M_{\min }}{M_{a}}}={\frac {P_{0}r}{M_{a}}}}$

Ahora podemos considerar una pequeña reordenación de la ecuación para el período de préstamo  T :

${\displaystyle T=-{\frac {1}{r}}\ln \left(1-{\frac {P_{0}r}{M_{a}}}\right)}$

${\displaystyle rT=s(k)=-\ln(1-k)\;}$

Graficar s ( k ) contra k da una demostración muy gráfica de por qué es una buena idea mantener el valor de k muy por debajo de la asíntota en k  = 1, ya que en las proximidades de la misma, s ( k ) aumenta bruscamente y, por lo tanto, también lo hace el costo del préstamo. que es a su vez una función creciente del parámetro s ( producto rT ).

"Vida media" de un préstamo

Un parámetro útil del modelo hipotecario es la "vida media" del préstamo, que es el tiempo que tarda el saldo del préstamo en alcanzar la mitad de su valor original. Para determinar la "vida media" podemos escribir:

${\displaystyle {\frac {P(t)}{P_{0}}}={\frac {1}{2}}={\frac {1-e^{-r(T-t)}}{1-e^{-rT}}}}$

Resolviendo para t obtenemos:

${\displaystyle t_{\frac {1}{2}}={\frac {1}{r}}\ln \left({\frac {1+e^{rT}}{2}}\right)}$ ^[14]

Por ejemplo, aplicando la fórmula a algunos datos de prueba (préstamo de 1 millón al 10% durante 20 años) obtenemos la vida media de 14,34 años. Si en la práctica el préstamo se reembolsa mediante cuotas mensuales, la parte decimal se puede convertir a meses y redondear, por lo que esta respuesta equivaldría a 172 meses.

Cálculo de tasa de interés

En el modelo de intervalo de tiempo discreto, el cálculo de una tasa de interés basada en hipotecas dados los parámetros restantes no ha sido posible utilizando métodos analíticos. Implementaciones como la función "tasa" de Excel emplean un método numérico de "prueba y mejora" para determinar la tasa de interés. A primera vista, este también parecería ser el caso del modelo de reembolso continuo. Dado:

${\displaystyle P_{0}={\frac {M_{a}}{r}}(1-e^{-rT})}$

podemos escribir:

${\displaystyle rP_{0}=M_{a}(1-e^{-rT})\,}$

${\displaystyle \Rightarrow rP_{0}-M_{a}+M_{a}e^{-rT}=0}$

Figura 1

Para visualizar lo anterior como una función de r (para lo cual deseamos determinar ceros), será útil seleccionar valores numéricos de P ₀ , M _a y T como 10000, 6000 y 3 respectivamente y graficar como se muestra a la derecha. . La función tiene un valor mínimo que se puede determinar por diferenciación:

${\displaystyle f'(r)=0\,}$

${\displaystyle \Rightarrow P_{0}-M_{a}Te^{-rT}=0}$

${\displaystyle \Rightarrow r={\frac {1}{T}}\ln {\frac {M_{a}T}{P_{0}}}}$

Dado que la función es aproximadamente parabólica entre las raíces en r  = 0 y el valor buscado, podemos estimar la raíz requerida como:

${\displaystyle r\approx {\frac {2}{T}}\ln {\frac {M_{a}T}{P_{0}}}}$

Utilizando esto como punto de partida, se pueden determinar valores cada vez más precisos para la raíz mediante iteraciones repetidas del algoritmo de Newton-Raphson : ^[15]

${\displaystyle r_{1}=r_{0}-{\frac {f(r_{0})}{f'(r_{0})}}.\,\!}$

Algunos experimentos con Wolfram Alpha revelan que se puede obtener una solución analítica exacta que emplee la función Lambert-W o "registro del producto". Configurando s = M _a T / P ₀ obtenemos:

${\displaystyle r={\frac {1}{T}}\left(W(-se^{-s})+s\right)}$

En la región de interés, W (- se ^{- s} ) es una función bivaluada. El primer valor es simplemente - s que produce la solución trivial r  = 0. El segundo valor evaluado dentro del contexto de la fórmula anterior proporcionará la tasa de interés requerida.

