Acumulante

En teoría de probabilidad y estadística , los acumulados κ _n de una distribución de probabilidad son un conjunto de cantidades que proporcionan una alternativa a los momentos de la distribución. Los momentos determinan los acumulados en el sentido de que cualesquiera dos distribuciones de probabilidad cuyos momentos sean idénticos también tendrán acumulados idénticos y, de manera similar, los acumulados determinan los momentos.

El primer acumulado es la media , el segundo acumulativo es la varianza y el tercer acumulado es el mismo que el tercer momento central . Pero los acumulados de cuarto orden y de orden superior no son iguales a los momentos centrales. En algunos casos, los tratamientos teóricos de problemas en términos de acumulaciones son más simples que los que utilizan momentos. En particular, cuando dos o más variables aleatorias son estadísticamente independientes , la n ^º -order cumulante de su suma es igual a la suma de su n ^º cumulantes -order. Además, los acumulados de tercer orden y de orden superior de una distribución normal son cero y es la única distribución con esta propiedad.

Al igual que para los momentos, donde los momentos conjuntos se utilizan para colecciones de variables aleatorias, es posible definir acumuladores conjuntos .

Definición

Los acumulados de una variable aleatoria X se definen utilizando la función generadora de acumuladores K ( t ) , que es el logaritmo natural de la función generadora de momentos :

${\displaystyle K(t)=\log \operatorname {E} \left[e^{tX}\right].}$

Los acumulados κ _n se obtienen a partir de una expansión en serie de potencias de la función generadora de acumulados:

${\displaystyle K(t)=\sum _{n=1}^{\infty }\kappa _{n}{\frac {t^{n}}{n!}}=\kappa _{1}{\frac {t}{1!}}+\kappa _{2}{\frac {t^{2}}{2!}}+\kappa _{3}{\frac {t^{3}}{3!}}+\cdots =\mu t+\sigma ^{2}{\frac {t^{2}}{2}}+\cdots .}$

Esta expansión es una serie de Maclaurin , por lo que el n -ésimo acumulativo se puede obtener diferenciando la expansión anterior n veces y evaluando el resultado en cero: ^[1]

${\displaystyle \kappa _{n}=K^{(n)}(0).}$

Si la función generadora de momentos no existe, los acumulados se pueden definir en términos de la relación entre los acumulados y los momentos que se comentan más adelante.

Definición alternativa de la función de generación acumulada

Algunos escritores ^{[2] [3]} prefieren definir la función generadora de acumuladores como el logaritmo natural de la función característica , que a veces también se denomina segunda función característica, ^{[4] [5]}

${\displaystyle H(t)=\log \operatorname {E} \left[e^{itX}\right]=\sum _{n=1}^{\infty }\kappa _{n}{\frac {(it)^{n}}{n!}}=\mu it-\sigma ^{2}{\frac {t^{2}}{2}}+\cdots }$

Una ventaja de H ( t ) —en cierto sentido la función K ( t ) evaluada para argumentos puramente imaginarios — es que E [ e ^itX ] está bien definida para todos los valores reales de t incluso cuando E [ e ^tX ] no está bien definida para todos los valores reales de t , como puede ocurrir cuando hay "demasiada" probabilidad de que X tenga una gran magnitud. Aunque la función H ( t ) estará bien definida, no obstante imitará a K ( t )en términos de la longitud de su serie de Maclaurin , que puede no extenderse más allá (o, rara vez, incluso) del orden lineal en el argumento  t , y en particular el número de acumulados que están bien definidos no cambiará. Sin embargo, incluso cuando H ( t ) no tiene una serie de Maclaurin larga, se puede usar directamente para analizar y, particularmente, agregar variables aleatorias. Tanto la distribución de Cauchy (también llamada Lorentziana) como, de manera más general, las distribuciones estables (relacionadas con la distribución de Lévy) son ejemplos de distribuciones para las cuales las expansiones en series de potencia de las funciones generadoras tienen solo un número finito de términos bien definidos.

Usos en estadística

Trabajar con acumuladores puede tener una ventaja sobre el uso de momentos porque para las variables aleatorias X e Y estadísticamente independientes ,

${\displaystyle {\begin{aligned}K_{X+Y}(t)&=\log \operatorname {E} \left[e^{t(X+Y)}\right]\\[5pt]&=\log \left(\operatorname {E} \left[e^{tX}\right]\operatorname {E} \left[e^{tY}\right]\right)\\[5pt]&=\log \operatorname {E} \left[e^{tX}\right]+\log \operatorname {E} \left[e^{tY}\right]\\[5pt]&=K_{X}(t)+K_{Y}(t),\end{aligned}}}$

de modo que cada acumulado de una suma de variables aleatorias independientes es la suma de los correspondientes acumulados de los sumandos . Es decir, cuando los sumandos son estadísticamente independientes, la media de la suma es la suma de las medias, la varianza de la suma es la suma de las varianzas, el tercer acumulado (que resulta ser el tercer momento central) de la suma es la suma de los terceros acumulados, y así sucesivamente para cada orden de acumulados.

Una distribución con acumulados dados κ _n se puede aproximar mediante una serie de Edgeworth .

