El método de control de variaciones es una técnica de reducción de la varianza utilizada en los métodos de Monte Carlo . Aprovecha la información sobre los errores en las estimaciones de cantidades conocidas para reducir el error de una estimación de una cantidad desconocida. [1] [2] [3]
Principio subyacente
Sea el parámetro desconocido de interésy supongamos que tenemos una estadística tal que el valor esperado de m es μ:, es decir, m es un estimador insesgado de μ. Supongamos que calculamos otra estadística tal que es un valor conocido. Luego
es también un estimador insesgado para para cualquier elección del coeficiente . La varianza del estimador resultante es
Se puede demostrar que elegir el coeficiente óptimo
minimiza la varianza de , y que con esta elección,
dónde
es el coeficiente de correlación de y . Cuanto mayor sea el valor de, mayor será la reducción de la varianza lograda.
En el caso de que , y / o son desconocidos, se pueden estimar a través de las réplicas de Monte Carlo. Esto equivale a resolver un determinado sistema de mínimos cuadrados ; por lo tanto, esta técnica también se conoce como muestreo de regresión .
Cuando la expectativa de la variable de control, , no se conoce analíticamente, todavía es posible aumentar la precisión en la estimación (para un presupuesto de simulación fijo dado), siempre que se cumplan las dos condiciones: 1) evaluar es significativamente más barato que la informática ; 2) la magnitud del coeficiente de correlaciónestá cerca de la unidad. [3]
Ejemplo
Nos gustaría estimar
utilizando la integración de Monte Carlo . Esta integral es el valor esperado de, dónde
y U sigue una distribución uniforme [0, 1]. Usando una muestra de tamaño n, denote los puntos en la muestra como. Entonces la estimación viene dada por
Ahora te presentamos como una variable de control con un valor esperado conocido y combine los dos en una nueva estimación
Utilizando realizaciones y un coeficiente óptimo estimado Obtenemos los siguientes resultados
Estimar | Diferencia | |
Estimación clásica | 0,69475 | 0.01947 |
Variables de control | 0,69295 | 0,00060 |
La varianza se redujo significativamente después de usar la técnica de control de variables. (El resultado exacto es.)
Ver también
Notas
- ↑ Lemieux, C. (2017). "Variables de control". Wiley StatsRef: Estadísticas de referencia en línea : 1--8. doi : 10.1002 / 9781118445112.stat07947 .
- ^ Glasserman, P. (2004). Métodos de Monte Carlo en Ingeniería Financiera . Nueva York: Springer. ISBN 0-387-00451-3 (pág. 185)
- ^ a b Botev, Z .; Ridder, A. (2017). "Reducción de la varianza". Wiley StatsRef: Estadísticas de referencia en línea : 1--6. doi : 10.1002 / 9781118445112.stat07975 .
Referencias
- Ross, Sheldon M. (2002) Simulación 3a edición ISBN 978-0-12-598053-1
- Averill M. Law y W. David Kelton (2000), Modelado y análisis de simulación , 3ª edición. ISBN 0-07-116537-1
- SP Meyn (2007) Técnicas de control para redes complejas , Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-88441-9 . Borrador descargable (Sección 11.4: Variables de control y funciones de sombra)