La siguiente tabla muestra el cálculo de una estimación inicial de la tasa de interés seguida de algunas iteraciones del algoritmo de Newton-Raphson. Existe una rápida convergencia hacia una solución con una precisión de varios decimales, como se puede corroborar con la solución analítica utilizando la función Lambert W o "productlog" en Wolfram Alpha.

Préstamo ( P )	Periodo ( T )	Tasa de pago anual ( Ma )	Estimación inicial: 2 ln ( MaT / P ) / T
10000	3	6000	39,185778%

Iteraciones de Newton-Raphson

norte	r ( n )	f [ r ( n )]	f '[ r ( n )]
0	39,185778%	−229,57	4444.44
1	44,351111%	21.13	5241.95
2	43,948044%	0,12	5184.06
3	43,945798%	0	5183.74

Fórmulas de valor presente y valor futuro

De acuerdo con la fórmula estándar para el valor presente de una serie de pagos mensuales fijos, ya hemos establecido un análogo continuo en el tiempo:

${\displaystyle P_{v}(t)={\frac {M_{a}}{r}}(1-e^{-rt}).}$

De manera similar, se puede determinar una fórmula de valor futuro:

${\displaystyle F_{v}(t)={\frac {M_{a}}{r}}(e^{rt}-1).}$ ^[dieciséis]

En este caso, la tasa anual M _a se determina a partir de un ahorro específico (futuro) o un fondo de amortización objetivo P _{T de la} siguiente manera.

${\displaystyle M_{a}=\lim _{N\to \infty }N\cdot x(N)=\lim _{N\to \infty }{\frac {P_{T}\cdot r}{(1+{\frac {r}{N}})^{NT}-1}}={\frac {P_{T}\cdot r}{e^{rT}-1}}.}$ ^[17]

Se observará que, como era de esperar:

${\displaystyle F_{v}(t)=P_{v}(t)\times e^{rt}.\,}$

Otra forma de calcular el saldo adeudado P ( t ) en un préstamo de reembolso continuo es restar el valor futuro (en el momento  t ) del flujo de pago del valor futuro del préstamo (también en el momento  t ):

${\displaystyle P(t)=P_{0}e^{rt}-{\frac {M_{a}}{r}}(e^{rt}-1).}$ ^[18]

Ejemplo

El siguiente ejemplo de un libro de texto escolar ^[19] ilustrará la diferencia conceptual entre una anualidad de ahorro basada en intervalos de tiempo discretos (por mes en este caso) y una basada en el pago continuo empleando la fórmula de valor futuro anterior:

En su 30 cumpleaños, un inversor decide que quiere acumular R500000 antes de su 40 cumpleaños. A partir de un mes, decide hacer pagos mensuales iguales en una cuenta que paga un interés del 12% anual compuesto mensualmente. ¿Qué pagos mensuales tendrá que hacer?

En aras de la brevedad, resolveremos el problema del "intervalo discreto" utilizando la función PMT de Excel:

${\displaystyle x(12)=PMT(1\%,120,500000)=2173.55}$

La cantidad pagada anualmente sería por tanto de 26082,57.

Para una anualidad de ahorro de pago continuo teórico, solo podemos calcular una tasa de pago anual :

${\displaystyle M_{a}={\frac {500000\times 12\%}{e^{0.12\cdot 10}-1}}=25860.77}$

En este punto existe la tentación de simplemente dividir por 12 para obtener un pago mensual. Sin embargo, esto contradiría el supuesto principal en el que se basa el modelo de "pago continuo": a saber, que la tasa de pago anual se define como:

${\displaystyle M_{a}=\lim _{N\to \infty }N\cdot x(N)\,}$

Dado que, por supuesto, es imposible para un inversor realizar un pago infinitamente pequeño infinitas veces al año, un banco u otra institución crediticia que desee ofrecer anualidades o hipotecas de "pago continuo" tendría que elegir en la práctica un valor grande pero finito de N ( frecuencia anual de pagos) de modo que la fórmula de tiempo continuo siempre sea correcta dentro de un margen de error mínimo preestablecido. Por ejemplo, los pagos fijos por hora (calculados usando la fórmula convencional) en este ejemplo se acumularían a un pago anual de 25861.07 y el error sería <0.02%. Si el margen de error es aceptable, la tasa de pago por hora se puede determinar más simplemente dividiendo M _apor 365 × 24. La institución crediticia (hipotética) tendría que asegurarse de que sus recursos computacionales sean suficientes para implementar (cuando sea necesario) deducciones por hora de las cuentas de los clientes. En resumen, el "flujo" de efectivo para las anualidades de pago continuo debe entenderse en el sentido muy literal de la palabra.

