En teoría de probabilidad y estadística , la función generadora de momentos de una variable aleatoria de valor real es una especificación alternativa de su distribución de probabilidad . Por lo tanto, proporciona la base de una ruta alternativa a los resultados analíticos en comparación con el trabajo directo con funciones de densidad de probabilidad o funciones de distribución acumulativa . Hay resultados particularmente simples para las funciones generadoras de momentos de distribuciones definidas por las sumas ponderadas de variables aleatorias. Sin embargo, no todas las variables aleatorias tienen funciones generadoras de momentos.
Como su nombre lo indica, la función generadora de momentos se puede usar para calcular los momentos de una distribución : el n- ésimo momento alrededor de 0 es la n- ésima derivada de la función generadora de momentos, evaluada en 0.
Además de las distribuciones con valores reales (distribuciones univariadas), las funciones generadoras de momentos se pueden definir para variables aleatorias con valores vectoriales o matriciales, e incluso se pueden extender a casos más generales.
La función generadora de momentos de una distribución de valor real no siempre existe, a diferencia de la función característica . Existen relaciones entre el comportamiento de la función generadora de momentos de una distribución y propiedades de la distribución, como la existencia de momentos.
Definición
Dejar ser una variable aleatoria con cdf. La función generadora de momento (mgf) de (o ), denotado por , es
siempre que exista esta expectativa paraen algún vecindario de 0. Es decir, hay un tal que para todos en , existe. Si la expectativa no existe en una vecindad de 0, decimos que la función generadora de momentos no existe. [1]
En otras palabras, la función generadora de momento de X es la expectativa de la variable aleatoria. De manera más general, cuando, un -vector aleatorio dimensional , y es un vector fijo, uno usa en vez de :
siempre existe y es igual a 1. Sin embargo, un problema clave con las funciones generadoras de momentos es que los momentos y la función generadora de momentos pueden no existir, ya que las integrales no necesitan converger absolutamente. Por el contrario, la función característica o transformada de Fourier siempre existe (porque es la integral de una función acotada en un espacio de medida finita ), y para algunos propósitos puede usarse en su lugar.
La función generadora de momentos se llama así porque se puede usar para encontrar los momentos de la distribución. [2] La expansión en serie de es
Por eso
dónde es el el momento . Diferenciando veces con respecto a y ambientación , obtenemos el el momento sobre el origen, ; consulte Cálculos de momentos a continuación.
Si es una variable aleatoria continua, la siguiente relación entre su función generadora de momento y la transformada de Laplace bilateral de su función de densidad de probabilidad sostiene:
dado que la transformada de Laplace de dos caras del PDF se da como
Esto es consistente con la función característica de siendo una rotación de Wick de cuando existe la función generadora de momentos, como función característica de una variable aleatoria continua es la transformada de Fourier de su función de densidad de probabilidad, y en general cuando una función es de orden exponencial , la transformada de Fourier dees una rotación de Wick de su transformada de Laplace de dos lados en la región de convergencia. Consulte la relación de las transformadas de Fourier y Laplace para obtener más información.
Ejemplos de
A continuación se muestran algunos ejemplos de la función generadora de momentos y la función característica para comparar. Puede verse que la función característica es una rotación de Wick de la función generadora de momento cuando este último existe.
Para una función de densidad de probabilidad continua ,
En el caso general: , utilizando la integral de Riemann-Stieltjes , y dondees la función de distribución acumulativa .
Tenga en cuenta que para el caso en que tiene una función de densidad de probabilidad continua , es la transformada de Laplace de dos caras de.
dónde es el el momento .
Transformaciones lineales de variables aleatorias
Si variable aleatoria tiene función generadora de momento , luego tiene función generadora de momento
Combinación lineal de variables aleatorias independientes
Si , Donde el X i son variables aleatorias independientes y la una i son constantes, entonces la función de densidad de probabilidad para S n es la convolución de las funciones de densidad de probabilidad de cada uno de los X i , y la función generadora de momentos para S n se da por
Variables aleatorias con valores vectoriales
Para variables aleatorias con valores vectoriales con componentes reales , la función generadora de momentos está dada por
dónde es un vector y es el producto escalar .
