En matemáticas , el epígrafe o supergráfico [1] de una función valorado en los números reales extendidos es el conjunto , denotado porde todos los puntos en el producto cartesiano sobre o encima de su gráfico . [2] El epígrafe estricto es el conjunto de puntos en que se encuentra estrictamente por encima de su gráfico.
Es importante destacar que, mientras que el gráfico consta de puntos en el epígrafe consta completamente de puntos en el subconjunto Esto significa que si la función toma como valor entonces será no ser un subconjunto de su epígrafe Por ejemplo, si entonces el punto pertenecerá a pero no para No obstante, estos dos conjuntos están estrechamente relacionados porque el gráfico siempre se puede reconstruir a partir del epígrafe y viceversa.
El estudio de funciones continuas de valor real en análisis real ha estado tradicionalmente asociado de cerca con el estudio de sus gráficas , que son conjuntos que brindan información geométrica (e intuición) sobre estas funciones. [2] Los epígrafes sirven para este mismo propósito en los campos del análisis convexo y el análisis variacional , en los que el enfoque principal está en las funciones convexas valoradas en en lugar de funciones continuas valoradas en un espacio vectorial (como o ). [2] Esto se debe a que, en general, para tales funciones, la intuición geométrica se obtiene más fácilmente del epígrafe de una función que de su gráfico. [2] De manera similar a cómo se usan los gráficos en el análisis real, el epígrafe a menudo se puede usar para dar interpretaciones geométricas de las propiedades de una función convexa , para ayudar a formular o probar hipótesis, o para ayudar a construir contraejemplos .
Definición
La definición del epígrafe se inspiró en la del gráfico de una función , donde elgráfico de se define como el conjunto
La epígrafe osupergrafia de una funcionvalorado en los números reales extendidos es el conjunto [2]
En la unión terminada que aparece arriba en el lado derecho de la última línea, el conjunto puede interpretarse como un "rayo vertical" que consta de y todos los puntos en "directamente encima" de él. De manera similar, el conjunto de puntos en o debajo de la gráfica de una función es suhipografo .
La epígrafe estricto es el epígrafe con el gráfico eliminado:
Relaciones con otros conjuntos
A pesar de que podría tomar uno (o ambos) de como un valor (en cuyo caso su gráfico no sería un subconjunto de), el epígrafe de no obstante, se define como un subconjunto de en lugar de Esto es intencional porque cuando es un espacio vectorial, entonces también lo es pero nunca es un espacio vectorial. [2] De manera más general, si es solo un subconjunto no vacío de algún espacio vectorial, entonces ni siquiera es un subconjunto de ningún espacio vectorial. El epígrafe es un subconjunto de un espacio vectorial y permite que las herramientas relacionadas con el análisis real y el análisis funcional (y otros campos) se apliquen más fácilmente.
El dominio (en lugar del codominio ) de la función no es particularmente importante para esta definición; puede ser cualquier espacio lineal [1] o incluso un conjunto arbitrario [3] en lugar de.
El epígrafe estricto y el grafico son siempre inconexos.
El epígrafe de una función está relacionado con su gráfico y epígrafe estricto por
donde la igualdad de conjunto se cumple si y solo si es de valor real. Sin emabargo,
siempre aguanta.
Reconstruyendo funciones a partir de epígrafes
El epígrafe está vacío si y solo si la función es idénticamente igual a infinito.
Así como cualquier función se puede reconstruir a partir de su gráfico, también se puede reconstruir cualquier función extendida de valor real. en ser reconstruido a partir de su epígrafe (incluso cuando asume como valor). Dado el valor se puede reconstruir desde la intersección de con la "línea vertical" que pasa a través como sigue:
- caso 1: si y solo si
- caso 2: si y solo si
- caso 3: de lo contrario, es necesariamente de la forma de la cual el valor de se puede obtener tomando el mínimo del intervalo.
Las observaciones anteriores se pueden combinar para dar una fórmula única para en términos de Específicamente, para cualquier
donde por definición, Esta misma fórmula también se puede utilizar para reconstruir de su epígrafe estricto
Relaciones entre las propiedades de las funciones y sus epígrafes.
Una función es convexa si y solo si su epígrafe es un conjunto convexo . El epígrafe de una función afín real es un medio espacio en
Una función es semicontinua inferior si y solo si su epígrafe está cerrado .
Ver también
Citas
- ^ a b Pekka Neittaanmäki; Sergey R. Repin (2004). Métodos confiables para la simulación por computadora: control de errores y estimaciones posteriores . Elsevier. pag. 81. ISBN 978-0-08-054050-4.
- ^ a b c d e f Rockafellar & Wets 2009 , págs. 1-37.
- ^ Charalambos D. Aliprantis; Kim C. Border (2007). Análisis dimensional infinito: Guía del autoestopista (3ª ed.). Springer Science & Business Media. pag. 8. ISBN 978-3-540-32696-0.
Referencias
- Rockafellar, R. Tyrrell ; Mojados, Roger J.-B. (26 de junio de 2009). Análisis variacional . Grundlehren der mathischen Wissenschaften. 317 . Berlín Nueva York: Springer Science & Business Media . ISBN 9783642024313. OCLC 883392544 .
- Rockafellar, Ralph Tyrell (1996), Convex Analysis , Princeton University Press, Princeton, Nueva Jersey. ISBN 0-691-01586-4 .