La función de base 13 de Conway es una función creada por el matemático británico John H. Conway como contraejemplo de la inversa del teorema del valor intermedio . En otras palabras, es una función que satisface una propiedad de valor intermedio particular —en cualquier intervalo ( a , b ), la función f toma todos los valores entre f ( a ) yf ( b ) —pero no es continua .
Propósito
La función de base 13 de Conway fue creada como parte de una actividad de "producir": en este caso, el desafío era producir una función fácil de entender que tome cada valor real en cada intervalo, es decir, es una sobreyectiva en todas partes. función . [1] Por lo tanto, es discontinuo en todos los puntos.
Boceto de definición
- Cada número real x se puede representar en base 13 de una manera canónica única; tales representaciones usan los dígitos 0–9 más tres símbolos adicionales, digamos {A, B, C}. Por ejemplo, el número 54349589 tiene una representación en base 13
B34C128
. - Si en lugar de {A, B, C}, elegimos juiciosamente los símbolos {+, -,.}, Sucede algo interesante: algunos números en base 13 tendrán representaciones que parecen decimales bien formados en base 10: por ejemplo, el número 54349589 tiene una representación en base 13 de
−34.128
. Por supuesto, la mayoría de los números no serán inteligibles de esta manera; por ejemplo, el número 3629265 tiene la representación en base 139+0−−7
. - La función de base 13 de Conway toma un número real x y considera su representación de base 13 como una secuencia de símbolos {0, 1, ..., 9, +, -,.} . Si de alguna posición en adelante, la representación parece un número decimal bien formado r , entonces f ( x ) = r . De lo contrario, f ( x ) = 0. (Bien formado significa que comienza con un símbolo + o -, contiene exactamente un símbolo de punto decimal y, de lo contrario, solo contiene los dígitos 0–9). Por ejemplo, si un número x tiene la representación
8++2.19+0−−7+3.141592653...
, entonces f ( x ) = +3.141592653 ....
Definición
La función Conway base-13 es una función definido como sigue. Escribe el argumentovalor como tridecimal (un "decimal" en base 13 ) usando 13 símbolos como "dígitos": 0, 1, ..., 9, A, B, C ; no debería haber C al final recurrente. Puede haber un signo inicial y en algún lugar habrá un punto tridecimal para separar la parte entera de la parte fraccionaria; ambos deben ignorarse en la secuela. Se puede pensar que estos "dígitos" tienen los valores de 0 a 12 respectivamente; Conway usó originalmente los dígitos "+", "-" y "". en lugar de A, B, C, y subrayó todos los "dígitos" de base 13 para distinguirlos claramente de los dígitos y símbolos de base 10 habituales.
- Si a partir de algún momento, la expansión tridecimal de es de la forma donde todos los dígitos y estan en , luego en notación habitual de base 10 .
- Del mismo modo, si la expansión tridecimal de termina con , luego .
- De lo contrario, .
Por ejemplo:
- ,
- ,
- .
Propiedades
- Según el teorema del valor intermedio, toda función real continua tiene la propiedad de valor intermedio: en cada intervalo ( a , b ), la función pasa por cada punto entre y . La función de base 13 de Conway muestra que lo contrario es falso: satisface la propiedad de valor intermedio, pero no es continua.
- De hecho, la función de base 13 de Conway satisface una propiedad de valor intermedio mucho más fuerte: en cada intervalo ( a , b ), la funciónpasa por cada número real . Como resultado, satisface una propiedad de discontinuidad mucho más fuerte: es discontinua en todas partes.
- Para demostrar que la función de base 13 de Conway satisface esta propiedad intermedia más fuerte, sea ( a , b ) un intervalo, sea c un punto en ese intervalo y sea r cualquier número real. Cree una codificación en base 13 de r de la siguiente manera: comenzando con la representación en base 10 de r , reemplace el punto decimal con C e indique el signo de r anteponiendo una A (si r es positivo) o una B (si r es negativo) al principio. Por definición de la función base-13 de Conway, la cadena resultante tiene la propiedad que . Además, cualquier cuerda de base 13 que termine entendrá esta propiedad. Por lo tanto, si reemplazamos el final de c con, el número resultante tendrá f ( c ' ) = r . Al introducir esta modificación suficientemente a lo largo de la representación tridecimal de, puede asegurarse de que el nuevo número seguirá estando en el intervalo . Esto prueba que para cualquier número r , en cada intervalo podemos encontrar un punto tal que .
- Por lo tanto, la función de base 13 de Conway es discontinua en todas partes: una función real que es continua en x debe estar acotada localmente en x , es decir, debe estar acotada en algún intervalo alrededor de x . Pero como se muestra arriba, la función de base 13 de Conway es ilimitada en cada intervalo alrededor de cada punto; por lo tanto, no es continuo en ninguna parte.
Ver también
Referencias
- ^ Bernardi, Claudio (febrero de 2016). "Gráficos de funciones reales con comportamientos patológicos". Computación blanda . 11 : 5-6. arXiv : 1602.07555 . Código bibliográfico : 2016arXiv160207555B .
- Omán, Greg (2014). "El inverso del teorema del valor intermedio: de Conway a Cantor a Cosets y más allá" (PDF) . Missouri J. Math. Sci . 26 (2): 134-150. Archivado (PDF) desde el original el 20 de agosto de 2016.