En matemáticas, la constante de Davenport D ( G ) es una invariante de un grupo estudiado en combinatoria aditiva , cuantificando el tamaño de factorizaciones no únicas. Dado un grupo abeliano finito G , D ( G ) se define como el número más pequeño tal que cada secuencia de elementos de esa longitud contiene una subsecuencia no vacía que suma 0. En símbolos, esto es [1]
- .
Ejemplo
- La constante de Davenport para el grupo cíclico es n . Para ver esta nota, la secuencia de un generador fijo, repetida n -1 veces, no contiene subsecuencia con suma 0 . Por tanto, D ( G ) ≥ n . Por otro lado, si es una secuencia arbitraria, entonces dos de las sumas en la secuencia son iguales. La diferencia de estas dos sumas también da una subsecuencia con suma 0 . [2]
Propiedades
- Considere un grupo abeliano finito G = ⊕ i C d i , donde d 1 | d 2 | ... | d r son factores invariantes . Luego
- .
El límite inferior se demuestra observando que la secuencia " d 1 -1 copias de (1, 0, ..., 0) , d 2 -1 copias de (0, 1, ..., 0) , etc." no contiene subsecuencia con suma 0 . [3]
- D = M para p -grupos o para r ∈ {1,2} . [ aclaración necesaria ]
- D = M para ciertos grupos, incluidos todos los grupos de la forma C 2 ⊕ C 2 n ⊕ C 2 nm y C 3 ⊕ C 3 n ⊕ C 3 nm .
- Hay infinitos ejemplos con r al menos 4 donde D no es igual a M ; no se sabe si hay alguno con r = 3 . [3]
- Dejar ser el exponente de G . Entonces [4]
- .
Aplicaciones
La motivación original para estudiar la constante de Davenport fue el problema de la factorización no única en los campos numéricos. Dejarser el anillo de números enteros en un campo numérico, G su grupo de clases. Entonces cada elemento, que se tiene en cuenta en al menos D ( G ) ideales no triviales, es propiamente divisible por un elemento de. Esta observación implica que la constante de Davenport determina en qué medida las longitudes de diferente factorización de algún elemento enpuede diferir. [5] [ cita requerida ]
El límite superior mencionado anteriormente juega un papel importante en la prueba de Ahlford, Granville y Pomerance de la existencia de infinitos números de Carmichael . [4]
Variantes
La constante O ( G ) de Olson usa la misma definición, pero requiere los elementos deser diferente por parejas. [6]
- Balandraud demostró que O ( C p ) es igual a la k más pequeña , tal que.
- Para p > 6000 , tenemos
- .
Por otro lado, si G = Cr
pcon r ≥ p , entonces la constante de Olson es igual a la constante de Davenport. [7]
Referencias
- ^ Geroldinger, Alfred (2009). "Teoría de grupos aditivos y factorizaciones no únicas". En Geroldinger, Alfred; Ruzsa, Imre Z. (eds.). Teoría combinatoria de números y teoría aditiva de grupos . Cursos Avanzados de Matemática CRM Barcelona. Elsholtz, C .; Freiman, G .; Hamidoune, YO; Hegyvári, N .; Károlyi, G .; Nathanson, M .; Sólymosi, J .; Stanchescu, Y. Con prólogo de Javier Cilleruelo, Marc Noy y Oriol Serra (Coordinadores del DocCourse). Basilea: Birkhäuser. pp. 1 -86. doi : 10.1007 / 978-3-7643-8962-8 . ISBN 978-3-7643-8961-1. Zbl 1221.20045 .
- ^ Geroldinger 2009 , p. 24.
- ^ a b Bhowmik, Gautami; Schlage-Puchta, Jan-Christoph (2007). "Constante de Davenport para grupos de la forma 𝕫 3 ⊕𝕫 3 ⊕𝕫 3 d " (PDF) . En Granville, Andrew ; Nathanson, Melvyn B .; Solymosi, József (eds.). Combinatoria aditiva . Actas de CRM y notas de conferencias. 43 . Providence, RI: Sociedad Matemática Estadounidense . págs. 307–326. ISBN 978-0-8218-4351-2. Zbl 1173.11012 .
- ^ a b WR Alford ; Andrew Granville ; Carl Pomerance (1994). "Hay infinitos números de Carmichael" (PDF) . Annals of Mathematics . 139 (3): 703–722. doi : 10.2307 / 2118576 . JSTOR 2118576 .
- ^ Olson, John E. (1 de enero de 1969). "Un problema combinatorio de grupos abelianos finitos, I". Revista de teoría de números . 1 (1): 8–10. Código Bibliográfico : 1969JNT ..... 1 .... 8O . doi : 10.1016 / 0022-314X (69) 90021-3 . ISSN 0022-314X .
- ^ Nguyen, Hoi H .; Vu, Van H. (1 de enero de 2012). "Una caracterización de secuencias incompletas en espacios vectoriales". Revista de Teoría Combinatoria, serie A . 119 (1): 33–41. arXiv : 1112.0754 . doi : 10.1016 / j.jcta.2011.06.012 . ISSN 0097-3165 .
- ^ Ordaz, Oscar; Philipp, Andreas; Santos, Irene; Schmidt, Wolfgang A. (2011). "Sobre las constantes de Olson y Strong Davenport" (PDF) . Journal de Théorie des Nombres de Bordeaux . 23 (3): 715–750. doi : 10.5802 / jtnb.784 . S2CID 36303975 - a través de NUMDAM .
- Nathanson, Melvyn B. (1996). Teoría de números aditivos: problemas inversos y geometría de conjuntos . Textos de Posgrado en Matemáticas . 165 . Springer-Verlag . ISBN 978-0-387-94655-9. Zbl 0859.11003 .
enlaces externos
- "Constante de Davenport" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
- Hutzler, Nick. "Davenport Constant" . MathWorld .