Acumulantes de algunas distribuciones de probabilidad discretas

• Las variables aleatorias constantes X = μ . La función de generación acumulada es K ( t ) = μt . El primer acumulado es κ ₁ = K  '(0) = μ y los otros acumulados son cero, κ ₂ = κ ₃ = κ ₄ = ... = 0 .
• Las distribuciones de Bernoulli , (número de éxitos en un ensayo con probabilidad p de éxito). La función de generación acumulada es K ( t ) = log (1 -  p  +  p e ^t ) . Los primeros cumulantes son κ ₁ = K  '(0) = p y κ ₂ = K' ' (0) = p · (1 -  p ) . Los acumulados satisfacen una fórmula de recursividad

${\displaystyle \kappa _{n+1}=p(1-p){\frac {d\kappa _{n}}{dp}}.}$

• Las distribuciones geométricas , (número de fracasos antes de un éxito con probabilidad p de éxito en cada ensayo). La función de generación acumulada es K ( t ) = log ( p / (1 + ( p  - 1) e ^t )) . Los primeros cumulantes son κ ₁ = K ' (0) = p ^-1 - 1 , y κ ₂ = K' ' (0) = κ ₁ p ^-1 . Sustituyendo p = ( μ + 1) ⁻¹ da K (t ) = −log (1 + μ (1 − e ^t )) y κ ₁ = μ .
• Las distribuciones de Poisson . La función de generación acumulada es K ( t ) = μ (e ^t  - 1) . Todos los acumulados son iguales al parámetro: κ ₁ = κ ₂ = κ ₃ = ... = μ .
• Las distribuciones binomiales , (número de éxitos en n ensayos independientes con probabilidad p de éxito en cada ensayo). El caso especial n = 1 es una distribución de Bernoulli. Cada acumulado es solo n veces el acumulado correspondiente de la distribución de Bernoulli correspondiente. La función de generación acumulada es K ( t ) = n  log (1 -  p  +  p e ^t ) . Los primeros acumulados son κ ₁ = K ′ (0) = np y κ ₂ =K ′ ′ (0) = κ ₁ (1 - p ) . Sustituyendo p = μ · n ⁻¹ da K  '( t ) = ((μ ⁻¹ - n ⁻¹ ) · e ^{- t} + n ⁻¹ ) ⁻¹ y κ ₁ = μ . El caso límite n ⁻¹ = 0 es una distribución de Poisson.
• Las distribuciones binomiales negativas , (número de fracasos antes de r éxitos con probabilidad p de éxito en cada ensayo). El caso especial r = 1 es una distribución geométrica. Cada acumulado es solo r veces el acumulado correspondiente de la distribución geométrica correspondiente. La derivada de la función generadora acumulativa es K  '( t ) =  r · ((1 -  p ) ⁻¹ · e ^{- t} −1) ⁻¹ . Los primeros acumulados son κ ₁  =  K  '(0) =  r · ( p⁻¹ −1) y κ ₂  =  K  '' (0) = κ ₁ · p ⁻¹ . Sustituyendo p  = (μ · r ⁻¹ +1) ⁻¹ da K ′ ( t ) = (( μ ⁻¹ + r ⁻¹ ) e ^{- t} - r ⁻¹ ) ⁻¹ y κ ₁ = μ . La comparación de estas fórmulas con las de las distribuciones binomiales explica el nombre "distribución binomial negativa". El caso límite r ⁻¹= 0 es una distribución de Poisson.

Presentamos la relación entre varianza y media

${\displaystyle \varepsilon =\mu ^{-1}\sigma ^{2}=\kappa _{1}^{-1}\kappa _{2},}$

las distribuciones de probabilidad anteriores obtienen una fórmula unificada para la derivada de la función generadora acumulativa: ^{[ cita requerida ]}

${\displaystyle K'(t)=\mu \cdot (1+\varepsilon \cdot (e^{-t}-1))^{-1}.}$

La segunda derivada es

${\displaystyle K''(t)=g'(t)\cdot (1+e^{t}\cdot (\varepsilon ^{-1}-1))^{-1}}$

confirmando que el primer acumulante es κ ₁ = K ′ (0) = μ y el segundo acumulante es κ ₂ = K ′ ′ (0) = με . Las variables aleatorias constantes X = μ tienen ε = 0 . Las distribuciones binomiales tienen ε = 1 - p de modo que 0 < ε <1 . Las distribuciones de Poisson tienen ε = 1 . Las distribuciones binomiales negativas tienen ε = p ^{−1 de} modo que ε > 1. Nótese la analogía con la clasificación de las secciones cónicas por excentricidad : círculos ε = 0 , elipses 0 < ε <1 , parábolas ε = 1 , hipérbolas ε > 1 .

Acumulantes de algunas distribuciones de probabilidad continuas

• Para la distribución normal con valor esperado μ y varianza σ ² , la función de generación de cumulante es K ( t ) = mT + σ ² t ² /2 . La primera y segunda derivadas de la función generadora de acumuladores son K  '( t ) =  μ  +  σ ² · t y K "( t ) =  σ ^2. Los acumulados son κ ₁  =  μ , κ₂  =  σ ² y κ ₃  =  κ ₄  = ... = 0 . El caso especial σ ²  = 0 es una variable aleatoria constante X  =  μ .
• Los acumulados de la distribución uniforme en el intervalo [−1, 0] son κ _n = B _n / n , donde B _n es el n- ^ésimo número de Bernoulli .
• ¡Los acumulados de la distribución exponencial con el parámetro λ son κ _n = λ ^{- n}  ( n  - 1)! .

