El coeficiente de acoplamiento de los resonadores es un valor adimensional que caracteriza la interacción de dos resonadores. Los coeficientes de acoplamiento se utilizan en la teoría del filtro de resonador. Los resonadores pueden ser tanto electromagnéticos como acústicos. Los coeficientes de acoplamiento junto con las frecuencias de resonancia y los factores de calidad externos de los resonadores son los parámetros generalizados de los filtros. Para ajustar la respuesta de frecuencia del filtro, es suficiente optimizar solo estos parámetros generalizados.
Evolución del término
Este término fue introducido por primera vez en la teoría de filtros por M. Dishal. [1] [se necesita fuente no primaria ] En cierto grado, es un análogo del coeficiente de acoplamiento de inductores acoplados. El significado de este término se ha mejorado muchas veces con el progreso en la teoría de filtros y resonadores acoplados . Las definiciones posteriores del coeficiente de acoplamiento son generalizaciones o refinamientos de las definiciones anteriores.
Coeficiente de acoplamiento considerado como constante positiva
En la monografía de G. Matthaei et al ., Se dan definiciones anteriores bien conocidas del coeficiente de acoplamiento de resonadores . [2] Tenga en cuenta que estas definiciones son aproximadas porque se formularon asumiendo que el acoplamiento entre resonadores es suficientemente pequeño. El coeficiente de acoplamiento para el caso de dos resonadores iguales se define por la fórmula
(1)
dónde son las frecuencias de las oscilaciones acopladas pares e impares del par descargado de los resonadores yEs obvio que el coeficiente de acoplamiento definido por la fórmula (2) es una constante positiva que caracteriza la interacción de resonadores a la frecuencia de resonancia.
En caso de que una red equivalente apropiada que tenga un inversor de impedancia o admitancia cargado en ambos puertos con redes resonantes de un puerto pueda combinarse con el par de resonadores acoplados con frecuencias de resonancia iguales, el coeficiente de acoplamiento está definido por la fórmula
(2)
para resonadores tipo serie y por la fórmula
(3)
para resonadores de tipo paralelo. Aquí son parámetros del inversor de impedancia y del inversor de admitancia, son parámetros de pendiente de reactancia de la primera y la segunda redes de tipo serie resonantes a frecuencia resonante y son los parámetros de pendiente de susceptancia de la primera y la segunda redes resonantes de tipo paralelo.
Cuando los resonadores son circuitos LC resonantes, el coeficiente de acoplamiento de acuerdo con (2) y (3) toma el valor
(4)
para los circuitos con acoplamiento inductivo y el valor
(5)
para los circuitos con acoplamiento capacitivo . Aquí son la inductancia y la capacitancia del primer circuito, son la inductancia y la capacitancia del segundo circuito, y son la inductancia mutua y la capacitancia mutua . Las fórmulas (4) y (5) se conocen desde hace mucho tiempo en la teoría de redes eléctricas . Representan valores de coeficientes de acoplamiento inductivo y capacitivo de los circuitos LC acoplados resonantes.
Coeficiente de acoplamiento considerado como una constante con signo
El refinamiento de la fórmula aproximada (1) se completó en. [3] La fórmula exacta tiene una forma
(6)
Se utilizaron las fórmulas (4) y (5) al derivar esta expresión. Ahora la fórmula (6) es universalmente reconocida. Se da en una monografía muy citada por JS. Hong. [4] Se ve que el coeficiente de acoplamiento tiene un valor negativo si
De acuerdo con la nueva definición (6), el valor del coeficiente de acoplamiento inductivo de los circuitos LC resonantes se expresa mediante la fórmula (4) como antes. Tiene un valor positivo cuando y un valor negativo cuando
Considerando que el valor del coeficiente de acoplamiento capacitivo de circuitos LC resonantes siempre es negativo. De acuerdo con (6), la fórmula (5) para el coeficiente de acoplamiento capacitivo de circuitos resonantes toma una forma diferente
(7)
El acoplamiento entre resonadores electromagnéticos puede realizarse tanto por campo magnético como por campo eléctrico. El acoplamiento por campo magnético se caracteriza por el coeficiente de acoplamiento inductivo y el acoplamiento por campo eléctrico se caracteriza por el coeficiente de acoplamiento capacitivo Generalmente valores absolutos de y decaen monótonamente cuando aumenta la distancia entre los resonadores. Sus tasas de descomposición pueden ser diferentes. Sin embargo, el valor absoluto de su suma puede disminuir en todo el rango de distancia y crecer en algún rango de distancia. [5]
La suma de los coeficientes de acoplamiento inductivo y capacitivo se realiza mediante la fórmula [3]
(8)
Esta fórmula se deriva de la definición (6) y las fórmulas (4) y (7).
Tenga en cuenta que el signo del coeficiente de acoplamiento en sí mismo no tiene importancia. La respuesta de frecuencia del filtro no cambiará si los signos de todos los coeficientes de acoplamiento se alternan simultáneamente. Sin embargo, el signo es importante durante la recopilación de dos coeficientes de acoplamiento y especialmente durante la suma de coeficientes de acoplamiento inductivos y capacitivos.
