En matemáticas , el espacio tangente de una variedad facilita la generalización de vectores de espacios afines a variedades generales, ya que en el último caso uno no puede simplemente restar dos puntos para obtener un vector que da el desplazamiento de un punto del otro.
Descripción informal
En geometría diferencial , uno puede adjuntar a cada puntode una variedad diferenciable un espacio tangente, un espacio vectorial real que contiene intuitivamente las direcciones posibles en las que uno puede atravesar tangencialmente. Los elementos del espacio tangente ense denominan vectores tangentes en. Ésta es una generalización de la noción de vector ligado en un espacio euclidiano . La dimensión del espacio tangente en cada punto de una variedad conectada es la misma que la de la variedad misma.
Por ejemplo, si la variedad dada es una - esfera , entonces uno puede imaginar el espacio tangente en un punto como el plano que toca la esfera en ese punto y es perpendicular al radio de la esfera a través del punto. De manera más general, si se piensa en una variedad dada como una subvariedad incrustada del espacio euclidiano , entonces se puede imaginar un espacio tangente de esta manera literal. Este fue el enfoque tradicional para definir el transporte paralelo . Muchos autores de geometría diferencial y relatividad general lo utilizan. [1] [2] Más estrictamente, esto define un espacio tangente afín, que es distinto del espacio de vectores tangentes descrito por la terminología moderna.
En geometría algebraica , por el contrario, hay una definición intrínseca del espacio tangente en un punto de una variedad algebraica que da un espacio vectorial con dimensión al menos la de sí mismo. Los puntos en el que la dimensión del espacio tangente es exactamente la de se llaman puntos no singulares ; los otros se llaman puntos singulares . Por ejemplo, una curva que se cruza a sí misma no tiene una línea tangente única en ese punto. Los puntos singulares deson aquellos en los que falla la "prueba de ser múltiple". Ver espacio tangente de Zariski .
Una vez que se han introducido los espacios tangentes de una variedad, se pueden definir campos vectoriales , que son abstracciones del campo de velocidad de las partículas que se mueven en el espacio. Un campo vectorial adjunta a cada punto de la variedad un vector desde el espacio tangente en ese punto, de manera suave. Tal campo vectorial sirve para definir una ecuación diferencial ordinaria generalizada en una variedad: una solución a dicha ecuación diferencial es una curva diferenciable en la variedad cuya derivada en cualquier punto es igual al vector tangente adjunto a ese punto por el campo vectorial.
Todos los espacios tangentes de una variedad se pueden "pegar juntos" para formar una nueva variedad diferenciable con el doble de la dimensión de la variedad original, llamado haz tangente de la variedad.
Definiciones formales
La descripción informal anterior se basa en la capacidad de una variedad para integrarse en un espacio vectorial ambiental. de modo que los vectores tangentes puedan "sobresalir" del colector hacia el espacio ambiental. Sin embargo, es más conveniente definir la noción de espacio tangente basándose únicamente en la variedad misma. [3]
Hay varias formas equivalentes de definir los espacios tangentes de una variedad. Si bien la definición a través de la velocidad de las curvas es intuitivamente la más simple, también es la más engorrosa para trabajar. A continuación se describen enfoques más elegantes y abstractos.
Definición mediante curvas tangentes
En la imagen de la variedad embebida, un vector tangente en un punto se considera como la velocidad de una curva que pasa por el punto. Por lo tanto, podemos definir un vector tangente como una clase de equivalencia de curvas que pasan por siendo tangentes entre sí en .
Suponer que es un colector diferenciable (con suavidad ) y eso . Elija un gráfico de coordenadas , dónde es un subconjunto abierto de conteniendo . Suponga además que dos curvas con se dan de tal manera que ambos son diferenciables en el sentido ordinario (llamamos a estas curvas diferenciables inicializadas en). Luego y se dice que son equivalentes en si y solo si las derivadas de y a coincidir. Esto define una relación de equivalencia en el conjunto de todas las curvas diferenciables inicializadas en, y las clases de equivalencia de tales curvas se conocen como vectores tangentes de a . La clase de equivalencia de cualquier curva de este tipo. se denota por . El espacio tangente de a , denotado por , se define entonces como el conjunto de todos los vectores tangentes en ; no depende de la elección del gráfico de coordenadas.
Para definir operaciones en el espacio vectorial en , usamos un gráfico y definir un mapa por dónde . Una vez más, es necesario comprobar que esta construcción no depende del gráfico en particular. y la curva siendo utilizado, y de hecho no lo hace.
El mapa resulta ser biyectiva y puede usarse para transferir las operaciones del espacio vectorial en a , convirtiendo este último conjunto en un -espacio vectorial real dimensional.
Definición vía derivaciones
Supongamos ahora que es un colector. Una función de valor real se dice que pertenece a si y solo si para cada gráfico de coordenadas , el mapa es infinitamente diferenciable. Tenga en cuenta quees un álgebra asociativa real con respecto al producto puntual y la suma de funciones y la multiplicación escalar.
Elige un punto . Una derivación ense define como un mapa lineal que satisfaga la identidad de Leibniz
que se basa en la regla del producto del cálculo.
(Para cada función idénticamente constante resulta que ).
Si definimos la suma y la multiplicación escalar en el conjunto de derivaciones en por
- y
- ,
entonces obtenemos un espacio vectorial real, que definimos como el espacio tangente de a .
