En la teoría de la probabilidad , el principio de los dados es un teorema sobre las probabilidades de eventos en ensayos repetidos de iid . Dejar y denotan dos eventos mutuamente excluyentes que pueden ocurrir en un ensayo dado. Entonces la probabilidad de que ocurre antes es igual a la probabilidad condicional de que ocurre dado que o ocurrir en la siguiente prueba, que es
Los eventos y no es necesario que sean colectivamente exhaustivos (si lo son, el resultado es trivial). [1] [2]
Prueba
Dejar ser el evento que ocurre antes . Dejar sea el evento que ni ni ocurre en una prueba determinada. Desde, y son mutuamente excluyentes y colectivamente exhaustivos para el primer ensayo, tenemos
y . Dado que los juicios son iid, tenemos. Utilizando y resolviendo la ecuación mostrada para da la fórmula
- .
Solicitud
Si las pruebas son repeticiones de un juego entre dos jugadores y los eventos son
entonces el principio de los dados da las respectivas probabilidades condicionales de que cada jugador gane una determinada repetición, dado que alguien gana (es decir, dado que no se produce un empate ). De hecho, el resultado solo se ve afectado por las probabilidades marginales relativas de ganar y ; en particular, la probabilidad de un empate es irrelevante.
Parada
Si el juego se juega repetidamente hasta que alguien gana, entonces la probabilidad condicional anterior es la probabilidad de que el jugador gane el juego. Esto se ilustra a continuación para el juego de dados original , utilizando una prueba alternativa.
Ejemplo de craps
Si el juego que se juega son los dados , este principio puede simplificar enormemente el cálculo de la probabilidad de ganar en un escenario determinado. Específicamente, si la primera tirada es un 4, 5, 6, 8, 9 o 10, entonces los dados se vuelven a tirar repetidamente hasta que ocurra uno de dos eventos:
Desde y son mutuamente excluyentes, se aplica el principio de los dados. Por ejemplo, si la tirada original fue un 4, entonces la probabilidad de ganar es
Esto evita tener que sumar las series infinitas correspondientes a todos los resultados posibles:
Matemáticamente, podemos expresar la probabilidad de rodar empates seguidos de rodar el punto:
La suma se convierte en una serie geométrica infinita :
que concuerda con el resultado anterior.
Referencias
- ↑ Susan Holmes (7 de diciembre de 1998). "El principio de Craps 10/16" . statweb.stanford.edu . Consultado el 17 de marzo de 2016 .
- ^ Jennifer Ouellette (31 de agosto de 2010). The Calculus Diaries: Cómo las matemáticas pueden ayudarlo a perder peso, ganar en Las Vegas y sobrevivir a un apocalipsis zombi . Grupo Editorial Penguin. págs. 50–. ISBN 978-1-101-45903-4.
Notas
- Pitman, Jim (1993). Probabilidad . Berlín: Springer-Verlag. pag. 210. ISBN 0-387-97974-3.