La ecuación de onda de Coulomb para una sola partícula de masa cargada es la ecuación de Schrödinger con potencial de Coulomb [1]
dónde es el producto de las cargas de la partícula y de la fuente de campo (en unidades de la carga elemental , para el átomo de hidrógeno), es la constante de estructura fina , yes la energía de la partícula. La solución, función de onda de Coulomb, se puede encontrar resolviendo esta ecuación en coordenadas parabólicas
Dependiendo de las condiciones de contorno elegidas, la solución tiene diferentes formas. Dos de las soluciones son [2] [3]
dónde es la función hipergeométrica confluente , y es la función gamma . Las dos condiciones de contorno utilizadas aquí son
que corresponden a estados asintóticos de ondas planas orientadas antes o después de su aproximación a la fuente de campo en el origen, respectivamente. Las funciones están relacionados entre sí por la fórmula
Expansión de onda parcial
La función de onda se puede expandir en ondas parciales (es decir, con respecto a la base angular) para obtener funciones radiales independientes del ángulo . Aquí.
Un solo término de la expansión puede ser aislado por el producto escalar con un armónico esférico específico
La ecuación para una sola onda parcial se puede obtener reescribiendo el laplaciano en la ecuación de onda de Coulomb en coordenadas esféricas y proyectando la ecuación en un armónico esférico específico
Las soluciones también se denominan funciones de onda de Coulomb (parciales) o funciones esféricas de Coulomb. Poniendocambia la ecuación de onda de Coulomb en la ecuación de Whittaker , por lo que las funciones de onda de Coulomb se pueden expresar en términos de funciones de Whittaker con argumentos imaginarios y . Este último se puede expresar en términos de las funciones hipergeométricas confluentes y . Uno define las soluciones especiales [4]
dónde
se llama cambio de fase de Coulomb. También se definen las funciones reales
En particular uno tiene
El comportamiento asintótico de las funciones esféricas de Coulomb , , y en general es
dónde
Las soluciones corresponden a ondas esféricas entrantes y salientes. Las soluciones y son reales y se denominan funciones de onda de Coulomb regulares e irregulares. En particular, uno tiene la siguiente expansión de onda parcial para la función de onda [5]
Las partes radiales para un momento angular dado son ortonormales. Cuando se normaliza en la escala de número de onda (escala k ), las funciones de onda radial continuas satisfacen [6] [7]
Otras normalizaciones comunes de las funciones de onda continuas se encuentran en la escala de número de onda reducida (-escala),
y en la escala energética
Las funciones de onda radial definidas en la sección anterior se normalizan a
como consecuencia de la normalización
Las funciones de onda continuas (o de dispersión) de Coulomb también son ortogonales a todos los estados ligados a Coulomb [8]
debido a ser estados propios del mismo operador hermitiano (el hamiltoniano ) con diferentes valores propios.