Algunas propiedades de la función generadora de acumuladores

La función generadora acumulativa K ( t ), si existe, es infinitamente diferenciable y convexa , y pasa por el origen. Su primera derivada varía monótonamente en el intervalo abierto desde el mínimo al superior del soporte de la distribución de probabilidad, y su segunda derivada es estrictamente positiva en todos los lugares donde se define, excepto por la distribución degenerada de una masa puntual única. La función generadora de acumuladores existe si y solo si las colas de la distribución están mayorizadas por un decaimiento exponencial , es decir, ( ver la notación Big O )

${\displaystyle {\begin{aligned}&\exists c>0,\,\,F(x)=O(e^{-cx}),x\to -\infty ;{\text{ and}}\\[4pt]&\exists d>0,\,\,1-F(x)=O(e^{-dx}),x\to +\infty ;\end{aligned}}}$

donde es la función de distribución acumulativa . La función generadora de acumuladores tendrá una asíntota (s) vertical (s) en el mínimo de tal c , si dicho mínimo existe, y en el supremo de tal d , si existe tal supremo; de lo contrario, se definirá para todos los números reales.${\displaystyle F}$

Si el soporte de una variable aleatoria X tiene límites superiores o inferiores finitos, entonces su función generadora de acumuladores y  =  K ( t ), si existe, se aproxima a la (s) asíntota (s) cuya pendiente es igual al supremo y / o al mínimo de la apoyo,

${\displaystyle {\begin{aligned}y&=(t+1)\inf \operatorname {supp} X-\mu (X),{\text{ and}}\\[5pt]y&=(t-1)\sup \operatorname {supp} X+\mu (X),\end{aligned}}}$

respectivamente, por encima de estas dos líneas en todas partes. (Las integrales

${\displaystyle \int _{-\infty }^{0}\left[t\inf \operatorname {supp} X-K'(t)\right]\,dt,\qquad \int _{\infty }^{0}\left[t\inf \operatorname {supp} X-K'(t)\right]\,dt}$

producir las intersecciones en y de estas asíntotas, ya que  K (0) = 0.)

Para un desplazamiento de la distribución en c , para una masa puntual degenerada en c , el cgf es la línea recta y, de manera más general, si y sólo si X e Y son independientes y sus cgfs existen; (la subindependencia y la existencia de segundos momentos bastan para implicar independencia ^[6] ).${\displaystyle K_{X+c}(t)=K_{X}(t)+ct.}$${\displaystyle K_{c}(t)=ct}$${\displaystyle K_{X+Y}=K_{X}+K_{Y}}$

La familia exponencial natural de una distribución se puede realizar desplazando o traduciendo K ( t ) y ajustándola verticalmente para que siempre pase por el origen: si f es la función de densidad de probabilidad con cgf y es su familia exponencial natural, entonces y${\displaystyle K(t)=\log M(t),}$${\displaystyle f|\theta }$${\displaystyle f(x\mid \theta )={\frac {1}{M(\theta )}}e^{\theta x}f(x),}$${\displaystyle K(t\mid \theta )=K(t+\theta )-K(\theta ).}$

Si K ( t ) es finito para un rango t ₁  <Re ( t ) <  t ₂ entonces si t ₁  <0 <  t ₂ entonces K ( t ) es analítico e infinitamente diferenciable para t ₁  <Re ( t ) <  t ₂ . Además, para t real y t ₁  <  t  <  t ₂ K ( t ) es estrictamente convexo, y K '( t ) es estrictamente creciente.^{[ cita requerida ]}

Algunas propiedades de los acumulantes

Invarianza y equivariancia

El primer acumulante es equivariante de desplazamiento ; todos los demás son invariantes a los cambios . Esto significa que, si denotamos por κ _n ( X ) el n -ésimo acumulativo de la distribución de probabilidad de la variable aleatoria X , entonces para cualquier constante c :

• ${\displaystyle \kappa _{1}(X+c)=\kappa _{1}(X)+c~{\text{ and}}}$
• ${\displaystyle \kappa _{n}(X+c)=\kappa _{n}(X)~{\text{ for }}~n\geq 2.}$

En otras palabras, cambiar una variable aleatoria (sumando c ) desplaza el primer acumulado (la media) y no afecta a ninguno de los demás.

Homogeneidad

El n -ésimo acumulativo es homogéneo de grado n , es decir, si c es cualquier constante, entonces

${\displaystyle \kappa _{n}(cX)=c^{n}\kappa _{n}(X).}$

Aditividad

Si X e Y son variables aleatorias independientes , entonces κ _n ( X  +  Y ) =  κ _n ( X ) +  κ _n ( Y ) .

Un resultado negativo

Dados los resultados para los acumulados de la distribución normal , podría esperarse encontrar familias de distribuciones para las cuales κ _m  =  κ _{m +1}  = ⋯ = 0 para algunos m  > 3 , con los acumulados de orden inferior (órdenes 3 am  - 1 ) ser distinto de cero. No existen tales distribuciones. ^[7] El resultado subyacente aquí es que la función generadora acumulativa no puede ser un polinomio de orden finito de grado mayor que 2.

Acumulantes y momentos

La función generadora de momentos viene dada por:

${\displaystyle M(t)=1+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu '_{n}t^{n}}{n!}}=\exp \left(\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\kappa _{n}t^{n}}{n!}}\right)=\exp(K(t)).}$

Entonces, la función generadora acumulada es el logaritmo de la función generadora de momentos

${\displaystyle K(t)=\log M(t).}$

El primer acumulado es el valor esperado ; el segundo y tercer acumulados son respectivamente el segundo y tercer momento central (el segundo momento central es la varianza ); pero los acumulados superiores no son momentos ni momentos centrales, sino funciones polinomiales más complicadas de los momentos.

