En la teoría de las ecuaciones diferenciales ordinarias (EDO), las funciones de Lyapunov son funciones escalares que pueden usarse para probar la estabilidad del equilibrio de una EDO. Nombrado en honor al matemático ruso Aleksandr Mikhailovich Lyapunov , las funciones de Lyapunov (también llamadas el segundo método de Lyapunov para la estabilidad) son importantes para la teoría de estabilidad de los sistemas dinámicos y la teoría de control . Un concepto similar aparece en la teoría de las cadenas de Markov del espacio de estado general , generalmente bajo el nombre de funciones de Foster-Lyapunov.
Para ciertas clases de EDO, la existencia de funciones de Lyapunov es una condición necesaria y suficiente para la estabilidad. Si bien no existe una técnica general para construir funciones de Lyapunov para EDO, en muchos casos específicos se conoce la construcción de funciones de Lyapunov. Por ejemplo, las funciones cuadráticas son suficientes para sistemas con un estado; la solución de una desigualdad de matriz lineal particular proporciona funciones de Lyapunov para sistemas lineales; y las leyes de conservación a menudo se pueden utilizar para construir funciones de Lyapunov para sistemas físicos .
Definición
Una función de Lyapunov para un sistema dinámico autónomo
con un punto de equilibrio en es una función escalar que es continua, tiene primeras derivadas continuas, es estrictamente positiva y para la cual también es estrictamente positivo. La condición que es estrictamente positivo a veces se declara como es localmente positivo definido , oes localmente negativo definido .
Discusión adicional de los términos que surgen en la definición
Las funciones de Lyapunov surgen en el estudio de los puntos de equilibrio de los sistemas dinámicos. Enun sistema dinámico autónomo arbitrario se puede escribir como
para algunos suaves
Un punto de equilibrio es un punto tal que Dado un punto de equilibrio, siempre existe una transformación de coordenadas tal que:
Por lo tanto, al estudiar los puntos de equilibrio, es suficiente asumir que el punto de equilibrio ocurre en .
Por la regla de la cadena, para cualquier función, la derivada en el tiempo de la función evaluada a lo largo de una solución del sistema dinámico es
Una función se define como una función definida localmente positiva (en el sentido de sistemas dinámicos) si ambos y hay un barrio del origen, , tal que:
Teoremas básicos de Lyapunov para sistemas autónomos
Dejar ser un equilibrio del sistema autónomo
y usa la notación para denotar la derivada en el tiempo de la función candidata de Lyapunov :
Equilibrio localmente asintóticamente estable
Si el equilibrio está aislado, la función candidata de Lyapunov es definida localmente positiva y la derivada temporal de la función candidata de Lyapunov es definida localmente negativa:
para algún barrio de origen, se demuestra que el equilibrio es localmente asintóticamente estable.
Equilibrio estable
Si es una función de Lyapunov, entonces el equilibrio es estable de Lyapunov . Lo inverso también es cierto, y lo demostró JL Massera .
Equilibrio globalmente asintóticamente estable
Si la función de candidato de Lyapunov es globalmente positivo definido, radialmente ilimitado , el equilibrio aislado y la derivada en el tiempo de la función candidata de Lyapunov es globalmente negativo definido:
entonces se demuestra que el equilibrio es globalmente asintóticamente estable .
La función de candidato de Lyapunov es radialmente ilimitado si
(Esto también se conoce como norma-coercitividad).
Ejemplo
Considere la siguiente ecuación diferencial con solución en :
Teniendo en cuenta que es siempre positivo en torno al origen es un candidato natural para ser una función de Lyapunov que nos ayude a estudiar . Entonces deja en . Luego,
Esto muestra correctamente que la ecuación diferencial anterior, es asintóticamente estable con respecto al origen. Tenga en cuenta que utilizando el mismo candidato de Lyapunov se puede demostrar que el equilibrio también es globalmente asintóticamente estable.
Ver también
Referencias
- Weisstein, Eric W. "Función de Lyapunov" . MathWorld .
- Khalil, HK (1996). Sistemas no lineales . Prentice Hall Upper Saddle River, Nueva Jersey.
- La Salle, Joseph; Lefschetz, Solomon (1961). Estabilidad por el método directo de Liapunov: con aplicaciones . Nueva York: Academic Press.
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enlaces externos
- Ejemplo de determinación de la estabilidad de la solución de equilibrio de un sistema de EDO con función de Lyapunov