La fórmula de De Moivre

En las matemáticas , de la fórmula de Moivre (también conocido como de teorema de Moivre y de la identidad de Moivre ) establece que para cualquier número real $x$ y número entero $n$ se cumple que

donde $i$ es la unidad imaginaria ( $i 2 = -1$ ). La fórmula lleva el nombre de Abraham de Moivre , aunque nunca lo expresó en sus obras. ^[1] La expresión $cos x + i sen x a$ veces se abrevia como $cis x$ .

La fórmula es importante porque conecta números complejos y trigonometría . Al expandir el lado izquierdo y luego comparar las partes real e imaginaria bajo el supuesto de que $x$ es real, es posible derivar expresiones útiles para $cos nx$ y $sen nx$ en términos de $cos x$ y $sen x$ .

Tal como está escrito, la fórmula no es válida para potencias $n$ no enteras . Sin embargo, existen generalizaciones de esta fórmula válidas para otros exponentes. Estos pueden usarse para dar expresiones explícitas para las raíces $n$ -ésimas de la unidad , es decir, números complejos $z$ tales que $z n = 1$ .

Por y , la fórmula de De Moivre afirma que ${\ Displaystyle x = 30 ^ {\ circ}}$ ${\ Displaystyle n = 2}$

ya que la fórmula de Euler implica que el lado izquierdo es igual a mientras que el lado derecho es igual a ${\ Displaystyle \ left (\ cos x + i \ sin x \ right) ^ {n}}$