Generalizaciones
Las generalizaciones de esta definición son posibles, por ejemplo, a variedades complejas y variedades algebraicas . Sin embargo, en lugar de examinar derivacionesa partir del álgebra completa de funciones, se debe trabajar en cambio al nivel de los gérmenes de funciones. La razón de esto es que la gavilla de estructura puede no estar bien para tales estructuras. Por ejemplo, dejaser una variedad algebraica con estructura gavilla . Luego, el espacio tangente de Zariski en un punto es la colección de todos -derivaciones , dónde es el campo de tierra yes el tallo de a .
Equivalencia de las definiciones
Para y una curva diferenciable tal que definir (donde la derivada se toma en el sentido ordinario porque es una función de a ). Uno puede cerciorarse de que es una derivación en el punto y que las curvas equivalentes dan la misma derivación. Por lo tanto, para una clase de equivalencia podemos definir donde la curva ha sido elegido arbitrariamente. El mapa es un isomorfismo de espacio vectorial entre el espacio de las clases de equivalencia y el de las derivaciones en el punto
Definición a través de espacios cotangentes
Nuevamente, comenzamos con un colector y un punto . Considere el ideal de que consta de todas las funciones suaves desapareciendo en , es decir, . Luego y son espacios vectoriales reales, y puede definirse como el espacio dual del espacio del cociente . Este último espacio cociente también se conoce como el espacio cotangente de a .
Si bien esta definición es la más abstracta, también es la que se puede transferir más fácilmente a otros entornos, por ejemplo, a las variedades consideradas en geometría algebraica .
Si es una derivación en , luego para cada , Lo que significa que da lugar a un mapa lineal . Por el contrario, si es un mapa lineal, entonces define una derivación en . Esto produce una equivalencia entre los espacios tangentes definidos mediante derivaciones y los espacios tangentes definidos mediante espacios cotangentes.
Propiedades
Si es un subconjunto abierto de , luego es un múltiple de una manera natural (tome los gráficos de coordenadas como mapas de identidad en subconjuntos abiertos de), y los espacios tangentes se identifican naturalmente con .
Vectores tangentes como derivadas direccionales
Otra forma de pensar en los vectores tangentes es como derivadas direccionales . Dado un vector en , se define la derivada direccional correspondiente en un punto por
Este mapa es, naturalmente, una derivación en . Además, toda derivación en un punto dees de esta forma. Por tanto, existe una correspondencia biunívoca entre vectores (pensados como vectores tangentes en un punto) y derivaciones en un punto.
Como los vectores tangentes a una variedad general en un punto pueden definirse como derivaciones en ese punto, es natural pensar en ellos como derivadas direccionales. Específicamente, si es un vector tangente a en un punto (pensado como una derivación), luego defina la derivada direccional en la dirección por
Si pensamos en como la velocidad inicial de una curva diferenciable inicializado en , es decir, , luego en su lugar, defina por
Base del espacio tangente en un punto
Para colector , si un gráfico se da con , entonces se puede definir una base ordenada de por
Luego, para cada vector tangente , uno tiene
Por tanto, esta fórmula expresa como una combinación lineal de los vectores base tangente definido por el gráfico de coordenadas . [4]
La derivada de un mapa
Cada mapa fluido (o diferenciable) entre variedades suaves (o diferenciables) induce mapas lineales naturales entre sus correspondientes espacios tangentes:
Si el espacio tangente se define mediante curvas diferenciables, este mapa se define mediante
Si, en cambio, el espacio tangente se define mediante derivaciones, entonces este mapa se define por
El mapa lineal se denomina de diversas formas derivada , derivada total , diferencial o empuje hacia adelante de a . Con frecuencia se expresa utilizando una variedad de otras notaciones:
En cierto sentido, la derivada es la mejor aproximación lineal a cerca . Tenga en cuenta que cuando, luego el mapa coincide con la noción habitual de diferencial de la función. En coordenadas locales la derivada delo da el jacobiano .
Un resultado importante con respecto al mapa derivado es el siguiente:
- Teorema . Si es un difeomorfismo local en en , luego es un isomorfismo lineal . Por el contrario, si es un isomorfismo, entonces hay un vecindario abierto de tal que mapas difeomórficamente en su imagen.
Esta es una generalización del teorema de la función inversa a mapas entre variedades.
Ver también
- Mapa exponencial
- Espacio vectorial
- Geometría diferencial de curvas
- Base inducida por coordenadas
- Espacio cotangente
Notas
- ^ hacer Carmo, Manfredo P. (1976). Geometría diferencial de curvas y superficies . Prentice Hall.:
- ^ Dirac, Paul AM (1996) [1975]. Teoría general de la relatividad . Prensa de la Universidad de Princeton. ISBN 0-691-01146-X.
- ^ Chris J. Isham (1 de enero de 2002). Geometría diferencial moderna para físicos . Editores aliados. págs. 70–72. ISBN 978-81-7764-316-9.
- ^ Lerman, Eugene. "Introducción a la geometría diferencial" (PDF) . pag. 12.
Referencias
- Lee, Jeffrey M. (2009), Manifolds and Differential Geometry , Estudios de posgrado en matemáticas , 107 , Providence: American Mathematical Society.
- Michor, Peter W. (2008), Temas de Geometría Diferencial , Estudios de Posgrado en Matemáticas, 93 , Providence: American Mathematical Society.
- Spivak, Michael (1965), Cálculo de múltiples: un enfoque moderno de los teoremas clásicos del cálculo avanzado , WA Benjamin, Inc., ISBN 978-0-8053-9021-6.
enlaces externos
- Planos tangentes en MathWorld