Casco convexo
En geometría , el casco convexo o sobre convexo o cierre convexo de una forma es el conjunto convexo más pequeño que lo contiene. El casco convexo puede definirse como la intersección de todos los conjuntos convexos que contienen un subconjunto dado de un espacio euclidiano o, de manera equivalente, como el conjunto de todas las combinaciones convexas de puntos en el subconjunto. Para un subconjunto delimitado del avión, el casco convexo se puede visualizar como la forma encerrada por una banda elástica estirada alrededor del subconjunto.
Los cascos convexos de los conjuntos abiertos están abiertos y los cascos convexos de los conjuntos compactos son compactos. Todo conjunto convexo compacto es el casco convexo de sus puntos extremos . El operador de casco convexo es un ejemplo de operador de cierre , y cada antimatroide se puede representar aplicando este operador de cierre a conjuntos finitos de puntos. Los problemas algorítmicos de encontrar el casco convexo de un conjunto finito de puntos en el plano u otros espacios euclidianos de baja dimensión, y su problema dual de intersección de medios espacios , son problemas fundamentales de geometría computacional . Pueden resolverse a tiempopara conjuntos de puntos bidimensionales o tridimensionales y, en el tiempo, igualar la complejidad de salida del peor de los casos dada por el teorema del límite superior en dimensiones superiores.
Además de los conjuntos de puntos finitos, los cascos convexos también se han estudiado para polígonos simples , movimiento browniano , curvas espaciales y epígrafes de funciones . Los cascos convexos tienen amplias aplicaciones en matemáticas, estadística, optimización combinatoria, economía, modelado geométrico y etología. Las estructuras relacionadas incluyen el casco convexo ortogonal , las capas convexas , la triangulación de Delaunay y el diagrama de Voronoi , y el cráneo convexo .
Un conjunto de puntos en un espacio euclidiano se define como convexo si contiene los segmentos de línea que conectan cada par de sus puntos. El casco convexo de un conjunto dado se puede definir como [1]
Para conjuntos delimitados en el plano euclidiano, no todos en una línea, el límite del casco convexo es la curva cerrada simple con un perímetro mínimo que contiene . Uno puede imaginarse estirando una goma elástica para que rodee todo el conjunto y luego soltándola, permitiendo que se contraiga; cuando se tensa, encierra el casco convexo de . [2] Esta formulación no se generaliza inmediatamente a dimensiones superiores: para un conjunto finito de puntos en un espacio tridimensional, una vecindad de un árbol de expansión de los puntos los encierra con un área superficial arbitrariamente pequeña, más pequeña que el área superficial del convexo. cáscara. [3]Sin embargo, en dimensiones más altas, las variantes del problema del obstáculo de encontrar una superficie de energía mínima por encima de una forma dada pueden tener el casco convexo como solución. [4]
Para objetos en tres dimensiones, la primera definición establece que el casco convexo es el volumen delimitador convexo más pequeño posible de los objetos. La definición que usa intersecciones de conjuntos convexos puede extenderse a geometría no euclidiana , y la definición que usa combinaciones convexas puede extenderse desde espacios euclidianos a espacios vectoriales reales arbitrarios o espacios afines ; los cascos convexos también pueden generalizarse de una manera más abstracta, a matroides orientados . [5]