Los momentos pueden ser recuperados en términos de cumulantes mediante la evaluación de la n -ésima derivada de a ,${\displaystyle \exp(K(t))}$${\displaystyle t=0}$

${\displaystyle \mu '_{n}=M^{(n)}(0)=\left.{\frac {\mathrm {d} ^{n}\exp(K(t))}{\mathrm {d} t^{n}}}\right|_{t=0}.}$

Asimismo, los acumulados se pueden recuperar en términos de momentos evaluando la n-ésima derivada de a ,${\displaystyle \log M(t)}$${\displaystyle t=0}$

${\displaystyle \kappa _{n}=K^{(n)}(0)=\left.{\frac {\mathrm {d} ^{n}\log M(t)}{\mathrm {d} t^{n}}}\right|_{t=0}.}$

La expresión explícita para el n -ésimo momento en términos de los primeros n acumulantes, y viceversa, se puede obtener utilizando la fórmula de Faà di Bruno para derivadas superiores de funciones compuestas. En general, tenemos

${\displaystyle \mu '_{n}=\sum _{k=1}^{n}B_{n,k}(\kappa _{1},\ldots ,\kappa _{n-k+1})}$

${\displaystyle \kappa _{n}=\sum _{k=1}^{n}(-1)^{k-1}(k-1)!B_{n,k}(\mu '_{1},\ldots ,\mu '_{n-k+1}),}$

donde son polinomios de Bell incompletos (o parciales) .${\displaystyle B_{n,k}}$

De la misma manera, si la media está dada por , la función generadora de momento central está dada por${\displaystyle \mu }$

${\displaystyle C(t)=\operatorname {E} [e^{t(x-\mu )}]=e^{-\mu t}M(t)=\exp(K(t)-\mu t),}$

y el n -ésimo momento central se obtiene en términos de acumulados como

${\displaystyle \mu _{n}=C^{(n)}(0)=\left.{\frac {\mathrm {d} ^{n}}{\mathrm {d} t^{n}}}\exp(K(t)-\mu t)\right|_{t=0}=\sum _{k=1}^{n}B_{n,k}(0,\kappa _{2},\ldots ,\kappa _{n-k+1}).}$

Además, para n  > 1, el n -ésimo acumulativo en términos de los momentos centrales es

${\displaystyle {\begin{aligned}\kappa _{n}&=K^{(n)}(0)=\left.{\frac {\mathrm {d} ^{n}}{\mathrm {d} t^{n}}}(\log C(t)+\mu t)\right|_{t=0}\\[4pt]&=\sum _{k=1}^{n}(-1)^{k-1}(k-1)!B_{n,k}(0,\mu _{2},\ldots ,\mu _{n-k+1}).\end{aligned}}}$

El n -ésimo momento μ ′ _n es un polinomio de n -ésimo grado en los primeros n acumulados. Las primeras expresiones son:

${\displaystyle {\begin{aligned}\mu '_{1}={}&\kappa _{1}\\[5pt]\mu '_{2}={}&\kappa _{2}+\kappa _{1}^{2}\\[5pt]\mu '_{3}={}&\kappa _{3}+3\kappa _{2}\kappa _{1}+\kappa _{1}^{3}\\[5pt]\mu '_{4}={}&\kappa _{4}+4\kappa _{3}\kappa _{1}+3\kappa _{2}^{2}+6\kappa _{2}\kappa _{1}^{2}+\kappa _{1}^{4}\\[5pt]\mu '_{5}={}&\kappa _{5}+5\kappa _{4}\kappa _{1}+10\kappa _{3}\kappa _{2}+10\kappa _{3}\kappa _{1}^{2}+15\kappa _{2}^{2}\kappa _{1}+10\kappa _{2}\kappa _{1}^{3}+\kappa _{1}^{5}\\[5pt]\mu '_{6}={}&\kappa _{6}+6\kappa _{5}\kappa _{1}+15\kappa _{4}\kappa _{2}+15\kappa _{4}\kappa _{1}^{2}+10\kappa _{3}^{2}+60\kappa _{3}\kappa _{2}\kappa _{1}+20\kappa _{3}\kappa _{1}^{3}\\&{}+15\kappa _{2}^{3}+45\kappa _{2}^{2}\kappa _{1}^{2}+15\kappa _{2}\kappa _{1}^{4}+\kappa _{1}^{6}.\end{aligned}}}$

El "primo" distingue los momentos μ ′ _n de los momentos centrales μ _n . Para expresar los momentos centrales como funciones de los acumulados, simplemente elimine de estos polinomios todos los términos en los que κ ₁ aparece como factor:

${\displaystyle {\begin{aligned}\mu _{1}&=0\\[4pt]\mu _{2}&=\kappa _{2}\\[4pt]\mu _{3}&=\kappa _{3}\\[4pt]\mu _{4}&=\kappa _{4}+3\kappa _{2}^{2}\\[4pt]\mu _{5}&=\kappa _{5}+10\kappa _{3}\kappa _{2}\\[4pt]\mu _{6}&=\kappa _{6}+15\kappa _{4}\kappa _{2}+10\kappa _{3}^{2}+15\kappa _{2}^{3}.\end{aligned}}}$

De manera similar, el n -ésimo acumulativo κ _n es un polinomio de n -ésimo grado en los primeros n momentos no centrales. Las primeras expresiones son:

${\displaystyle {\begin{aligned}\kappa _{1}={}&\mu '_{1}\\[4pt]\kappa _{2}={}&\mu '_{2}-{\mu '_{1}}^{2}\\[4pt]\kappa _{3}={}&\mu '_{3}-3\mu '_{2}\mu '_{1}+2{\mu '_{1}}^{3}\\[4pt]\kappa _{4}={}&\mu '_{4}-4\mu '_{3}\mu '_{1}-3{\mu '_{2}}^{2}+12\mu '_{2}{\mu '_{1}}^{2}-6{\mu '_{1}}^{4}\\[4pt]\kappa _{5}={}&\mu '_{5}-5\mu '_{4}\mu '_{1}-10\mu '_{3}\mu '_{2}+20\mu '_{3}{\mu '_{1}}^{2}+30{\mu '_{2}}^{2}\mu '_{1}-60\mu '_{2}{\mu '_{1}}^{3}+24{\mu '_{1}}^{5}\\[4pt]\kappa _{6}={}&\mu '_{6}-6\mu '_{5}\mu '_{1}-15\mu '_{4}\mu '_{2}+30\mu '_{4}{\mu '_{1}}^{2}-10{\mu '_{3}}^{2}+120\mu '_{3}\mu '_{2}\mu '_{1}\\&{}-120\mu '_{3}{\mu '_{1}}^{3}+30{\mu '_{2}}^{3}-270{\mu '_{2}}^{2}{\mu '_{1}}^{2}+360\mu '_{2}{\mu '_{1}}^{4}-120{\mu '_{1}}^{6}\end{aligned}}}$

Para expresar los acumulados κ _n para n > 1 como funciones de los momentos centrales, elimine de estos polinomios todos los términos en los que μ ' ₁ aparece como factor:

${\displaystyle \kappa _{2}=\mu _{2}\,}$

${\displaystyle \kappa _{3}=\mu _{3}\,}$

${\displaystyle \kappa _{4}=\mu _{4}-3{\mu _{2}}^{2}\,}$

${\displaystyle \kappa _{5}=\mu _{5}-10\mu _{3}\mu _{2}\,}$

${\displaystyle \kappa _{6}=\mu _{6}-15\mu _{4}\mu _{2}-10{\mu _{3}}^{2}+30{\mu _{2}}^{3}\,.}$

Para expresar los acumulados κ _n para n > 2 como funciones de los momentos centrales estandarizados , también establezca μ ' ₂ = 1 en los polinomios:

${\displaystyle \kappa _{3}=\mu _{3}\,}$

${\displaystyle \kappa _{4}=\mu _{4}-3\,}$

${\displaystyle \kappa _{5}=\mu _{5}-10\mu _{3}\,}$

${\displaystyle \kappa _{6}=\mu _{6}-15\mu _{4}-10{\mu _{3}}^{2}+30\,.}$

Los acumulados pueden relacionarse con los momentos diferenciando la relación log M ( t ) = K ( t ) con respecto a t , dando M ′ ( t ) = K ′ ( t ) M ( t ) , que convenientemente no contiene exponenciación o logaritmos. Igualando el coeficiente de t ^{n −1} en los lados izquierdo y derecho, usando μ ′ ₀ = 1 , y reordenando da la siguiente fórmula de recursividad para n≥ 1 : ^[8]

${\displaystyle \kappa _{n}=\mu '_{n}-\sum _{m=1}^{n-1}{n-1 \choose m-1}\kappa _{m}\mu _{n-m}'.}$

Acumulantes y set-particiones

Estos polinomios tienen una interpretación combinatoria notable : los coeficientes cuentan ciertas particiones de conjuntos . Una forma general de estos polinomios es

${\displaystyle \mu '_{n}=\sum _{\pi \,\in \,\Pi }\prod _{B\,\in \,\pi }\kappa _{|B|}}$

dónde

• π recorre la lista de todas las particiones de un conjunto de tamaño n ;
• " B ∈ π " significa que B es uno de los "bloques" en los que se divide el conjunto; y
• | B | es el tamaño del conjunto B .

Así, cada monomio es una constante multiplicada por un producto de acumulados en los que la suma de los índices es n (p. Ej., En el término κ ₃ κ ₂ ² κ ₁ , la suma de los índices es 3 + 2 + 2 + 1 = 8; esto aparece en el polinomio que expresa el octavo momento en función de los primeros ocho acumulados). Una partición del número entero n corresponde a cada término. El coeficiente de cada término es el número de particiones de un conjunto de n miembros que colapsan en esa partición del entero n cuando los miembros del conjunto se vuelven indistinguibles.

Acumulantes y combinatorios

Se puede encontrar una conexión adicional entre acumulativos y combinatorios en el trabajo de Gian-Carlo Rota , donde se estudian los vínculos con la teoría invariante , las funciones simétricas y las secuencias binomiales a través del cálculo umbral . ^[9]

Acumulantes conjuntos

El acumulado conjunto de varias variables aleatorias X ₁ , ...,  X _n se define mediante una función generadora de acumuladores similar

${\displaystyle K(t_{1},t_{2},\dots ,t_{n})=\log E(\mathrm {e} ^{\sum _{j=1}^{n}t_{j}X_{j}}).}$

Una consecuencia es que

${\displaystyle \kappa (X_{1},\dots ,X_{n})=\sum _{\pi }(|\pi |-1)!(-1)^{|\pi |-1}\prod _{B\in \pi }E\left(\prod _{i\in B}X_{i}\right)}$

donde π recorre la lista de todas las particiones de {1, ...,  n  }, B  recorre la lista de todos los bloques de la partición  π , y | π | es el número de partes de la partición. Por ejemplo,

${\displaystyle \kappa (X,Y,Z)=\operatorname {E} (XYZ)-\operatorname {E} (XY)\operatorname {E} (Z)-\operatorname {E} (XZ)\operatorname {E} (Y)-\operatorname {E} (YZ)\operatorname {E} (X)+2\operatorname {E} (X)\operatorname {E} (Y)\operatorname {E} (Z).\,}$

Si alguna de estas variables aleatorias es idéntica, p. Ej., Si X  =  Y , se aplican las mismas fórmulas, p. Ej.