"El dinero pagado a un fondo en el mundo financiero se paga en puntos discretos, generalmente igualmente espaciados, en el tiempo calendario. En el proceso continuo, el pago se realiza de forma continua, como se puede verter líquido de un contenedor a otro, donde la tasa de pago es la cantidad fundamental ". ^[20]

La siguiente tabla muestra cómo a medida que aumenta N (frecuencia de capitalización anual), el pago anual se acerca al valor límite de M _a , la tasa de pago anual . La diferencia (error) entre el pago anual y el valor límite se calcula y se expresa como un porcentaje del valor límite.

Período de capitalización	Frecuencia (N)	Tasa de interés por período	Pago por período x (N)	Pago anual	% Error
Semestral	2	6,000000%	13.592,28	27.184,56	5.118918%
Trimestral	4	3.000000%	6.631,19	26.524,76	2,567558%
Mensual	12	1,000000%	2.173,55	26.082,57	0,857683%
A diario	365	0.032877%	70,87	25.868,07	0.028227%
Cada hora	8760	0,001370%	2,95	25.861,07	0,001176%

^{[21] [22]}

De lo anterior resultará evidente que el concepto de hipoteca de "reembolso continuo" es una construcción un tanto teórica. Si tiene valor práctico o no es una cuestión que los economistas y actuarios deberían considerar cuidadosamente. En particular, el significado de una tasa de reembolso anual debe entenderse claramente como se ilustra en el ejemplo anterior.

Sin embargo, el modelo de "pago continuo" proporciona algunas percepciones significativas sobre el comportamiento de la función de saldo hipotecario discreto, en particular que se rige en gran medida por una constante de tiempo igual al recíproco de r la tasa de interés nominal anual. Y si una hipoteca se pagara mediante montos diarios fijos, los cálculos del saldo adeudado efectuados utilizando el modelo serían, en general, precisos con una pequeña fracción de un porcentaje. Finalmente, el modelo demuestra que es una modesta ventaja para el titular de la hipoteca aumentar la frecuencia de pago donde sea posible.

Resumen de fórmulas y calculadoras en línea

Tasa de pago anual (préstamo hipotecario):       ${\displaystyle M_{a}=\lim _{N\to \infty }N\cdot x(N)={\frac {P_{0}\cdot r}{1-e^{-rT}}}}$

Tasa de pago anual (fondo de amortización):       ${\displaystyle M_{a}=\lim _{N\to \infty }N\cdot x(N)={\frac {P_{T}\cdot r}{e^{rT}-1}}}$

Valor futuro:       ${\displaystyle F_{v}(t)={\frac {M_{a}}{r}}(e^{rt}-1)}$

Valor presente:       ${\displaystyle P_{v}(t)={\frac {M_{a}}{r}}(1-e^{-rt})}$

Balance de prestamo:       ${\displaystyle P(t)={\frac {M_{a}}{r}}(1-e^{-r(T-t)})}$

Periodo de préstamo:              ${\displaystyle T=-{\frac {1}{r}}\ln \left(1-{\frac {P_{0}r}{M_{a}}}\right)}$

Vida media del préstamo:       ${\displaystyle t_{\frac {1}{2}}={\frac {1}{r}}\ln \left({\frac {1+e^{rT}}{2}}\right)}$

Tasa de interés:           ${\displaystyle r\approx {\frac {2}{T}}\ln {\frac {M_{a}T}{P_{0}}}}$              ${\displaystyle r={\frac {1}{T}}\left(W(-se^{-s})+s\right){\text{ with }}s={\frac {M_{a}t}{P_{0}}}}$

Calculadora de hipotecas universal . Dadas tres de las cuatro variables, esto calcula el cuarto valor (desconocido).

