En matemáticas , una superficie cúbica es una superficie en un espacio tridimensional definido por una ecuación polinomial de grado 3. Las superficies cúbicas son ejemplos fundamentales en geometría algebraica . La teoría se simplifica al trabajar en un espacio proyectivo en lugar de un espacio afín , por lo que las superficies cúbicas generalmente se consideran en el espacio proyectivo de 3. La teoría también se vuelve más uniforme al enfocarse en superficies sobre los números complejos en lugar de los números reales ; tenga en cuenta que una superficie compleja tiene una dimensión real 4. Un ejemplo simple es la superficie cúbica de Fermat
en . Muchas propiedades de las superficies cúbicas se mantienen de manera más general para las superficies del Pezzo .
Racionalidad de las superficies cúbicas
Una característica central de las superficies cúbicas lisas X sobre un campo algebraicamente cerrado es que todas son racionales , como lo demostró Alfred Clebsch en 1866. [1] Es decir, existe una correspondencia biunívoca definida por funciones racionales entre las aviónmenos un subconjunto de dimensiones inferiores y X menos un subconjunto de dimensiones inferiores. De manera más general, toda superficie cúbica irreducible (posiblemente singular) sobre un campo algebraicamente cerrado es racional a menos que sea el cono proyectivo sobre una curva cúbica. [2] En este sentido, las superficies cúbicas son mucho más simples que las superficies lisas de grado al menos 4 en, que nunca son racionales. En característica cero, superficies lisas de grado al menos 4 pulg.ni siquiera son uniruled . [3]
Con más fuerza, Clebsch demostró que cada superficie cúbica lisa en sobre un campo algebraicamente cerrado es isomorfo a la explosión deen 6 puntos. [4] Como resultado, cada superficie cúbica lisa sobre los números complejos es difeomórfica a la suma conectada , donde el signo menos se refiere a un cambio de orientación . Por el contrario, la explosión deen 6 puntos es isomorfo a una superficie cúbica si y solo si los puntos están en posición general, lo que significa que no hay tres puntos en una línea y los 6 no están en una cónica . Como variedad compleja (o variedad algebraica ), la superficie depende de la disposición de esos 6 puntos.
27 líneas en una superficie cúbica
La mayoría de las pruebas de racionalidad para superficies cúbicas comienzan por encontrar una línea en la superficie. (En el contexto de la geometría proyectiva, una línea en es isomorfo a .) Más precisamente, Arthur Cayley y George Salmon demostraron en 1849 que cada superficie cúbica lisa sobre un campo algebraicamente cerrado contiene exactamente 27 líneas. [5] Esta es una característica distintiva de los cúbicos: una superficie cuádrica lisa (grado 2) está cubierta por una familia continua de líneas, mientras que la mayoría de las superficies de grado al menos 4 pulg.no contienen líneas. Otra técnica útil para encontrar las 27 líneas implica el cálculo de Schubert que calcula el número de líneas utilizando la teoría de la intersección de Grassmannian de líneas en.
A medida que se varían los coeficientes de una superficie cúbica compleja lisa, las 27 líneas se mueven continuamente. Como resultado, un circuito cerrado en la familia de superficies cúbicas lisas determina una permutación de las 27 líneas. El grupo de permutaciones de las 27 líneas que surgen de esta manera se denomina grupo de monodromía de la familia de superficies cúbicas. Un descubrimiento notable del siglo XIX fue que el grupo de la monodromía no es ni trivial ni todo el grupo simétrico. ; es un grupo de orden 51840 , que actúa transitivamente sobre el conjunto de líneas. [4] Este grupo fue reconocido gradualmente (por Élie Cartan (1896), Arthur Coble (1915-17) y Patrick du Val (1936)) como el grupo de Weyl de tipo, un grupo generado por reflexiones sobre un espacio vectorial real de 6 dimensiones, relacionado con el grupo de Liede dimensión 78. [4]
El mismo grupo de orden 51840 se puede describir en términos combinatorios, como el grupo de automorfismo de la gráfica de las 27 líneas, con un vértice para cada línea y un borde cada vez que dos líneas se encuentran. [6] Este gráfico se analizó en el siglo XIX utilizando subgrafos como la configuración de seis dobles de Schläfli . El gráfico complementario (con un borde siempre que dos líneas estén separadas) se conoce como el gráfico de Schläfli .