${\displaystyle \kappa (X,X,Z)=\operatorname {E} (X^{2}Z)-2\operatorname {E} (XZ)\operatorname {E} (X)-\operatorname {E} (X^{2})\operatorname {E} (Z)+2\operatorname {E} (X)^{2}\operatorname {E} (Z),\,}$

aunque para variables tan repetidas hay fórmulas más concisas. Para vectores aleatorios de media cero,

${\displaystyle \kappa (X,Y,Z)=\operatorname {E} (XYZ).\,}$

${\displaystyle \kappa (X,Y,Z,W)=\operatorname {E} (XYZW)-\operatorname {E} (XY)\operatorname {E} (ZW)-\operatorname {E} (XZ)\operatorname {E} (YW)-\operatorname {E} (XW)\operatorname {E} (YZ).\,}$

El acumulado conjunto de una sola variable aleatoria es su valor esperado y el de dos variables aleatorias es su covarianza . Si algunas de las variables aleatorias son independientes de todas las demás, entonces cualquier acumulativo que involucre dos (o más) variables aleatorias independientes es cero. Si todas las n variables aleatorias son iguales, entonces el acumulador conjunto es el n -ésimo acumulativo ordinario.

El significado combinatorio de la expresión de momentos en términos de acumulados es más fácil de entender que el de acumulados en términos de momentos:

${\displaystyle \operatorname {E} (X_{1}\cdots X_{n})=\sum _{\pi }\prod _{B\in \pi }\kappa (X_{i}:i\in B).}$

Por ejemplo:

${\displaystyle \operatorname {E} (XYZ)=\kappa (X,Y,Z)+\kappa (X,Y)\kappa (Z)+\kappa (X,Z)\kappa (Y)+\kappa (Y,Z)\kappa (X)+\kappa (X)\kappa (Y)\kappa (Z).\,}$

Otra propiedad importante de los acumuladores conjuntos es la multilinealidad:

${\displaystyle \kappa (X+Y,Z_{1},Z_{2},\dots )=\kappa (X,Z_{1},Z_{2},\ldots )+\kappa (Y,Z_{1},Z_{2},\ldots ).\,}$

Así como el segundo acumulado es la varianza, el acumulado conjunto de solo dos variables aleatorias es la covarianza . La identidad familiar

${\displaystyle \operatorname {var} (X+Y)=\operatorname {var} (X)+2\operatorname {cov} (X,Y)+\operatorname {var} (Y)\,}$

generaliza a acumulativos:

${\displaystyle \kappa _{n}(X+Y)=\sum _{j=0}^{n}{n \choose j}\kappa (\,\underbrace {X,\dots ,X} _{j},\underbrace {Y,\dots ,Y} _{n-j}\,).\,}$

Acumulantes condicionales y ley de acumulación total

Artículo principal: ley de acumulación total

La ley de la expectativa total y la ley de la varianza total se generalizan naturalmente a los acumuladores condicionales. El caso n = 3, expresado en el lenguaje de los momentos (centrales) en lugar del de los acumulativos, dice

${\displaystyle \mu _{3}(X)=\operatorname {E} (\mu _{3}(X\mid Y))+\mu _{3}(\operatorname {E} (X\mid Y))+3\operatorname {cov} (\operatorname {E} (X\mid Y),\operatorname {var} (X\mid Y)).}$

En general, ^[10]

${\displaystyle \kappa (X_{1},\dots ,X_{n})=\sum _{\pi }\kappa (\kappa (X_{\pi _{1}}\mid Y),\dots ,\kappa (X_{\pi _{b}}\mid Y))}$

dónde

• la suma es sobre todas las particiones  π del conjunto {1, ...,  n  } de índices, y
• π ₁ , ...,  π _b son todos los "bloques" de la partición π ; la expresión κ ( X _{π m} ) indica que el conjunto acumulativo de las variables aleatorias cuyos índices están en ese bloque de la partición.

Relación con la física estadística

En física estadística, muchas cantidades extensivas , es decir, cantidades que son proporcionales al volumen o tamaño de un sistema dado, están relacionadas con acumulaciones de variables aleatorias. La conexión profunda es que en un sistema grande, una cantidad extensa como la energía o el número de partículas se puede considerar como la suma de (digamos) la energía asociada con un número de regiones casi independientes. El hecho de que los acumulados de estas variables aleatorias casi independientes se sumen (casi) hace que sea razonable esperar que grandes cantidades estén relacionadas con los acumulados.

Un sistema en equilibrio con un baño termal a temperatura T tiene una energía interna fluctuante E, que puede considerarse una variable aleatoria extraída de una distribución . La función de partición del sistema es${\displaystyle E\sim p(E)}$

${\displaystyle Z(\beta )=\langle \exp(-\beta E)\rangle ,\,}$

donde β = 1 / ( kT ) y k es la constante de Boltzmann y la notación se ha usado en lugar de para el valor esperado para evitar confusiones con la energía, E . Por tanto, el primer y el segundo acumulados de la energía E dan la energía media y la capacidad calorífica.${\displaystyle \langle A\rangle }$${\displaystyle \operatorname {E} [A]}$

${\displaystyle \langle E\rangle _{c}={\frac {\partial \log Z}{\partial (-\beta )}}=\langle E\rangle }$

${\displaystyle \langle E^{2}\rangle _{c}={\frac {\partial \langle E\rangle _{c}}{\partial (-\beta )}}=kT^{2}{\frac {\partial \langle E\rangle }{\partial T}}=kT^{2}C}$

