En matemáticas, la combinatoria aritmética es un campo en la intersección de la teoría de números , la combinatoria , la teoría ergódica y el análisis armónico .
La combinatoria aritmética se trata de estimaciones combinatorias asociadas con operaciones aritméticas (suma, resta, multiplicación y división). La combinatoria aditiva es el caso especial cuando solo están involucradas las operaciones de suma y resta.
Ben Green explica la combinatoria aritmética en su revisión de "Combinatoria aditiva" de Tao y Vu . [1]
El teorema de Szemerédi es un resultado de la combinatoria aritmética sobre progresiones aritméticas en subconjuntos de números enteros. En 1936, Erdős y Turán conjeturaron [2] que todo conjunto de números enteros A con densidad natural positiva contiene una progresión aritmética de k términos para cada k . Esta conjetura, que se convirtió en el teorema de Szemerédi, generaliza el enunciado del teorema de van der Waerden .
El teorema de Green-Tao , probado por Ben Green y Terence Tao en 2004, [3] establece que la secuencia de números primos contiene progresiones aritméticas arbitrariamente largas . En otras palabras, existen progresiones aritméticas de números primos, con k términos, donde k puede ser cualquier número natural. La demostración es una extensión del teorema de Szemerédi .
En 2006, Terence Tao y Tamar Ziegler ampliaron el resultado para cubrir progresiones polinómicas. [4] Más precisamente, dado cualquier polinomio con valores enteros P 1 , ..., P k en un m desconocido todos con término constante 0, hay infinitos números enteros x , m tales que x + P 1 ( m ) ,. .., x + P k ( m ) son simultáneamente primos. El caso especial cuando los polinomios son m , 2 m , ..., kmimplica el resultado anterior de que existen progresiones aritméticas de longitud k de números primos.