Muchos problemas sobre superficies cúbicas se pueden resolver utilizando la combinatoria de sistema raíz . Por ejemplo, las 27 líneas se pueden identificar con los pesos de la representación fundamental del grupo de Lie.. Los posibles conjuntos de singularidades que pueden ocurrir en una superficie cúbica se pueden describir en términos de subsistemas de lasistema raíz. [7] Una explicación de esta conexión es que ella celosía surge como el complemento ortogonal a la clase anticanónicaen el grupo Picard , con su forma de intersección (procedente de la teoría de intersección de curvas en una superficie). Para una superficie cúbica compleja y lisa, la celosía Picard también se puede identificar con el grupo de cohomología.
Un punto de Eckardt es un punto donde se encuentran 3 de las 27 líneas. La mayoría de las superficies cúbicas no tienen un punto de Eckardt, pero tales puntos ocurren en un subconjunto de codimensión -1 de la familia de todas las superficies cúbicas lisas. [8]
Dada una identificación entre una superficie cúbica en X y la explosión deen 6 puntos en posición general, las 27 líneas en X se pueden ver como: las 6 curvas excepcionales creadas al explotar, las transformaciones biracionales de las 15 líneas a través de pares de los 6 puntos en, y las transformaciones biracionales de las 6 cónicas que contienen todos menos uno de los 6 puntos. [9] Una superficie cúbica determinada puede verse como una explosión de en más de una forma (de hecho, de 72 formas diferentes), por lo que una descripción como una explosión no revela la simetría entre las 27 líneas.
La relación entre superficies cúbicas y la El sistema de raíces se generaliza a una relación entre todas las superficies y sistemas de raíces del Pezzo. Esta es una de las muchas clasificaciones ADE en matemáticas. Siguiendo estas analogías, Vera Serganova y Alexei Skorobogatov dieron una relación geométrica directa entre las superficies cúbicas y el grupo de Lie.. [10]
En física, las 27 líneas se pueden identificar con las 27 cargas posibles de la teoría M en un toro de seis dimensiones (6 momentos; 15 membranas ; 6 cincobranes ) y el grupo E 6 entonces actúa naturalmente como el grupo de dualidad U. Este mapa entre las superficies de Del Pezzo y la teoría M en toros se conoce como dualidad misteriosa .
Superficies cúbicas especiales
La superficie cúbica compleja y lisa en con el grupo de automorfismos más grande es la superficie cúbica de Fermat, definida por
Su grupo de automorfismo es una extensión , del auto 648. [11]
La siguiente superficie cúbica lisa más simétrica es la superficie Clebsch , que se puede definir en por las dos ecuaciones
Su grupo de automorfismo es el grupo simétrico , de orden 120. Después de un complejo cambio lineal de coordenadas, la superficie de Clebsch también se puede definir mediante la ecuación
en .
Entre las superficies cúbicas complejas singulares, la superficie cúbica nodal de Cayley es la superficie única con el número máximo de nodos , 4:
Su grupo de automorfismo es , de orden 24.
Superficies cúbicas reales
En contraste con el caso complejo, el espacio de superficies cúbicas lisas sobre los números reales no está conectado en la topología clásica (basada en la topología de R ). Sus componentes conectados (en otras palabras, la clasificación de superficies cúbicas reales lisas hasta la isotopía ) fueron determinados por Ludwig Schläfli (1863), Felix Klein (1865) y HG Zeuthen (1875). [12] A saber, hay 5 clases de isotopías de superficies cúbicas reales lisas X en, que se distingue por la topología del espacio de puntos reales . El espacio de puntos reales es difeomórfico a cualquiera, o la unión disjunta de y la 2-esfera, donde denota la suma conectada de r copias del plano proyectivo real . En consecuencia, el número de líneas reales contenidas en X es 27, 15, 7, 3 o 3.
