Lugar de corte (variedad de Riemann)

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En la geometría de Riemann , el lugar de corte de un punto en una variedad es aproximadamente el conjunto de todos los demás puntos para los que hay múltiples geodésicas minimizadoras que los conectan , pero puede contener puntos adicionales donde la geodésica minimizadora es única, bajo ciertas circunstancias. La función de distancia desde p es una función suave excepto en el punto p mismo y en el lugar de corte.${\ Displaystyle p}$${\ Displaystyle p}$

Fije un punto en una variedad Riemanniana completa y considere el espacio tangente . Es un resultado estándar que para lo suficientemente pequeño en , la curva definida por el mapa exponencial de Riemann , para pertenecer al intervalo es una geodésica minimizadora , y es la única geodésica minimizadora que conecta los dos puntos finales. Aquí denota el mapa exponencial de . El locus de corte de en el espacio tangente se define como el conjunto de todos los vectores en tal que es una geodésica minimizadora para pero no minimiza para${\ Displaystyle p}$${\ Displaystyle (M, g)}$ ${\ Displaystyle T_ {p} M}$${\ Displaystyle v}$${\ Displaystyle T_ {p} M}$${\ Displaystyle \ gamma (t) = \ exp _ {p} (tv)}$${\ Displaystyle t}$${\ Displaystyle [0,1]}$${\ Displaystyle \ exp _ {p}}$${\ Displaystyle p}$${\ Displaystyle p}$${\ Displaystyle v}$${\ Displaystyle T_ {p} M}$${\ Displaystyle \ gamma (t) = \ exp _ {p} (tv)}$${\ Displaystyle t \ in [0,1]}$${\ Displaystyle t = 1 + \ epsilon}$para cualquiera . El lugar de corte de en se define como una imagen del lugar de corte de en el espacio tangente debajo del mapa exponencial en . Por lo tanto, podemos interpretar el lugar de corte de in como los puntos en la variedad donde las geodésicas que comienzan en dejan de minimizarse.${\displaystyle \epsilon >0}$${\displaystyle p}$${\displaystyle M}$${\displaystyle p}$${\displaystyle p}$${\displaystyle p}$${\displaystyle M}$${\displaystyle p}$

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