En la teoría de control , una función de control-Lyapunov (cLf) [1] [2] [3] [4] es una extensión de la idea de la función de Lyapunov a sistemas con entradas de control. La función ordinaria de Lyapunov se utiliza para probar si un sistema dinámico es estable (más restrictivamente, asintóticamente estable ). Es decir, si el sistema que comienza en un estadoen algún dominio D permanecerá en D , o para la estabilidad asintótica eventualmente volverá a. La función control-Lyapunov se utiliza para probar si un sistema es asintóticamente estabilizable , es decir, si para cualquier estado x existe un controlde modo que el sistema pueda llevarse al estado cero de forma asintótica aplicando el control u .
Más formalmente, suponga que se nos da un sistema dinámico autónomo con entradas
dónde es el vector de estado y es el vector de control, y queremos conducir los estados a un equilibrio, permítanos , de cada estado inicial en algún dominio .
Esta noción fue introducida por ED Sontag en [5], quien demostró que la existencia de un cLf continuo es equivalente a la estabilización asintótica. Más tarde se demostró que todo sistema controlable asintóticamente puede estabilizarse mediante una retroalimentación (generalmente discontinua). [6] También se puede preguntar cuándo hay un estabilizador de retroalimentación continua. Para los sistemas afines a los controles y cLf diferenciables, la definición se traduce de la siguiente manera:
Definición. Una función de control-Lyapunov es una función que es continuamente diferenciable, positivo-definido (es decir es positivo excepto en donde es cero), y tal que
La última condición es la condición clave; en las palabras que dice que para cada estado x podemos encontrar un control u que reducirá la "energía" V . Intuitivamente, si en cada estado siempre podemos encontrar una manera de reducir la energía, eventualmente deberíamos poder llevar la energía asintóticamente a cero, es decir, detener el sistema. Esto se hace riguroso por el teorema de Artstein , que se repite aquí:
Teorema de Artstein. El sistema dinámico tiene una función de control-Lyapunov diferenciable si y solo si existe una retroalimentación estabilizadora regular u ( x ).
Puede que no sea fácil encontrar una función de control-Lyapunov para un sistema dado, pero si podemos encontrar una gracias a un poco de ingenio y suerte, entonces el problema de estabilización de la retroalimentación se simplifica considerablemente. La fórmula universal de Sontag escribe la ley de retroalimentación directamente en términos de las derivadas de cLf. [7] [8] Una alternativa es resolver un problema de programación no lineal estático
para cada estado x .
La teoría y la aplicación de las funciones de control-Lyapunov fueron desarrolladas por Z. Artstein y ED Sontag en las décadas de 1980 y 1990.
Ejemplo
A continuación se muestra un ejemplo característico de la aplicación de una función candidata de Lyapunov a un problema de control.
Considere el sistema no lineal, que es un sistema masa-resorte-amortiguador con endurecimiento del resorte y masa dependiente de la posición descrita por
Ahora dado el estado deseado, , y el estado actual, , con error, , define una función como
Un candidato de Control-Lyapunov es entonces
que es positivo definido para todos , .
Ahora tomando la derivada de tiempo de
El objetivo es conseguir que la derivada del tiempo sea
que es globalmente exponencialmente estable si es globalmente positivo definido (que lo es).
Por lo tanto, queremos el paréntesis más a la derecha de ,
para cumplir con el requisito
que al sustituir la dinámica, , da
Resolviendo para produce la ley de control
con y , ambos mayores que cero, como parámetros ajustables
Esta ley de control garantizará la estabilidad exponencial global, ya que al sustituirla en la derivada del tiempo los rendimientos, como se esperaba
que es una ecuación diferencial lineal de primer orden que tiene solución
Y de ahí el error y la tasa de error, recordando que , decaen exponencialmente a cero.
Si desea sintonizar una respuesta particular a partir de esto, es necesario volver a sustituirla en la solución que obtuvimos para y resolver para . Esto se deja como un ejercicio para el lector, pero los primeros pasos para la solución son:
que luego se puede resolver utilizando cualquier método de ecuación diferencial lineal.
Notas
- ^ Isidori
- ↑ Freeman (46)
- ^ Khalil
- ^ Sontag
- ^ Sontag, ED (1983). "Una caracterización similar a Lyapunov de controlabilidad asintótica". SIAM J. Control Optim . 21 (3): 462–471.
- ^ Clarke, FH; Ledyaev, YS; Sontag, ED; Subbotin, AI (1997). "La controlabilidad asintótica implica estabilización por retroalimentación". IEEE Trans. Aparato mecánico. Control . 42 (10): 1394–1407.
- ^ Isidori
- ^ Khalil
Referencias
- Isidori, A. (1995). Sistemas de control no lineal . Saltador. ISBN 978-3-540-19916-8.
- Freeman, Randy A .; Petar V. Kokotović (2008). Diseño robusto de control no lineal (ilustrado, reimpresión ed.). Birkhäuser. pag. 257. ISBN 0-8176-4758-9. Consultado el 4 de marzo de 2009 .
- Khalil, Hassan (2015). Control no lineal . Pearson. ISBN 9780133499261.
- Sontag, Eduardo (1998). Teoría del control matemático: sistemas deterministas de dimensión finita. Segunda edición (PDF) . Saltador. ISBN 978-0-387-98489-6.