Una superficie cúbica real lisa es racional sobre R si y solo si su espacio de puntos reales está conectado, por lo tanto, en los primeros cuatro de los cinco casos anteriores. [13]
El número medio de líneas reales en X es[14] cuando el polinomio definitorio para X se muestrea al azar del conjunto gaussiano inducido por el producto interno de Bombieri .
El espacio de módulos de superficies cúbicas.
Dos superficies cúbicas lisas son isomorfas como variedades algebraicas si y solo si son equivalentes por algún automorfismo lineal de . La teoría de invariantes geométricos da un espacio de módulos de superficies cúbicas, con un punto para cada clase de isomorfismo de superficies cúbicas lisas. Este espacio de módulos tiene dimensión 4. Más precisamente, es un subconjunto abierto del espacio proyectivo ponderado P (12345), de Salmon y Clebsch (1860). En particular, es un cuádruple racional. [15]
El cono de curvas
Las líneas en una superficie cúbica X sobre un campo algebraicamente cerrado se pueden describir intrínsecamente, sin referencia a la incrustación de X en: son exactamente las (−1) -curvas en X , lo que significa que las curvas son isomorfas aque tienen auto-intersección -1. Además, las clases de líneas en la celosía Picard de X (o, de manera equivalente, el grupo de clases divisor ) son exactamente los elementos u de Pic ( X ) tales que y . (Esto usa que la restricción del paquete de líneas de hiperplano O (1) ena X es el paquete de líneas anticanónicas, por la fórmula adjunta .)
Para cualquier variedad proyectiva X , el cono de curvas significa el cono convexo atravesado por todas las curvas en X (en el espacio vectorial realde equivalencia numérica de módulo de 1 ciclos, o en el grupo de homología si el campo base son los números complejos). Para una superficie cúbica, el cono de curvas está atravesado por las 27 líneas. [16] En particular, es un cono poliédrico racional en con un gran grupo de simetría, el grupo Weyl de . Existe una descripción similar del cono de curvas para cualquier superficie del Pezzo.
Superficies cúbicas sobre un campo
Una superficie cúbica lisa X sobre un campo k que no es algebraicamente cerrado no necesita ser racional sobre k . Como caso extremo, hay superficies cúbicas lisas sobre los números racionales Q (o los números p-ádicos ) sin puntos racionales , en cuyo caso X ciertamente no es racional. [17] Si X ( k ) no está vacío, entonces X es al menos uniracional sobre k , por Beniamino Segre y János Kollár . [18] Para k infinito, unirationality implica que el conjunto de k puntos -racional es Zariski denso en X .
El grupo de Galois absoluto de k permuta las 27 líneas de X sobre el cierre algebraicode k (a través de algún subgrupo del grupo Weyl de). Si alguna órbita de esta acción consta de líneas disjuntas, entonces X es el estallido de una superficie de Del Pezzo "más simple" sobre k en un punto cerrado. De lo contrario, X tiene el número Picard 1. (El grupo Picard de X es un subgrupo del grupo Picard geométrico.) En el último caso, Segre demostró que X nunca es racional. Más fuertemente, Yuri Manin demostró una afirmación de rigidez biracional: dos superficies cúbicas lisas con Picard número 1 sobre un campo perfecto k son biracionales si y solo si son isomórficas. [19] Por ejemplo, estos resultados dan muchas superficies cúbicas sobre Q que son uniracionales pero no racionales.
Superficies cúbicas singulares
En contraste con las superficies cúbicas lisas que contienen 27 líneas, las superficies cúbicas singulares contienen menos líneas. [20] Además, se pueden clasificar por el tipo de singularidad que surge en su forma normal. Estas singularidades se clasifican mediante diagramas de Dynkin .
