Mapeo de contracción
En matemáticas , una aplicación de contracción , o contracción o contratista , en un espacio métrico ( M , d ) es una función f de M a sí mismo, con la propiedad de que existe algún número real no negativo tal que para todo x e y en M ,
El valor más pequeño de k se denomina constante de Lipschitz de f . Los mapas contractivos a veces se denominan mapas de Lipschitzian . Si la condición anterior se cumple para k ≤ 1, entonces se dice que el mapeo es un mapa no expansivo .
De manera más general, la idea de un mapeo contractivo se puede definir para mapas entre espacios métricos. Así, si ( M , d ) y ( N , d' ) son dos espacios métricos, entonces es una función contractiva si existe una constante tal que
Cada mapeo de contracción es continuo de Lipschitz y, por lo tanto, uniformemente continuo (para una función continua de Lipschitz, la constante k ya no es necesariamente menor que 1).
Un mapeo de contracción tiene como máximo un punto fijo . Además, el teorema del punto fijo de Banach establece que cada aplicación de contracción en un espacio métrico completo no vacío tiene un punto fijo único, y que para cualquier x en M la secuencia de función iterada x , f ( x ), f ( f ( x )), f ( f ( f ( x ))), ... converge al punto fijo. Este concepto es muy útil para sistemas de funciones iteradas.donde los mapeos de contracción se usan a menudo. El teorema del punto fijo de Banach también se aplica para probar la existencia de soluciones de ecuaciones diferenciales ordinarias y se usa en una prueba del teorema de la función inversa . [1]
Un mapeo no expansivo con puede fortalecerse a un mapeo firmemente no expansivo en un espacio de Hilbert si se cumple lo siguiente para todo x e y en :