La energía libre de Helmholtz expresada en términos de

${\displaystyle F(\beta )=-\beta ^{-1}\log Z(\beta )\,}$

además, conecta las cantidades termodinámicas con la función de generación acumulativa de la energía. Las propiedades termodinámicas que son derivadas de la energía libre, como su energía interna , entropía y capacidad calorífica específica , pueden expresarse fácilmente en términos de estos acumulados. Otra energía libre puede ser función de otras variables como el campo magnético o el potencial químico , p. Ej.${\displaystyle \mu }$

${\displaystyle \Omega =-\beta ^{-1}\log(\langle \exp(-\beta E-\beta \mu N)\rangle ),\,}$

donde N es el número de partículas y es el gran potencial. Una vez más la estrecha relación entre la definición de la energía libre y la función de generación de cumulante implica que varios derivados de esta energía libre pueden escribirse en términos de cumulantes conjuntos de E y N .${\displaystyle \Omega }$

Historia

Anders Hald analiza la historia de los acumulados . ^{[11] [12]}

Los acumuladores fueron introducidos por primera vez por Thorvald N. Thiele , en 1889, quien los llamó semiinvariantes . ^[13] Fueron llamados por primera vez acumulativos en un artículo de 1932 ^[14] de Ronald Fisher y John Wishart . Fisher recordó públicamente el trabajo de Thiele por parte de Neyman, quien también señala que las citas publicadas anteriormente de Thiele llamaron la atención de Fisher. ^[15] Stephen Stigler ha dicho ^{[ cita requerida ]} que el nombre acumulativo se le sugirió a Fisher en una carta de Harold Hotelling . En un artículo publicado en 1929, ^[16]Fisher las había llamado funciones de momento acumulativo . La función de partición en física estadística fue introducida por Josiah Willard Gibbs en 1901. ^{[ cita requerida ]} La energía libre a menudo se llama energía libre de Gibbs. En mecánica estadística , las acumulaciones también se conocen como funciones de Ursell relacionadas con una publicación en 1927. ^{[ cita requerida ]}

Acumulantes en entornos generalizados

Acumulantes formales

De manera más general, los acumulados de una secuencia { m _n  : n = 1, 2, 3, ...}, no necesariamente los momentos de cualquier distribución de probabilidad, son, por definición,

${\displaystyle 1+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {m_{n}t^{n}}{n!}}=\exp \left(\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\kappa _{n}t^{n}}{n!}}\right),}$

donde los valores de κ _n para n = 1, 2, 3, ... se encuentran formalmente, es decir, solo por álgebra, sin tener en cuenta las preguntas de si alguna serie converge. Todas las dificultades del "problema de los acumuladores" están ausentes cuando se trabaja formalmente. El ejemplo más simple es que el segundo acumulativo de una distribución de probabilidad siempre debe ser no negativo y es cero solo si todos los acumulados superiores son cero. Los acumuladores formales no están sujetos a tales restricciones.

Números de campana

En combinatoria , el n -ésimo número de Bell es el número de particiones de un conjunto de tamaño n . Todos los acumulados de la secuencia de números de Bell son iguales a 1 . Los números de Bell son los momentos de la distribución de Poisson con valor esperado 1 .

Acumulantes de una secuencia polinomial de tipo binomial

Para cualquier secuencia {κ _n  : n = 1, 2, 3, ...} de escalares en un campo de característica cero, considerándose acumulados formales, existe una secuencia correspondiente {μ ′: n = 1, 2, 3, ...} de momentos formales, dado por los polinomios anteriores. ^{[Se necesita aclaración ] [Se necesita cita ]} Para esos polinomios, construya una secuencia polinomial de la siguiente manera. Fuera del polinomio

${\displaystyle {\begin{aligned}\mu '_{6}={}&\kappa _{6}+6\kappa _{5}\kappa _{1}+15\kappa _{4}\kappa _{2}+15\kappa _{4}\kappa _{1}^{2}+10\kappa _{3}^{2}+60\kappa _{3}\kappa _{2}\kappa _{1}+20\kappa _{3}\kappa _{1}^{3}\\&{}+15\kappa _{2}^{3}+45\kappa _{2}^{2}\kappa _{1}^{2}+15\kappa _{2}\kappa _{1}^{4}+\kappa _{1}^{6}\end{aligned}}}$

haga un nuevo polinomio en estos más una variable adicional x :

${\displaystyle {\begin{aligned}p_{6}(x)={}&\kappa _{6}\,x+(6\kappa _{5}\kappa _{1}+15\kappa _{4}\kappa _{2}+10\kappa _{3}^{2})\,x^{2}+(15\kappa _{4}\kappa _{1}^{2}+60\kappa _{3}\kappa _{2}\kappa _{1}+15\kappa _{2}^{3})\,x^{3}\\&{}+(45\kappa _{2}^{2}\kappa _{1}^{2})\,x^{4}+(15\kappa _{2}\kappa _{1}^{4})\,x^{5}+(\kappa _{1}^{6})\,x^{6},\end{aligned}}}$

y luego generalizar el patrón. El patrón es que el número de bloques en las particiones antes mencionadas son los exponentes de x . Cada coeficiente es un polinomio en los acumulados; estos son los polinomios de Bell , que llevan el nombre de Eric Temple Bell . ^{[ cita requerida ]}

Esta secuencia de polinomios es de tipo binomial . De hecho, no existen otras secuencias de tipo binomial; cada secuencia polinomial de tipo binomial está completamente determinada por su secuencia de acumulantes formales. ^{[ cita requerida ]}

