En álgebra lineal , un cono convexo es un subconjunto de un espacio vectorial sobre un campo ordenado que se cierra bajo combinaciones lineales con coeficientes positivos.
Definición
Un subconjunto C de un espacio vectorial V sobre un campo ordenado F es un cono (o a veces llamado un cono lineal ) si para cada x en C y escalar positivo α en F , el producto αx está en C . [1] Tenga en cuenta que algunos autores definen el cono con el escalar α que abarca todos los escalares no negativos (en lugar de todos los escalares positivos, que no incluye 0). [2]
Un cono de C es un cono convexo si αx + βy pertenece a C , para cualquier escalares positivos alpha , β , y cualquier x , y en C . [3] [4] Un cono C es convexo si y sólo si C + C ⊆ C .
Este concepto es significativo para cualquier espacio vectorial que permita el concepto de escalar "positivo", como espacios sobre los números racionales , algebraicos o (más comúnmente) los reales . También señalan que los escalares en la definición son significado positivo que el origen no tiene que pertenecer a C. Algunos autores utilizan una definición que garantiza el origen pertenece a C . [5] Debido a los parámetros de escala α y β , los conos tienen una extensión infinita y no están limitados.
Si C es un cono convexo, entonces para cualquier escalar positivo α y cualquier x en C el vectorDe ello se deduce que un cono convexo C es un caso especial de un cono lineal .
De la propiedad anterior se deduce que un cono convexo también se puede definir como un cono lineal que se cierra bajo combinaciones convexas o simplemente bajo adiciones . Más sucintamente, un conjunto C es un cono convexo si y solo si αC = C y C + C = C , para cualquier α escalar positivo .
Ejemplos de
- Para un espacio vectorial V , el conjunto vacío, el espacio V y cualquier subespacio lineal de V son conos convexos.
- La combinación cónica de un conjunto finito o infinito de vectores en es un cono convexo.
- Los conos tangentes de un conjunto convexo son conos convexos.
- El conjunto
- El cono de la norma
- La intersección de dos conos convexos en el mismo espacio vectorial es nuevamente un cono convexo, pero su unión puede no ser una.
- La clase de conos convexos también se cierra bajo mapas lineales arbitrarios . En particular, si C es un cono convexo, también lo es su opuesto y es la más grande subespacio lineal contenida en C .
- El conjunto de matrices semidefinidas positivas .
- El conjunto de funciones continuas no negativas es un cono convexo.
Ejemplos especiales
Conos convexos afines
Un cono convexo afín es el conjunto resultante de aplicar una transformación afín a un cono convexo. [6] Un ejemplo común es la traducción de un convexa cono por un punto p : p + C . Técnicamente, tales transformaciones pueden producir no conos. Por ejemplo, a menos que p = 0 , p + C no es un cono lineal. Sin embargo, todavía se le llama cono convexo afín.
Medios espacios
Un hiperplano (lineal) es un conjunto en la formadonde f es un funcional lineal en el espacio vectorial V.Un semiespacio cerrado es un conjunto en la forma o e igualmente un medio espacio abierto usa una desigualdad estricta. [7] [8]
Los medios espacios (abiertos o cerrados) son conos convexos afines. Además (en dimensiones finitas), cualquier cono convexo C que no sea todo el espacio V debe estar contenido en algún semiespacio cerrado H de V ; este es un caso especial del lema de Farkas .
Conos poliédricos y de generación finita
Los conos poliédricos son tipos especiales de conos que se pueden definir de varias formas: [9] : 256–257
- Un cono C es poliédrico si es la combinación cónica de un número finito de vectores (esta propiedad también se llama de generación finita ). [10] [11] Es decir, hay un conjunto de vectores así que eso .
- Un cono es poliédrico si es la intersección de un número finito de semiespacios que tienen 0 en su límite (esto fue probado por Weyl en 1935).
- Un cono C es poliédrico si hay alguna matriz tal que .
- Un cono es poliédrico si es el conjunto solución de un sistema de desigualdades lineales homogéneas. Algebraicamente, cada desigualdad está definida por una fila de la matriz A . Geométricamente, cada desigualdad define un medio espacio que pasa por el origen.
Cada cono finamente generado es un cono poliédrico, y cada cono poliédrico es un cono finamente generado. [10] Cada cono poliédrico tiene una representación única como un casco cónico de sus generadores extremos, y una representación única de las intersecciones de los semiespacios, dado que cada forma lineal asociada con los semiespacios también define un hiperplano de soporte de una faceta. [12]
Los conos poliédricos juegan un papel central en la teoría de la representación de los poliedros . Por ejemplo, el teorema de descomposición para poliedros establece que cada poliedro se puede escribir como la suma de Minkowski de un politopo convexo y un cono poliédrico. [13] [14] Los conos poliédricos también juegan un papel importante en la demostración del teorema de bases finitas relacionado para politopos, que muestra que cada politopo es un poliedro y cada poliedro acotado es un politopo. [13] [15] [16]
Las dos representaciones de un cono poliédrico, por desigualdades y por vectores, pueden tener tamaños muy diferentes. Por ejemplo, considere el cono de todos no negativos n -by- n matrices con iguales sumas de fila y columna. La representación de la desigualdad requiere n 2 desigualdades y 2 ( n - 1) ecuaciones, pero la representación vectorial requiere n ! vectores (ver el teorema de Birkhoff-von Neumann ). También puede suceder lo contrario: la cantidad de vectores puede ser polinomial mientras que la cantidad de desigualdades es exponencial. [9] : 256
Las dos representaciones juntas proporcionan una manera eficiente de decidir si un vector dado está en el cono: para mostrar que está en el cono, es suficiente presentar que es una combinación cónica de los vectores definitorios; para mostrar que no está en el cono, es suficiente presentar una única desigualdad definitoria que viola. Este hecho se conoce como lema de Farkas .