Gráfico de hipotecas . Esto ilustra la curva característica del saldo hipotecario frente al tiempo durante un período de tiempo de préstamo determinado. También se puede especificar el monto del préstamo y la tasa de interés del préstamo ( p / a ). Un préstamo a intervalos discretos tendrá una característica muy similar.

Notas

1. James, Robert C; James, Glen (1992). Diccionario de matemáticas . Chapman y Hall.- Entrada en anualidad continua
2. Diccionario de matemáticas p.86
3. Estrictamente hablando, la capitalización ocurre momentáneamente antes de que se deduzca el pago, de modo que el interés se calcula sobre el saldo como estaba antes de la deducción del pago del período.
4. Beckwith p. 116: "Técnicamente hablando, la ecuación subyacente se conoce como una ecuación diferencial escalar ordinaria, lineal, de primer orden, no homogénea, con una condición de frontera".
5. Beckwith p.115
6. Munem y Foulis p.273
7. Beckwith: Ecuación (29) p. 123.
8. Ver también: Sabiduría, John C; Hasselback, James R. (2008). Guía de contabilidad maestra de EE. UU . 2008 . CCH Inc 2008.PD. 470–471
9. Beckwith: Ecuación (31) p. 124.
10. Beckwith: Ecuación (25) p. 123
11. Hackman: Ecuación (2) p.1
12. Donde se mantiene la igualdad, la hipoteca se vuelve perpetua .
13. Hahn p. 247
14. Beckwith: Ecuación (23) p. 122. Beckwith usa esta fórmula en relación con un fondo de amortización, pero señala (p.124) que la fórmula es idéntica para un proceso de amortización.
15. Beckwith: (p.125): "En la determinación de las tasas de interés para programas de pagos continuos dados, con frecuencia es necesario determinar las raíces de las funciones trascendentales". . Beckwith detalla dos métodos: sustitución sucesiva y Newton-Raphson. (Sal. 126-127).
16. Véase también: King, George (1898). La teoría de las finanzas. Siendo un tratado breve sobre la doctrina del interés y las anualidades, ciertas . Londres: Charles y Edwin Layton. Reimpreso en marzo de 2010 Nabu Press. ISBN 1-146-31870-7.pag. 22. Los libros de texto actuariales más antiguos se refieren a "interés convertible momentáneamente" y "pagos momentáneos" cuando se habla de anualidades continuas.
17. Beckwith: Ecuación (19) p. 121.
18. Beckwith: Ecuación (27) p. 123.
19. Glencross p. 67
20. Beckwith p. 114.
21. Se pueden encontrar más ejemplos resueltos y problemas con soluciones en las notas del curso del profesor Hackman. Consulte la sección de referencia.
22. Beckwith (páginas 128-129) proporciona ejemplos más complejos que involucran el cálculo de la tasa de interés. El lector interesado puede verificar los cálculos ingresando las ecuaciones trascendentales resultantes en Wolfram Alpha. Nota: a la línea de trabajo antes de la ecuación (38) en el artículo de Beckwith le faltan un par de corchetes

Referencias

• Beckwith, RE (junio de 1968). "Procesos Financieros Continuos". La revista de análisis financiero y cuantitativo . 3 (2): 113-133. JSTOR  2329786 .
• Instituto de Tecnología de Georgia; Hackman, Steve. "Ingeniería financiera: notas del curso ISyE 4803A" (PDF) . Instituto de Tecnología de Georgia . Consultado el 27 de abril de 2009 .^{[ enlace muerto permanente ]}
• Glencross, MJ (2007). Matemáticas: Grado 12 OBE . Editores de enseñanza eficaz, Ciudad del Cabo, RSA. ISBN 978-1-920116-36-1.
• Munem, MA; Foulis DJ (1986). Álgebra y trigonometría con aplicaciones . Worth Publishers, Estados Unidos. ISBN 0-87901-281-1.
• Hahn, Brian D. (1989). Resolución de problemas con True Basic . Juta & Company Limited, Ciudad del Cabo, Sudáfrica. ISBN 0-7021-2282-3.

Bibliografía

• Kreyszig, Erwin, Matemáticas de ingeniería avanzada (1998, Wiley Publishers, EE. UU.), ISBN 0-471-15496-2 .