Coeficiente de acoplamiento considerado en función de la frecuencia de oscilación forzada
Dos resonadores acoplados pueden interactuar no solo en las frecuencias de resonancia. Eso está respaldado por la capacidad de transferir energía de oscilaciones forzadas de un resonador al otro resonador. Por lo tanto, sería más preciso caracterizar la interacción de los resonadores mediante una función continua de la frecuencia de oscilación forzada. en lugar de un conjunto de constantes dónde es el número de orden de la resonancia.
Es obvio que la función debe cumplir con la condición
(9)
Además, la función debe convertirse en cero en esas frecuencias donde la transmisión de potencia de alta frecuencia de un resonador a otro está ausente, es decir, debe cumplir la segunda condición
(10)
El cero de transmisión surge particularmente en circuitos resonantes con acoplamiento mixto inductivo-capacitivo cuando Su frecuencia se expresa mediante la fórmula [6]
. (11)
La definición de la función que generaliza la fórmula (6) y cumple las condiciones (9) y (10) se estableció en un enfoque basado en energía en. [6] Esta función se expresa mediante la fórmula (8) a través de coeficientes de acoplamiento inductivos y capacitivos dependientes de la frecuencia y definido por fórmulas
(12)
(13)
Aquí denota energía de campo electromagnético de alta frecuencia almacenada por ambos resonadores. Barra sobredenota el componente estático de la energía de alta frecuencia y el punto denota la amplitud del componente oscilante de la energía de alta frecuencia. Subíndice denota parte magnética de energía de alta frecuencia, y subíndice denota parte eléctrica de energía de alta frecuencia. Los subíndices 11, 12 y 22 denotan partes de energía almacenada que son proporcionales a y dónde es una amplitud compleja de voltaje de alta frecuencia en el primer puerto del resonador y es la amplitud compleja de voltaje en el segundo puerto del resonador.
Las funciones explícitas de los acoplamientos inductivos y capacitivos dependientes de la frecuencia para un par de circuitos resonantes acoplados obtenidos de (12) y (13) tienen formas [6] (14)
(15)
dónde son frecuencias de resonancia del primer y segundo circuito perturbadas por acoplamientos. Se ve que los valores de estas funciones en coincidir con constantes y definido por las fórmulas (14) y (15). Además, función calculado por las fórmulas (8), (14) y (15) se convierte en cero en definido por la fórmula (11).
Coeficientes de acoplamiento en la teoría de filtros
Filtros de paso de banda con topología de acoplamiento en línea
La teoría de los filtros de paso de banda de banda estrecha de microondas que tienen una respuesta de frecuencia de Chebyshev se expone en una monografía. [2] En estos filtros, las frecuencias de resonancia de todos los resonadores se sintonizan con la frecuencia central de la banda de paso.Cada resonador está acoplado con dos resonadores vecinos como máximo. Cada uno de los dos resonadores de borde está acoplado con un resonador vecino y uno de los dos puertos de filtro. Esta topología de acoplamientos de resonador se denomina uno en línea. Solo hay una ruta de transmisión de energía de microondas desde el puerto de entrada al puerto de salida en filtros con topología de acoplamiento en línea.
Derivación de fórmulas aproximadas para los valores de los coeficientes de acoplamiento de resonadores vecinos en filtros con topología de acoplamiento en línea aquellos que cumplen la respuesta de frecuencia de filtro especificada se da en. [2] Aquí y son números de orden de los resonadores acoplados en el filtro. Las fórmulas se obtuvieron utilizando filtros prototipo de paso bajo , así como las fórmulas (2) y (3). La respuesta de frecuencia de los filtros prototipo de paso bajo se caracteriza por la función de Chebyshev del primer tipo. Las fórmulas se publicaron por primera vez en. [7] Tienen un formulario
(dieciséis)
dónde son valores de elementos prototipo normalizados, es el orden de la función de Chebyshev que es igual al número de resonadores, son las frecuencias de borde de banda.
Valores de elementos de prototipo para un paso de banda específico del filtro se calculan mediante fórmulas
(17)
Si incluso,
Si es impar.
Aquí se usaron las siguientes notaciones
(18)
dónde es la ondulación de la banda de paso requerida en dB.
Las fórmulas (16) son aproximadas no solo porque se utilizaron las definiciones aproximadas (2) y (3) para los coeficientes de acoplamiento. Las expresiones exactas para los coeficientes de acoplamiento en el filtro prototipo se obtuvieron en. [8] Sin embargo, tanto las fórmulas anteriores como las refinadas siguen siendo aproximadas en el diseño de filtros prácticos. La precisión depende tanto de la estructura del filtro como de la estructura del resonador. La precisión mejora cuando se reduce el ancho de banda fraccional.
