En matemáticas , más específicamente en la teoría de los métodos de Monte Carlo , la reducción de la varianza es un procedimiento que se utiliza para aumentar la precisión de las estimaciones que se pueden obtener para una simulación o esfuerzo computacional dado. [1] Cada variable aleatoria de salida de la simulación está asociada con una varianza que limita la precisión de los resultados de la simulación. Para hacer una simulación estadísticamente eficiente, es decir, para obtener una mayor precisión y menores intervalos de confianza para la variable aleatoria de interés de salida, se pueden utilizar técnicas de reducción de la varianza. Los principales son números aleatorios comunes, variantes antitéticas , variantes de control., Muestreo de importancia , el muestreo estratificado , momento coincidente , condicionada Monte Carlo y variables aleatorias cuasi . Para la simulación con modelos de caja negra, también se puede utilizar la simulación de subconjuntos y el muestreo de líneas . Bajo estos títulos hay una variedad de técnicas especializadas; por ejemplo, las simulaciones de transporte de partículas hacen un uso extensivo de las técnicas de "ventanas de peso" y "división / ruleta rusa", que son una forma de muestreo de importancia.
Simulación de Monte Carlo crudo
Supongamos que uno quiere calcular con la variable aleatoria definido en el espacio de probabilidad . Monte Carlo hace esto muestreando iid . copias de y luego estimar a través del estimador de media muestral
Bajo otras condiciones suaves como , se aplicará un teorema del límite central tal que para grandes, la distribución de converge a una distribución normal con media y error estándar . Debido a que la desviación estándar solo converge hacia a la tasa , lo que implica que uno necesita aumentar el número de simulaciones () por un factor de para reducir a la mitad la desviación estándar de , los métodos de reducción de la varianza a menudo son útiles para obtener estimaciones más precisas para sin necesidad de un gran número de simulaciones.
Números aleatorios comunes (CRN)
La técnica común de reducción de varianza de números aleatorios es una técnica de reducción de varianza popular y útil que se aplica cuando comparamos dos o más configuraciones alternativas (de un sistema) en lugar de investigar una sola configuración. CRN también se ha denominado muestreo correlacionado , flujos emparejados o pares emparejados .
CRN requiere la sincronización de los flujos de números aleatorios, lo que garantiza que, además de usar los mismos números aleatorios para simular todas las configuraciones, un número aleatorio específico usado para un propósito específico en una configuración se use exactamente para el mismo propósito en todas las demás configuraciones. Por ejemplo, en la teoría de las colas, si estamos comparando dos configuraciones diferentes de cajeros en un banco, querríamos que la hora (aleatoria) de llegada del N- ésimo cliente se generara utilizando el mismo sorteo de un flujo de números aleatorios para ambos. configuraciones.
Principio subyacente de la técnica CRN
Suponer y son las observaciones de la primera y segunda configuraciones en la j- ésima replicación independiente.
Queremos estimar
Si realizamos n repeticiones de cada configuración y dejamos
luego y es un estimador insesgado de .
Y dado que el son variables aleatorias independientes distribuidas de forma idéntica,
En caso de muestreo independiente, es decir, no se utilizan números aleatorios comunes, entonces Cov ( X 1 j , X 2 j ) = 0. Pero si logramos inducir un elemento de correlación positiva entre X 1 y X 2 tal que Cov ( X 1 j , X 2 j )> 0, se puede ver en la ecuación anterior que la varianza se reduce.
También se puede observar que si el CRN induce una correlación negativa, es decir, Cov ( X 1 j , X 2 j ) <0, esta técnica en realidad puede ser contraproducente, donde la varianza aumenta y no disminuye (como se pretendía). [2]
Ver también
Referencias
- ↑ Botev, Z .; Ridder, A. (2017). "Reducción de la varianza". Wiley StatsRef: Referencia de estadísticas en línea : 1–6. doi : 10.1002 / 9781118445112.stat07975 . ISBN 9781118445112.
- ^ Hamrick, Jeff. "El método de los números aleatorios comunes: un ejemplo" . Proyecto de demostraciones Wolfram . Consultado el 29 de marzo de 2016 .
- Hammersley, JM; Handscomb, DC (1964). Métodos de Monte Carlo . Londres: Methuen. ISBN 0-416-52340-4.
- Kahn, H .; Marshall, AW (1953). "Métodos de reducción del tamaño de la muestra en cálculos de Monte Carlo". Revista de la Sociedad de Investigación de Operaciones de América . 1 (5): 263–271. doi : 10.1287 / opre.1.5.263 .
- MCNP - Un código general de transporte de partículas N de Monte Carlo, versión 5 Informe de Los Alamos LA-UR-03-1987