Acumulantes gratis

En la fórmula de momento acumulativo anterior

${\displaystyle E(X_{1}\cdots X_{n})=\sum _{\pi }\prod _{B\,\in \,\pi }\kappa (X_{i}:i\in B)}$

para acumuladores conjuntos, uno suma todas las particiones del conjunto {1, ..., n }. Si, en cambio, se suman solo las particiones que no se cruzan , entonces, al resolver estas fórmulas para el en términos de los momentos, se obtienen acumuladores gratuitos en lugar de acumulados convencionales tratados anteriormente. Estos acumuladores libres fueron introducidos por Roland Speicher y juegan un papel central en la teoría de la probabilidad libre . ^{[17] [18]} En esa teoría, en lugar de considerar la independencia de las variables aleatorias , definidas en términos de productos tensoriales de álgebras de variables aleatorias, se considera en cambio${\displaystyle \kappa }$independencia libre de variables aleatorias, definida en términos de productos libres de álgebras. ^[18]

Los acumulados ordinarios de grado superior a 2 de la distribución normal son cero. Los acumulados libres de grado superior a 2 de la distribución del semicírculo de Wigner son cero. ^[18] Este es un aspecto en el que el papel de la distribución de Wigner en la teoría de la probabilidad libre es análogo al de la distribución normal en la teoría de la probabilidad convencional.

Ver también

• Valor entrópico en riesgo
• Función de generación acumulada de un multiset
• Expansión de Cornish-Fisher
• Expansión de Edgeworth
• Polykay
• Estadístico k , un estimador insesgado de varianza mínima de un
• Función Ursell
• Tensor de dispersión de posición total como una aplicación de acumuladores para analizar la función de onda electrónica en química cuántica .

Referencias

1. Weisstein, Eric W. "Cumulant". De MathWorld - Un recurso web de Wolfram. http://mathworld.wolfram.com/Cumulant.html
2. Kendall, MG, Stuart, A. (1969) La teoría avanzada de la estadística , volumen 1 (tercera edición). Griffin, Londres. (Sección 3.12)
3. Lukacs, E. (1970) Funciones características (segunda edición). Griffin, Londres. (Página 27)
4. Lukacs, E. (1970) Funciones características (segunda edición). Griffin, Londres. (Sección 2.4)
5. Aapo Hyvarinen, Juha Karhunen y Erkki Oja (2001) Análisis de componentes independientes , John Wiley & Sons . (Sección 2.7.2)
6. Hamedani, GG; Volkmer, Hans; Behboodian, J. (1 de marzo de 2012). "Una nota sobre variables aleatorias sub-independientes y una clase de mezclas bivariadas". Studia Scientiarum Mathematicarum Hungarica . 49 (1): 19-25. doi : 10.1556 / SScMath.2011.1183 .
7. Lukacs, E. (1970) Funciones características (segunda edición), Griffin, Londres. (Teorema 7.3.5)
8. Smith, Peter J. (mayo de 1995). "Una formulación recursiva del viejo problema de obtener momentos de acumulantes y viceversa" . El estadístico estadounidense . 49 (2): 217–218. doi : 10.2307 / 2684642 .
9. Rota, G.-C .; Shen, J. (2000). "Sobre la combinatoria de los acumuladores" . Revista de teoría combinatoria . Serie A. 91 (1–2): 283–304. doi : 10.1006 / jcta.1999.3017 .
10. Brillinger, DR (1969). "El Cálculo de Acumulantes vía Acondicionamiento". Anales del Instituto de Matemática Estadística . 21 : 215-218. doi : 10.1007 / bf02532246 .
11. Hald, A. (2000) "La historia temprana de los acumulados y la serie Gram-Charlier " International Statistical Review , 68 (2): 137-153. (Reimpreso en Steffen L. Lauritzen , ed. (2002). Thiele: Pioneer in Statistics . Oxford UP ISBN 978-0-19-850972-1.)
12. Hald, Anders (1998). Una historia de la estadística matemática de 1750 a 1930 . Nueva York: Wiley. ISBN 978-0-471-17912-2.
13. H. Cramér (1946) Métodos matemáticos de estadística, Princeton University Press, sección 15.10, p. 186.
14. Fisher, RA , John Wishart, J .. (1932) La derivación de las fórmulas de patrones de particiones bidireccionales a partir de patrones más simples , Proceedings of the London Mathematical Society , Serie 2, v. 33, pp. 195-208 doi : 10.1112 / plms / s2-33.1.195
15. Neyman, J. (1956): 'Nota sobre un artículo de Sir Ronald Fisher,' Revista de la Royal Statistical Society , Serie B (Metodológica), 18, págs. 288–94.
16. Fisher, RA (1929). "Momentos y momentos de producto de distribuciones de muestreo" (PDF) . Actas de la London Mathematical Society . 30 : 199–238. doi : 10.1112 / plms / s2-30.1.199 . hdl : 2440/15200 .
17. Speicher, Roland (1994). "Funciones multiplicativas en la celosía de particiones no cruzadas y convolución libre". Mathematische Annalen . 298 (4): 611–628. doi : 10.1007 / BF01459754 .
18. Novak, Jonathan; Śniady, Piotr (2011). "¿Qué es un acumulante gratuito?". Avisos de la Sociedad Matemática Estadounidense . 58 (2): 300–301. ISSN 0002-9920 . 

enlaces externos

• Weisstein, Eric W. "Cumulant" . MathWorld .
• acumulativo de los primeros usos conocidos de algunas de las palabras de las matemáticas