Clasificación
Una superficie cúbica singular normal en con coordenadas locales se dice que está en forma normal si está dado por. Según el tipo de singularidadcontiene, es isomorfo a la superficie proyectiva en dada por dónde son como en la siguiente tabla. Eso significa que podemos obtener una clasificación de todas las superficies cúbicas singulares. Los parámetros de la siguiente tabla son los siguientes: son tres elementos distintos de , Los parametros estan en y es un elemento de . Observe que hay dos superficies cúbicas singulares diferentes con singularidad. [21]
Singularidad | ||
---|---|---|
En forma normal, siempre que una superficie cúbica contiene al menos uno singularidad, tendrá una singularidad en . [20]
Líneas sobre superficies cúbicas singulares
Según la clasificación de superficies cúbicas singulares, la siguiente tabla muestra el número de líneas que contiene cada superficie.
Singularidad | |||||||||||||||||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
No. de líneas | 21 | dieciséis | 11 | 12 | 7 | 8 | 9 | 4 | 5 | 5 | 2 | 15 | 7 | 3 | 10 | 6 | 3 | 6 | 3 | 1 |
Grupos de automorfismos de superficies cúbicas singulares sin parámetros
Un automorfismo de una superficie cúbica singular normales la restricción de un automprismo del espacio proyectivo a . Tales automorfismos conservan puntos singulares. Además, no permutan singularidades de diferentes tipos. Si la superficie contiene dos singularidades del mismo tipo, el automorfismo puede permutarlas. La colección de automorfismos en una superficie cúbica forma un grupo , el llamado grupo de automorfismos . La siguiente tabla muestra todos los grupos de automorfismos de superficies cúbicas singulares sin parámetros.
Singularidad | Grupo de automorfismo de |
---|---|
, el grupo simétrico de orden | |
Ver también
- Superficie algebraica
- Clasificación de Enriques-Kodaira
- Variedad Fano
- Cálculo de Schubert
Notas
- ^ Reid (1988), Corolario 7.4.
- ^ Kollár, Smith, Corti (2004), ejemplo 1.28.
- ^ Kollár, Smith, Corti (2004), Ejercicio 1.59.
- ↑ a b c Dolgachev (2012), Capítulo 9, Notas históricas.
- ^ Reid (1988), sección 7.6.
- ^ Hartshorne (1997), ejercicio V.4.11.
- ^ Bruce y Wall (1979), sección 4; Dolgachev (2012), cuadro 9.1.
- ^ Dolgachev (2012), sección 9.1.4.
- ^ Hartshorne (1997), Teorema V.4.9.
- ^ Serganova y Skorobogatov (2007).
- ^ Dolgachev (2012), tabla 9.6.
- ^ Degtyarev y Kharlamov (2000), sección 3.5.2. Los diversos tipos de superficies cúbicas reales, y las líneas en ellas, se muestran en Holzer & Labs (2006).
- ^ Silhol (1989), sección VI.5.
- ^ Basu, S .; Lerario, A .; Lundberg, E .; Peterson, C. (2019). "Campos aleatorios y geometría enumerativa de líneas en hipersuperficies reales y complejas" . Mathematische Annalen . 374 : 1773–1810. arXiv : 1610.01205 . doi : 10.1007 / s00208-019-01837-0 .
- ^ Dolgachev (2012), ecuación (9.57).
- ^ Hartshorne (1997), Teorema V.4.11.
- ^ Kollár, Smith, Corti (2004), Ejercicio 1.29.
- ^ Kollár, Smith, Corti (2004), Teoremas 1.37 y 1.38.
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Referencias
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enlaces externos
- O'Connor, John J .; Robertson, Edmund F. , "Superficie cúbica" , archivo MacTutor de Historia de las Matemáticas , Universidad de St Andrews
- Lines on a Cubic Surface de Ryan Hoban (The Experimental Geometry Lab en la Universidad de Maryland), basado en el trabajo de William Goldman, The Wolfram Demonstrations Project .
- El DVD Cubic Surfaces (54 animaciones de superficies cúbicas, descargables por separado o como DVD)