En matemáticas, la configuración Cremona-Richmond es una configuración de 15 líneas y 15 puntos, con 3 puntos en cada línea y 3 líneas a través de cada punto, y no contiene triángulos. Fue estudiado por Cremona ( 1877 ) y Richmond ( 1900 ). Es un cuadrilátero generalizado con parámetros (2,2). Su gráfico de Levi es el gráfico de Tutte-Coxeter . [1]
![](http://wikiimg.tojsiabtv.com/wikipedia/commons/thumb/9/97/Cremona-Richmond_configuration.svg/260px-Cremona-Richmond_configuration.svg.png)
Simetría
Los puntos de la configuración Cremona-Richmond pueden identificarse con la pares desordenados de elementos de un conjunto de seis elementos; estos pares se llaman duads . Asimismo, las líneas de la configuración pueden identificarse con las 15 formas de dividir los mismos seis elementos en tres pares; estas particiones se denominan síntesis . Identificado de esta manera, un punto de la configuración es incidente a una línea de la configuración si y solo si la duad correspondiente al punto es uno de los tres pares en la síntesis correspondiente a la línea. [1]
El grupo simétrico de todas las permutaciones de los seis elementos subyacentes a este sistema de duads y síntesis actúa como un grupo de simetría de la configuración Cremona-Richmond, y da el grupo de automorfismo de la configuración. Cada bandera de la configuración (un par de incidentes punto-línea) se puede llevar a cualquier otra bandera por una simetría en este grupo. [1]
La configuración Cremona-Richmond es auto-dual : es posible intercambiar puntos por líneas conservando todas las incidencias de la configuración. Esta dualidad le da al gráfico de Tutte-Coxeter simetrías adicionales más allá de las de la configuración Cremona-Richmond, que intercambian los dos lados de su bipartición. Estas simetrías corresponden a los automorfismos externos del grupo simétrico en seis elementos.
Realización
Cualesquiera seis puntos en posición general en el espacio de cuatro dimensiones determinan 15 puntos donde una línea a través de dos de los puntos interseca el hiperplano a través de los otros cuatro puntos; así, las diana de los seis puntos corresponden uno por uno con estos 15 puntos derivados. Cualesquiera tres cuadrículas que juntas forman una síntesis determinan una línea, la línea de intersección de los tres hiperplanos que contiene dos de las tres cuadrículas en la síntesis, y esta línea contiene cada uno de los puntos derivados de sus tres cuadrículas. Así, las diana y síntesis de la configuración abstracta se corresponden uno a uno, de manera que preserva la incidencia, con estos 15 puntos y 15 líneas derivadas de los seis puntos originales, que forman una realización de la configuración. La misma realización puede proyectarse en el espacio euclidiano o en el plano euclidiano. [1]
La configuración Cremona-Richmond también tiene una familia de realizaciones de un parámetro en el plano con simetría cíclica de orden cinco. [2]
Historia
Ludwig Schläfli ( 1858 , 1863 ) encontró superficies cúbicas que contienen conjuntos de 15 líneas reales (complementarias a un doble seis de Schläfli en el conjunto de las 27 líneas en un cúbico) y 15 planos tangentes, con tres líneas en cada plano y tres planos a través de cada uno. línea. La intersección de estas líneas y planos con otro plano da como resultado una configuración de 15 3 15 3 . El patrón de incidencia específico de las líneas y planos de Schläfli fue publicado más tarde por Luigi Cremona ( 1868 ). La observación de que la configuración resultante no contiene triángulos fue hecha por Martinetti (1886) , y la misma configuración también aparece en el trabajo de Herbert William Richmond ( 1900 ). Visconti (1916) encontró una descripción de la configuración como un polígono autoinscrito. HF Baker utilizó la realización en cuatro dimensiones de esta configuración como portada de dos volúmenes de su libro de texto de 1922-1925, Principles of Geometry . Zacharias (1951) también redescubrió la misma configuración y encontró una realización de la misma con simetría cíclica de orden cinco. [3]
El nombre de la configuración proviene de los estudios de la misma por Cremona ( 1868 , 1877 ) y Richmond (1900) ; quizás debido a algunos errores en su obra, la contribución contemporánea de Martinetti cayó en el olvido. [3]
Notas
- ↑ a b c d Coxeter (1950) ; Coxeter (1958) . La terminología de duads y Synthemas es de Sylvester (1844) , pero Sylvester trata estos sistemas de pares y particiones en el contexto de un estudio más general de tuplas y particiones de conjuntos, no reserva especial atención al caso de un elemento de seis conjunto, y no asocia ningún significado geométrico a los conjuntos.
