En la teoría de grupos , una rama de las matemáticas , un grupo de torsión o un grupo periódico es un grupo en el que cada elemento tiene un orden finito . El exponente de tal grupo, si existe, es el mínimo común múltiplo de los órdenes de los elementos. El exponente existe para cualquier grupo finito y divide el orden del grupo.
El problema de Burnside es una pregunta clásica que trata de la relación entre grupos periódicos y grupos finitos , cuando solo se consideran grupos generados finitamente : ¿Especificar un exponente fuerza la finitud? A lo que la respuesta es no , en general.
Ejemplos de grupos periódicos infinitos incluyen el grupo aditivo del anillo de polinomios sobre un campo finito, y el grupo cociente de los racionales por los números enteros, así como sus sumandos directos, los grupos de Prüfer . Otro ejemplo es la suma directa de todos los grupos diedros . Ninguno de estos ejemplos tiene un grupo electrógeno finito, de hecho, cualquier grupo lineal periódico con un grupo electrógeno finito es finito. Golod construyó ejemplos explícitos de grupos periódicos infinitos generados de forma finita, basándose en el trabajo conjunto con Shafarevich, véase el teorema de Golod-Shafarevich , y por Aleshin y Grigorchuk utilizando autómatas .
Una de las propiedades interesantes de los grupos periódicos es que la definición no se puede formalizar en términos de lógica de primer orden . Esto se debe a que hacerlo requeriría un axioma de la forma
que contiene una disyunción infinita y, por lo tanto, es inadmisible: la lógica de primer orden permite cuantificadores sobre un tipo y no puede capturar propiedades o subconjuntos de ese tipo. Tampoco es posible sortear esta disyunción infinita utilizando un conjunto infinito de axiomas: el teorema de la compacidad implica que ningún conjunto de fórmulas de primer orden puede caracterizar los grupos periódicos. [1]
El subgrupo de torsión de un grupo abeliano A es el subgrupo de A que consta de todos los elementos que tienen un orden finito. Un grupo abeliano de torsión es un grupo abeliano en el que cada elemento tiene un orden finito. Un grupo abeliano libre de torsión es un grupo abeliano en el que el elemento de identidad es el único elemento con orden finito.