Un punto sutil en la representación por vectores es que el número de vectores puede ser exponencial en la dimensión, por lo que la prueba de que un vector está en el cono puede ser exponencialmente larga. Afortunadamente, el teorema de Carathéodory garantiza que cada vector en el cono puede ser representado como máximo por d vectores que definen, donde d es la dimensión del espacio.
Conos romos, puntiagudos, planos, salientes y adecuados
De acuerdo con la definición anterior, si C es un cono convexo, entonces C ∪ { 0 } también es un cono convexo. Se dice que un cono convexo esapuntado si0está enC, yromo si0no está enC. [1] [17] Los conos romos pueden excluirse de la definición de cono convexo sustituyendo "positivo" por "no negativo" en la condición de α, β.
Un cono se llama plano si contiene algún vector x distinto de cero y su opuesto - x, lo que significa que C contiene un subespacio lineal de dimensión al menos uno, y saliente en caso contrario. [18] [19] Un cono convexo romo es necesariamente saliente, pero lo contrario no es necesariamente cierto. Un cono convexo C es sobresaliente si y solo si C ∩ - C ⊆ { 0 }. Se dice que un cono C se genera si C - C es igual a todo el espacio vectorial. [20]
Algunos autores requieren que los conos salientes sean puntiagudos. [21] El término "puntiagudo" también se usa a menudo para referirse a un cono cerrado que no contiene una línea completa (es decir, ningún subespacio no trivial del espacio vectorial ambiental V , o lo que se llama un cono saliente). [22] [23] [24] El término cono propio ( convexo ) se define de diversas formas, según el contexto y el autor. A menudo significa un cono que satisface otras propiedades como ser convexo, cerrado, puntiagudo, saliente y de dimensión completa. [25] [26] [27] Debido a estas diferentes definiciones, se debe consultar el contexto o la fuente para la definición de estos términos.
Conos racionales
Un tipo de cono de particular interés para los matemáticos puros es el conjunto parcialmente ordenado de conos racionales. "Los conos racionales son objetos importantes en geometría algebraica tórica, álgebra conmutativa combinatoria, combinatoria geométrica, programación de enteros". [28] Este objeto surge cuando estudiamos conos enjunto con la celosía . Un cono se llama racional (aquí asumimos "puntiagudo", como se definió anteriormente) siempre que todos sus generadores tienen coordenadas enteras , es decir, si es un cono racional, entonces .
Cono doble
Sea C ⊂ V un conjunto, no necesariamente un conjunto convexo, en un espacio vectorial real V equipado con un producto interno . El cono dual (continuo o topológico) a C es el conjunto
que es siempre un cono convexo. Aquí,es el emparejamiento de dualidad entre C y V , es decir.
De manera más general, el cono dual (algebraico) de C ⊂ V en un espacio lineal V es un subconjunto del espacio dual V * definido por:
En otras palabras, si V * es el espacio dual algebraica de V , que es el conjunto de funcionales lineales que son no negativo en el cono primitivo C . Si tomamos V * que es el espacio dual continuo , entonces es el conjunto de funcionales lineales continuas no negativas en C . [29] Esta noción no requiere la especificación de un producto interno en V .
En dimensiones finitas, las dos nociones de cono dual son esencialmente las mismas porque cada funcional lineal de dimensión finita es continuo, [30] y cada funcional lineal continuo en un espacio de producto interno induce un isomorfismo lineal (mapa lineal no singular) de V * a V , y este isomorfismo llevará el cono dual dado por la segunda definición, en V * , sobre el dado por la primera definición; vea el teorema de representación de Riesz . [29]
Si C es igual a su cono dual, entonces C se llama auto-dual . Se puede decir que un cono es auto-dual sin referencia a ningún producto interno dado, si existe un producto interno con respecto al cual es igual a su dual según la primera definición.
Construcciones
- Dado un subconjunto cerrado y convexo K del espacio de Hilbert V , el cono normal hacia afuera al conjunto K en el punto x en K está dado por
- Dado un subconjunto cerrado y convexo K de V , el cono tangente (o cono contingente ) al conjunto K en el punto x está dado por
- Dado un subconjunto cerrado y convexo K del espacio de Hilbert V , el cono tangente al conjunto K en el punto x en K se puede definir como el cono polar al cono normal hacia afuera.:
Tanto el cono normal como el tangente tienen la propiedad de ser cerrados y convexos.
Son conceptos importantes en los campos de optimización convexa , desigualdades variacionales y sistemas dinámicos proyectados .
Propiedades
Si C es un cono convexo no vacío en X , entonces el tramo lineal de C es igual a C - C y el subespacio vectorial más grande de X contenido en C es igual a C ∩ (- C ). [31]
Orden parcial definido por un cono convexo
Un cono convexo puntiagudo y saliente C induce un orden parcial "≤" en V , definido de modo que si y solo si (Si el cono es plano, la misma definición da simplemente un preorden .) Las sumas y los múltiplos escalares positivos de desigualdades válidas con respecto a este orden siguen siendo desigualdades válidas. Un espacio vectorial con tal orden se denomina espacio vectorial ordenado . Los ejemplos incluyen el pedido de productos en vectores de valor real,y el orden de Loewner en matrices semidefinidas positivas. Este orden se encuentra comúnmente en la programación semidefinida positiva.
Ver también
- Cono (desambiguación)
- Cono (geometría)
- Cono (topología)
- Lema de Farkas
- Teorema bipolar
- Combinación lineal
- Espacio vectorial ordenado
Notas
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