La inexactitud de las fórmulas (16) y su versión refinada se debe a la dispersión de frecuencia de los coeficientes de acoplamiento que pueden variar en gran medida para las diferentes estructuras de resonadores y filtros. [9] En otras palabras, los valores óptimos de los coeficientes de acoplamiento en frecuencia dependen tanto de las especificaciones de la banda de paso requerida como de los valores de las derivadas Eso significa los valores exactos de los coeficientes. asegurarse de que la banda de paso requerida no se pueda conocer de antemano. Pueden establecerse solo después de la optimización del filtro. Por tanto, las fórmulas (16) pueden utilizarse para determinar valores iniciales de los coeficientes de acoplamiento antes de la optimización del filtro.
Las fórmulas aproximadas (16) permiten también determinar una serie de regularidades universales relativas a filtros con topología de acoplamiento en línea. Por ejemplo, la ampliación de la banda de paso del filtro de corriente requiere un incremento aproximadamente proporcional de todos los coeficientes de acoplamiento Los coeficientes son simétricos con respecto al resonador central o al par central de resonadores incluso en filtros que tienen impedancias características desiguales de las líneas de transmisión en los puertos de entrada y salida. Valor del coeficiente Disminuye monótonamente al pasar de los pares externos de resonadores al par central.
Los filtros de microondas reales con topología de acoplamiento en línea a diferencia de sus prototipos pueden tener ceros de transmisión en bandas de parada. [10] Los ceros de transmisión mejoran considerablemente la selectividad del filtro. Una de las razones por las que surgen ceros es la dispersión de frecuencia de los coeficientes de acoplamientopara uno o más pares de resonadores que se expresan en su desaparición a frecuencias de transmisión de ceros. [11]
Filtros de paso de banda con acoplamientos cruzados
Para generar ceros de transmisión en bandas de parada con el fin de mejorar la selectividad del filtro, a menudo se realizan en los filtros una serie de acoplamientos suplementarios además de los acoplamientos más cercanos. Se llaman acoplamientos cruzados. Estos acoplamientos llevan a la base de varias rutas de ondas desde el puerto de entrada al puerto de salida. Las amplitudes de ondas transmitidas a través de diferentes rutas pueden compensarse a sí mismas en algunas frecuencias separadas mientras se suman en el puerto de salida. Tal compensación da como resultado ceros de transmisión.
En filtros con acoplamientos cruzados, es conveniente caracterizar todos los acoplamientos de filtros como un todo utilizando una matriz de acoplamiento de dimensión ,. [4] [12] Es simétrico. Cada elemento fuera de la diagonal es el coeficiente de acoplamiento de los resonadores i- ésimo y j- ésimo Cada elemento diagonal es la susceptancia normalizada del i- ésimo resonador. Todos los elementos diagonales en un filtro sintonizado son iguales a cero porque una susceptancia se desvanece en la frecuencia resonante.
Mérito importante de la matriz es el hecho de que permite calcular directamente la respuesta de frecuencia de la red equivalente que tiene los circuitos resonantes acoplados inductivamente. [4] [12] Por lo tanto, es conveniente utilizar esta matriz al diseñar los filtros de acoplamiento cruzado. Las matrices de acoplamiento, en particular, se utilizan como modelos burdos de filtros. [13] La utilización de un modelo grueso permite acelerar la optimización del filtro muchas veces debido a que el cálculo de la respuesta de frecuencia para el modelo grueso no consume tiempo de CPU con respecto al cálculo del filtro real.
Coeficiente de acoplamiento en términos de campos vectoriales
Debido a que el coeficiente de acoplamiento es una función tanto de la inductancia mutua como de la capacitancia, también se puede expresar en términos de campos vectoriales y . Hong propuso que el coeficiente de acoplamiento es la suma de las integrales superpuestas normalizadas [14] [15]
(19)
dónde
(20)
y
(21)
Por el contrario, basado en un formalismo de modo acoplado, las expresiones derivadas de Awai y Zhang para que está a favor de utilizar el signo negativo, es decir, [16] [17]
(22)
Las fórmulas (19) y (22) son aproximadas. Coinciden con la fórmula exacta (8) solo en caso de un acoplamiento de una semana. Las fórmulas (20) y (21) en contraste con las fórmulas (12) y (13) también son aproximadas porque no describen una dispersión de frecuencia que a menudo puede manifestarse en forma de ceros de transmisión en la respuesta de frecuencia de un pasabanda multirresonador. filtrar.
Utilizando la ecuación de movimiento de Lagrange, se demostró que la interacción entre dos resonadores de anillo dividido, que forman un metadímero, depende de la diferencia entre los dos términos. En este caso, la energía acoplada se expresó en términos de carga superficial y densidades de corriente. [18] [19] [20]
Recientemente, según la teoría del modo acoplado de energía (ECMT), [21] un formalismo de modo acoplado en forma de un problema de valor propio, se demostró que el coeficiente de acoplamiento es de hecho la diferencia entre los componentes magnético y eléctrico. y [22] Utilizando el teorema de Poynting en su forma microscópica, se demostró que se puede expresar en términos de la energía de interacción entre los modos de los resonadores.
Referencias
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enlaces externos
- Tyurnev, VV (2010) "Coeficientes de acoplamiento de resonadores en la teoría del filtro de microondas", Progreso en la investigación electromagnética B , vol. 21, págs. 47–67.