- ↑ Zacharias (1951) ; Boben y Pisanski (2003) ; Boben y col. (2006) .
- ^ a b Esta historia y la mayoría de las referencias en ella se extraen de Boben et al. (2006) . La referencia a Baker es de Coxeter (1950) .
Referencias
- Boben, M .; Pisanski, T. (2003), "Configuraciones policíclicas" (PDF) , European Journal of Combinatorics , 24 (4): 431–457, doi : 10.1016 / S0195-6698 (03) 00031-3 , MR 1975946
- Boben, Marko; Grünbaum, Branko ; Pisanski, Tomaž ; Žitnik, Arjana (2006), "Pequeñas configuraciones de puntos y líneas sin triángulos" (PDF) , Geometría discreta y computacional , 35 (3): 405–427, doi : 10.1007 / s00454-005-1224-9 , MR 2202110.
- Coxeter, HSM (1950), "Configuraciones auto-duales y gráficos regulares", Boletín de la American Mathematical Society , 56 : 413–455, doi : 10.1090 / S0002-9904-1950-09407-5 , MR 0038078.
- Coxeter, HSM (1958), "Doce puntos en PG (5,3) con 95040 autotransformaciones", Proceedings of the Royal Society A , 247 (1250): 279-293, doi : 10.1098 / rspa.1958.0184 , JSTOR 100667.
- Cremona, L. (1868), "Mémoire de géométrie pure sur les surface du troisieme ordre", J. Reine Angew. Matemáticas. , 68 : 1–133. Según lo citado por Boben et al. (2006) .
- Cremona, L. (1877), Teoremi stereometrici dal quali si deducono le proprietà dell 'esagrammo di Pascal , Atti della R. Accademia dei Lincei, 1
- Grünbaum, Branko (2009), Configuraciones de puntos y líneas , Estudios de posgrado en matemáticas , 103 , Providence, RI: American Mathematical Society , ISBN 978-0-8218-4308-6, MR 2510707
- Martinetti, V. (1886), "Sopra alcune configurazioni piane", Annali di Matematica Pura ed Applicata , Series 2, 14 (1): 161-192, doi : 10.1007 / BF02420733.
- Richmond, HW (1900), "Sobre la figura de seis puntos en el espacio de cuatro dimensiones". , Quart. J. , 31 : 125–160
- Schläfli, L. (1858), "Un intento de determinar las veintisiete líneas sobre una superficie de tercer orden y dividir tales superficies en especies en referencia a la realidad de las líneas sobre la superficie" , Quart. J. Pure Appl. Matemáticas. , 2 : 55–65, 110–120.
- Schläfli, L. (1863), "Sobre la distribución de superficies del tercer orden en especies, en referencia a la ausencia o presencia de puntos singulares, y la realidad de sus líneas" , Philosophical Transactions of the Royal Society , 153 : 193 –241, doi : 10.1098 / rstl.1863.0010.
- Sylvester, JJ (1844), "Investigaciones elementales en el análisis de agregación combinatoria" (PDF) , Phil. revista , Serie 3, 24 : 285–295, doi : 10.1080 / 14786444408644856.
- Visconti, E. (1916), "Sulle configurazioni piane atrigone", Giornale di Matematiche di Battaglini , 54 : 27–41. Según lo citado por Boben et al. (2006) .
- Zacharias, Max (1951), "Streifzüge im Reich der Konfigurationen: Eine Reyesche Konfiguration (15 3 ), Stern- und Kettenkonfigurationen", Mathematische Nachrichten , 5 : 329–345, doi : 10.1002 / mana.19510050602 , MR 0043473.
enlaces externos
- Weisstein, Eric W. "Configuración de Cremona-Richmond" . MathWorld .
- Imagen de la configuración de Crema-Richmond
- Imagen de la configuración de Crema-Richmond