Propiedades importantes
Las funciones generadoras de momentos son positivas y log-convexas , con M (0) = 1.
Una propiedad importante de la función generadora de momentos es que determina de forma única la distribución. En otras palabras, si y son dos variables aleatorias y para todos los valores de t ,
luego
para todos los valores de x (o equivalentemente X e Y tienen la misma distribución). Esta afirmación no es equivalente a la afirmación "si dos distribuciones tienen los mismos momentos, entonces son idénticas en todos los puntos". Esto se debe a que, en algunos casos, los momentos existen y, sin embargo, la función generadora de momentos no,
puede no existir. La distribución logarítmica normal es un ejemplo de cuándo ocurre esto.
Cálculos de momentos
La función generadora de momentos se llama así porque si existe en un intervalo abierto alrededor de t = 0, entonces es la función generadora exponencial de los momentos de la distribución de probabilidad :
Es decir, siendo n un número entero no negativo, el n- ésimo momento alrededor de 0 es la n- ésima derivada de la función generadora de momentos, evaluada en t = 0.
Otras propiedades
La desigualdad de Jensen proporciona un límite inferior simple en la función generadora de momentos:
dónde es la media de X .
Superior que limita la función generadora de momentos-se puede utilizar en conjunción con la desigualdad de Markov para limitar la cola superior de una verdadera variable aleatoria X . Esta declaración también se denomina límite de Chernoff . Desde está aumentando monótonamente para , tenemos
para cualquier y cualquier a , siempreexiste. Por ejemplo, cuando X es una distribución normal estándar y, podemos elegir y recuerda que . Esto da, que está dentro de un factor de 1+ a del valor exacto.
Varios lemas, como el lema de Hoeffding o la desigualdad de Bennett, proporcionan límites a la función generadora de momentos en el caso de una variable aleatoria acotada de media cero.
Cuándo no es negativo, la función generadora de momentos da un límite simple y útil en los momentos:
Para cualquier y .
Esto se sigue de la simple desigualdad en el que podemos sustituir implica para cualquier . Ahora si y , esto se puede reorganizar para . Tomar la expectativa en ambos lados da el límite en términos de .
Como ejemplo, considere con grados de libertad. Entonces sabemos . Cosecha y conectándonos al límite, obtenemos
Sabemos que en este caso el límite correcto es. Para comparar los límites, podemos considerar las asintóticas para grandes. Aquí el límite de Mgf es, donde está el límite real . Por tanto, el límite de Mgf es muy fuerte en este caso.
Relación con otras funciones
En relación con la función generadora de momentos hay otras transformadas que son comunes en la teoría de la probabilidad:
Función característica
La función característica está relacionado con la función generadora de momentos a través de la función característica es la función generadora de momentos de iX o la función generadora de momentos de X evaluada en el eje imaginario. Esta función también puede verse como la transformada de Fourier de la función de densidad de probabilidad , que por lo tanto se puede deducir de ella mediante la transformada de Fourier inversa.
Función generadora de acumuladores
La función generadora de acumuladores se define como el logaritmo de la función generadora de momentos; algunos, en cambio, definen la función generadora de acumuladores como el logaritmo de la función característica , mientras que otros llaman a esta última la segunda función generadora de acumuladores.
Función generadora de probabilidad
La función generadora de probabilidad se define como Esto implica inmediatamente que
Ver también
Valor entrópico en riesgo
Función generadora de momento factorial
Función de tasa
Problema del momento de la hamburguesa
Referencias
Citas
^ Casella, George; Berger, Roger L. (1990). Inferencia estadística . Wadsworth y Brooks / Cole. pag. 61. ISBN 0-534-11958-1.
^Bulmer, MG (1979). Principios de estadística . Dover. págs. 75–79. ISBN 0-486-63760-3.
^ Kotz y col. [ se necesita cita completa ] p. 37 usando 1 como el número de grado de libertad para recuperar la distribución de Cauchy